可分离变量的方程

1、 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程1举举 例例小结小结 思考题思考题 作业作业5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程第第5 5章章 微分方程微分方程应应 用用 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2xxyyd)(d)( 如果一阶微分方程如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与等式的每一边仅是一个变量的函数与 可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以写成可以写成0),( yyxF的形式的形式,易于化为形式易于化为形式特点特点这个变量的微分之积这个变量的微分之积.两端积分可得通解两

2、端积分可得通解.一、举一、举 例例 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程3可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :分离变量分离变量,两边积分两边积分其中其中C为任意常数为任意常数.),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解分离变量法分离变量法. .;d)(d)(的形式的形式把方程化为把方程化为xxyy 1.2.由上式确定的函数由上式确定的函数(隐式通解隐式通解).这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为将上式将上式可分离变量方程的初值问题可分离变量方程的初值问题 00,d)(d)(yyxxyyxx 的解为的解为;d)(d)( Cxxyy xxyyttuu

3、00.d)(d)( 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程4例例 求方程求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分离变量分离变量xxxyyyd1d122 两端积分两端积分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 为方程的通解为方程的通解.Cln21 隐式通解隐式通解 xxxd12 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程5 考研数学三考研数学三, 四四(4分分)的的特特解解为为满满足足初初始始条条件件微微分分方方程程2)1(0 yyyx解解分离变量分离变量两端积分两端积分可分离变量方程可分离

4、变量方程xxyydd yyd xxdxylnln Cln xCy 为方程的通解为方程的通解.所以所以12. 2 C. 2 xy 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程6xCxy e考研数学一考研数学一, 二二 填空填空4分分解解xxxyyd1d 两边积分两边积分Cxxylnlnln 分离变量分离变量此方程为可分离变量方程此方程为可分离变量方程xCx ln得通解为得通解为.exCxy 的通解是的通解是微分方程微分方程xxyy)1( 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程7注注 应用问题建立微分方程的方法应用问题建立微分方程的方法:方法大体有两种方法大体有两种第一种方法第一种方

5、法常见的物理定律有力学、热学、光学、常见的物理定律有力学、热学、光学、直接利用物理定律、经济学知识或几何条件直接利用物理定律、经济学知识或几何条件第二种方法第二种方法取小元素分析取小元素分析, 然后利用物理定律列出方程然后利用物理定律列出方程(类似于定积分应用中的元素法类似于定积分应用中的元素法).列出方程列出方程,电学的定律电学的定律; 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程8两端积分两端积分解解,ddtM由题设条件由题设条件)0(dd衰变系数衰变系数 MtMtMMdd ,dd tMM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM 00eCM 得得C ,e0tMM 分离变量分离变量负号是

6、由于当负号是由于当 t 增加时增加时M单调减少单调减少,etCM 得得, 通解通解特解特解例例 衰变问题衰变问题. . 衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量M成成正比正比,00MMt 已知已知求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量 M (t)随随时间时间 t 变化的规律变化的规律.即为即为衰变规律衰变规律.衰变速度衰变速度二、应二、应 用用 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程9例例出出x有如下的关系有如下的关系:)(ddPbaxP 其中其中a为正的比例常数为正的比例常数, b为正的常数为正的常数; 为零时为零时, 净利润为净利润为P0,.00bP 求净利润求净利润).(

7、xPP 解解 将题设方程将题设方程 分离变量分离变量得得xaPbPdd1 两端积分两端积分得得由此可得由此可得axCbP e00P.0bPC 净利润为净利润为axbPbP e )(0根据经验知道根据经验知道, 某产品的净利润某产品的净利润P与广告支与广告支且广告支出且广告支出CaxbPln)ln( 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程10例例出出x有如下的关系有如下的关系:)(ddPbaxP 其中其中a为正的比例常数为正的比例常数, b为正的常数为正的常数; 为零时为零时, 净利润为净利润为P0,.00bP 求净利润求净利润).(xPP 净利润为净利润为axbPbP e )(0根据

8、经验知道根据经验知道, 某产品的净利润某产品的净利润P与广告支与广告支且广告支出且广告支出,00bP 因因可见可见,)(0bxP 于是由题设方程于是由题设方程可知可知xPdd, 0 P(x)是是x的单调增加函数的单调增加函数;另一方面另一方面, 显然有显然有.)(limbxPx 因此因此, 随广告支随广告支出的增加出的增加, 净利润将相应地不断增加净利润将相应地不断增加,并趋向水平渐并趋向水平渐. bP 近线近线这表明这表明, 参数参数b的经济意义是净利润可能的经济意义是净利润可能达到的最大值达到的最大值. 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程11推进器停止工作推进器停止工作,已知

