《机械工程控制基础》课件

1、第五章第五章 频域分析法频域分析法三、典型环节的频率特性图三、典型环节的频率特性图四、系统开环频率特性图四、系统开环频率特性图一、概述一、概述二、频率特性的基本概念二、频率特性的基本概念第五章第五章 频域分析法频域分析法一、概述一、概述l 时域分析的缺陷时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性难以研究系统参数和结构变化对系统性 能的影响；能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时，当系统某些元件的传递函数难以列写时， 整个系统的分析工作将无法进行。整个系统的分析工作将无法进行。 第第五五章章 频域分析法频域分析法l 频域分析的目的频

2、域分析的目的频域分析频域分析：以输入信号的频率为变量，在频：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 无需求解微分方程，图解无需求解微分方程，图解( (频率特性图频率特性图) )法法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向，间接揭示系统性能并指明改进性能的方向，易于实验分析；易于实验分析； 优点：优点： 可推广应用于某些非线性系统（如含有延可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。可方便设计出能有效抑制噪声的系统。第第五五章章 频域分析法频域分析法二、频率特性的基本概念二、

3、频率特性的基本概念l 频率响应与频率特性频率响应与频率特性 频率响应与频率特性的概念频率响应与频率特性的概念22)()()()()()()()(sXsAsBsXsAsBsXsGsXiio)()()()()()(21npspspssBsAsBsG考虑线性定常系统：考虑线性定常系统：当正弦输入当正弦输入 xi(t)=Xsin t 时，相应的输出为：时，相应的输出为：第第五五章章 频域分析法频域分析法对于稳定的系统，其特征根对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此具有负实部，此时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改变，因此，可认为系统处于零初始状态。变，

4、因此，可认为系统处于零初始状态。 nnopsApsApsAjsAjsAsX2211)(假设系统只具有不同的极点，则：假设系统只具有不同的极点，则：AA,其中其中为一对待定共轭复常数为一对待定共轭复常数Ai(i = 1, 2, , n)为待定常数。为待定常数。第第五五章章 频域分析法频域分析法)0( )(2121teAeAeAeAAetxtpntptptjtjon从而：从而：) 1, 2, 1, 0(jjtpkrketjj如果系统包含有如果系统包含有rj个重极点个重极点pj，则，则xo(t)将包含将包含有类似：有类似：的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项

5、随 t 趋于无穷大都趋近于零。趋于无穷大都趋近于零。第第五五章章 频域分析法频域分析法因此，系统的稳态响应为：因此，系统的稳态响应为：tjtjoeAAetx)(jjXGjssXsGAjs2)()()(22)()()()()(jjejGejGjGjjXGjssXsGAjs2)()()(22其中：其中：)(Re)(Imarctan)()()()()(jGjGjGejGjGj由于：由于：第第五五章章 频域分析法频域分析法上式表明，上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅值输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的幅

6、值比为比为|G(j )|，相位差为相位差为 G(j )。jeejGXtxtjtjo2)()()()(因此：因此：)()(sin)(sin)(jGXYtYtjGX显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频率而变化。变化。 第第五五章章 频域分析法频域分析法q 频率响应频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。：系统对正弦输入信号的稳态响应。q 频率特性频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入：系统在不同频率的正弦信号输入 时，其稳态输出随频率而变化时，其稳态输出随频率而变化( ( 由由0变到变到 )的特性。的特性。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性

7、。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。 q 幅频特性幅频特性：当：当 由由0到到 变化时，变化时，|G(j )|的变的变 化特性，记为化特性，记为A( )。q 相频特性相频特性：当：当 由由0到到 变化时，变化时， G(j )的变的变 化特性称为相频特性，记为化特性称为相频特性，记为 ( )。第第五五章章 频域分析法频域分析法 频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系 jssGjG)()( 示例示例 正弦输入正弦输入xi(t)=Xsin t 作用下的频率响作用下的频率响应。应。 1)(TsKsG求一阶系统求一阶系统的频率特性及在的频率特性及在1)()(jTKsGjGjs解：解：

8、第第五五章章 频域分析法频域分析法221)()(TKjGATjGarctan)()()arctansin(1)(22TtTXKtxo对于正弦输入对于正弦输入xi(t)=Xsin t，根据频率特性的定义：，根据频率特性的定义：由上式可见，当由上式可见，当T 1时，时， A( ) 1/T ( ) -90 第第五五章章 频域分析法频域分析法 几点说明几点说明 q 频率特性是传递函数的特例，是定义在复频率特性是传递函数的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。统的

9、固有特性。 q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。态过程的规律性也全寓于其中。 第五章第五章 频域分析法频域分析法q 应用频率特性分析系统性能的基本思路：应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数级数或用

10、傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。信号或非周期信号作用下的运动情况。 第五章第五章 频域分析法频域分析法q 频率特性的物理意义频率特性的物理意义：频率特性表征了系：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；q ( ( ) )大于零时称为大于零时称为相角超前相角超前，小于零时称，小于零时称 为为相角滞后相角滞后。tx(t), y1(t), y2(t)x(t)y1(t)

11、y2(t)0 1( ( ) ) 2( ( ) )第五章第五章 频域分析法频域分析法l 频率特性图频率特性图 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相图（极坐标图、幅相频率特性图）频率特性图） )()()()()()()(Im)(Re)(jjGjeAejGjQPjGjjGjG)()(arctan)()()()(22PQQPA其中，其中，P( )、Q( )分别称为系统的分别称为系统的实频特实频特性性和和虚频特性虚频特性。显然：。显然：第五章第五章 频域分析法频域分析法 在复平面上，随在复平面上，随 （0 ）的变化，向）的变化，向量量G(j )端点的变化曲线（轨迹），称为系端点的变化曲线

12、（轨迹），称为系统的统的幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线。得到的图形称为系。得到的图形称为系统的统的奈奎斯特图或极坐标图奈奎斯特图或极坐标图。 易知，向量易知，向量G(j )的长度等于的长度等于A(j )（|G(j )|）；由正实轴方向沿逆时针方向）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量绕原点转至向量G(j )方向的角度等于方向的角度等于 ( )（ G(j )）。）。 第五章第五章 频域分析法频域分析法 波德波德(Bode)图（对数频率特性图）图（对数频率特性图） q 对数幅频特性图对数幅频特性图横坐标：以横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率为底的对数分度表示的角频率 单位单位 rad/

13、s或或Hz纵坐标：线性分度，表示幅值纵坐标：线性分度，表示幅值A( )对数的对数的20 倍，即：倍，即： L( )=20lgA( )单位单位 分贝（分贝（dB）第五章第五章 频域分析法频域分析法q 对数相频特性图对数相频特性图 横坐标：横坐标：与对数幅频特性图相同。与对数幅频特性图相同。 纵坐标：纵坐标：线性分度，频率特性的相角线性分度，频率特性的相角 ( )q 几点说明几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此数分度，因此 =0 不可能在横坐标上表示出来不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率，横坐标上表示的最低

14、频率由所感兴趣的频率范围确定；范围确定； 此外，横坐标一般只标注此外，横坐标一般只标注 的自然的自然数值；数值；第五章第五章 频域分析法频域分析法 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程十倍频程，记为，记为decade或简写为或简写为 dec；频率；频率变化两倍的区间称为一个变化两倍的区间称为一个二倍频程二倍频程，记，记octave或简写为或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。它们也用作频

15、率变化的单位。可以注意到，频率变化可以注意到，频率变化1010倍，在对数坐标上是等距的，倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。等于一个单位。 第五章第五章 频域分析法频域分析法 通常用通常用L( )简记对数幅频特性，也称简记对数幅频特性，也称L( ) 为增益；用为增益；用 ( )简记对数相频特性。简记对数相频特性。 对数坐标的优点对数坐标的优点 幅值相乘变为相加，简化作图；幅值相乘变为相加，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 两个系统或环节的频率特性互为倒数时，两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相其对数幅

16、频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称频特性曲线关于零度线对称 第五章第五章 频域分析法频域分析法 可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频 特性曲线特性曲线 ； 将实验获得的频率特性数据绘制成对数将实验获得的频率特性数据绘制成对数 频率特性曲线，可以方便地确定系统的频率特性曲线，可以方便地确定系统的 传递函数；传递函数； 尼柯尔斯尼柯尔斯(Nichols)图（对数幅相特性图）图（对数幅相特性图） L( ) ( )图图第五章第五章 频域分析法频域分析法l 比例环节比例环节 三、典型环节的频率特性图三、典型环节的频率特性图传递函数：传递函数：G(s)

17、= K频率特性：频率特性：G(j ) = K = Kej0实频特性：实频特性：P( ) = K虚频特性：虚频特性：Q( ) = 0对数幅频特性：对数幅频特性：L( ) = 20lgK对数相频特性：对数相频特性： ( ) = 0幅频特性：幅频特性：A( ) = K相频特性：相频特性： ( ) = 0第五章第五章 频域分析法频域分析法比例环节的频率特性图：比例环节的频率特性图：Bode Diagram (rad/sec) ( )L( )/ (dB)-20020406010-1100101102-180-900 90 180 20lgKK0ReImNyquist Diagram第五章第五章 频域分析