9、船受水的阻力与船速的平方成正比已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系比例系问经过问经过多少时间多少时间,船的速度减为原速度的一半船的速度减为原速度的一半?解解 由题意由题意2ddmkvtvm 0)0(vv Cktv 1初始条件初始条件011vktv 01vC ,20时时当当vv 01kvt 即得即得.解得解得当轮船的前进速度为当轮船的前进速度为v0时时,数为数为mk,其中其中k 0为常数为常数,而而m为船的质量为船的质量).可分离变量的方程可分离变量的方程分离变量分离变量两端积分两端积分tkvvdd2 tkvvdd2 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程12例例 求游船上的传

10、染病人数求游船上的传染病人数.一只游船上有一只游船上有800人人,12小时后有小时后有3人发病人发病.故感染者不能被及时隔离故感染者不能被及时隔离. 设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比人数之积成正比.一名游客患了某种传染病一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状由于这种传染病没有早期症状,直升机将在直升机将在60至至72小时小时将疫苗运到将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解解 用用 y(t)表示发现首例病人后表示发现首例病人后 t 小时时的小时时的感染人数感染人数,)(80

11、0ty 表示表示 t 刻刻未受感染的人数未受感染的人数, 由题意由题意,得得),800(ddykyty 其中其中k 0为比例常数为比例常数.可分离变量微分方程可分离变量微分方程分离变量分离变量,d)800(dtkyyy , 1)0( y初始条件初始条件:3)12( y 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程13,d)800(dtkyyy 即即,dd800118001tkyyy 两边积分两边积分, 得得,)800ln(ln80011Cktyy 通解通解ktCy800e1800 ).e(1800CC , 1)0( y初始条件初始条件3)12( y由由初始条件初始条件, 1)0( y得得.

12、799 C再由再由, 3)12( y便可确定出便可确定出 k800所以所以.e7991800)(09176. 0tty 2397799ln121 .09176. 0 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程14.e7991800)(09176. 0tty 直升机将在直升机将在60至至72小时将疫苗运到小时将疫苗运到, 试估算疫苗试估算疫苗运到时患此传染病的人数运到时患此传染病的人数.下面计算下面计算72,60 t小时时的小时时的感染者人数感染者人数 )60(y )72(y从上面数字可看出从上面数字可看出,在在72小时疫苗运到时小时疫苗运到时, 感感染的人数将是染的人数将是60小时感染人

13、数的小时感染人数的2倍倍.病流行时及时采取措施是至关重要的病流行时及时采取措施是至关重要的.可见在传染可见在传染,188e79918006009176. 0 .385e79918007209176. 0 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程15cm100例例 有高有高1m的半球形容器的半球形容器, 水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,.cm12 S开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中从小孔流出过程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 随时间随时间 t 的变的变r由水力学知由水力学知, 水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为tVQdd hgS262

14、. 0 即即thgVd262. 0d 求水求水小孔横截面积小孔横截面积化规律化规律.流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在设在d,ttt 内水面高度由内水面高度由 h 降到降到 ),0d(d hhhhhdhho解解建立坐标系建立坐标系 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程16cm100rhhdhho对应下降体积对应下降体积hrVdd2 22)100(100hr 2200hh hhhVd)200(d2 因此得微分方程定解问题因此得微分方程定解问题:hhhthgd)200(d262. 02 1000 th将方程分离变量将方程分离变量:hhhgtd)200(26

15、2. 0d2321 thgVd262. 0d 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程17gt262. 0 两端积分两端积分, 得得g262. 0 hhhd)200(2321 233400(h)5225h C 利用初始条件利用初始条件, 得得5101514262. 0 gC因此容器内水面高度因此容器内水面高度 h 与时间与时间 t 有下列关系有下列关系:).310107(265. 4252335hhgt 1000 thcm100rhhdhhohhhgtd)200(262. 0d2321 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程18可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程分离变量

16、分离变量两端积分两端积分三、小结三、小结解法解法:隐式隐式(或显式或显式)通解通解0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程19, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2lne .Ax; 2lne .B2x; 2lne .C x2lne .D2 x分析分析 有两种方法有两种方法其一其一, 将所给选项代入关系式直接验算将所给选项代入关系式直接验算,B(B)正确正确.其二其二, 对积分关系式两边求导化为微分方程对积分关系式两边求导化为微分方程,并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程所应满足的初始条件所应满足的初始条件.考研数学一考研数学一, 3分分思考题思考题 5.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程20一般一般, 未知函数含于未知函数含于变上限的积分变上限的积分中时中时, 常可常可通过对关系式两边求导而