18、法频域分析法l 惯性环节惯性环节 传递函数：传递函数：11)(TssG频率特性：频率特性：TjeTTjjGarctan221111)(相频特性：相频特性： ( ) = - arctanT 幅频特性：幅频特性：2211)(TA实频特性：实频特性：2211)(TP虚频特性：虚频特性：221)(TTQ注意到：注意到：22221)(21)(QP即惯性环节的奈氏图为即惯性环节的奈氏图为圆心在圆心在(1/2, 0)处，半处，半径为径为1/2的一个圆。的一个圆。0ReIm1/21 =0 = 45 =1/TNyquist DiagramG(j ) 惯性环节的惯性环节的Nyquist图图 第五章第五章 频域分析

19、法频域分析法第五章第五章 频域分析法频域分析法 惯性环节的惯性环节的Bode图图 q 低频段低频段( ( 1/1/T ) )lg20lg20T即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为- -20dB/dec 的的直线，称为直线，称为高频渐近线高频渐近线。TTLlg201lg20)(22第五章第五章 频域分析法频域分析法转折频率转折频率-30-20-10010-90-4501/TL( )/ (dB) ( )Bode Diagram (rad/sec)实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线- -20dB/dec第五章第五章 频域分析法频域分析法q 转折频率（转折频率（ 1/1/T ) )低频渐近线

20、和高频渐近线的相交处的频率点低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/1/T，称为，称为转折频率（截止频率）转折频率（截止频率）。在转折频率处，在转折频率处，L( ( ) ) - -3dB， ( ( ) )-45-45 。q 渐近线误差渐近线误差惯性环节具有低通滤波特性。惯性环节具有低通滤波特性。TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222第五章第五章 频域分析法频域分析法-4-3-2-100.1110 T转折频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线第五章第五章 频域分析法频域分析法l 一阶微分一阶微分环节环节 对数相频特性：对数相

21、频特性： ( ) = arctan传递函数：传递函数：1)( ssG频率特性：频率特性：arctan2211)(jejjG对数幅频特性：对数幅频特性：221lg20)(L幅频特性：幅频特性：221)(A相频特性：相频特性： ( ) = arctan第五章第五章 频域分析法频域分析法 一阶微分环节的一阶微分环节的Nyquist图图 0ReIm =0 = 221arctan1实频特性：实频特性：1)(P虚频特性：虚频特性：)(Q第五章第五章 频域分析法频域分析法 一阶微分环节的一阶微分环节的Bode图图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数互为倒数(

22、 ( = = T T ) )，根据对数频率特性图的，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于特性曲线关于 0 0dB 线对称，相频特性曲线线对称，相频特性曲线关于零度线对称。关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。可由渐近线近似描述。第五章第五章 频域分析法频域分析法0 10 2030904501/TL( )/ (dB) ( )Bode Diagram (rad/sec)0.1/T10/T转折频率转折频率实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线20dB/dec

23、第五章第五章 频域分析法频域分析法l 积分积分环节环节 传递函数：传递函数：ssG1)(频率特性：频率特性：211)(jejjG幅频特性：幅频特性：1)(A相频特性：相频特性： ( ) = -90实频特性：实频特性：0)(P第五章第五章 频域分析法频域分析法虚频特性：虚频特性：1)(Q对数幅频特性：对数幅频特性：lg20)(L 积分环节的积分环节的Nyquist图图 0ReIm =0 = 对数相频特性：对数相频特性： ( ) = -90第五章第五章 频域分析法频域分析法 积分环节的积分环节的Bode图图 -40-200200-45-90-135-1800.1110100L( )/ (dB) (

24、 )Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec第五章第五章 频域分析法频域分析法l 理想微分理想微分环节环节 传递函数：传递函数：ssG)(频率特性：频率特性：2)(jejjG实频特性：实频特性：0)(P对数相频特性：对数相频特性： ( ) = 90虚频特性：虚频特性：)(Q对数幅频特性：对数幅频特性：lg20)(L幅频特性：幅频特性：)(A相频特性：相频特性： ( ) = 90第五章第五章 频域分析法频域分析法 理想微分环节的理想微分环节的Nyquist图图 0ReIm =0 = 第五章第五章 频域分析法频域分析法-2002040045901351800.1110100L(

25、 )/ (dB) ( )Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec 理想微分环节的理想微分环节的Bode图图 第五章第五章 频域分析法频域分析法l 振荡振荡环节环节 传递函数：传递函数：10,2121)(22222nnnssTssTsG频率特性：频率特性：nnnnnjjjG2112)(2222第五章第五章 频域分析法频域分析法222211)(nnA幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：212arctan)(nn第五章第五章 频域分析法频域分析法实频特性：实频特性：2222211)(nnnP虚频特性：虚频特性：222212)(nnnQ第五章第五章 频域分析法频域分析法 振荡环

26、节的振荡环节的Nyquist图图 1)0()( AA0)0()(q = 0时时 21)()(nAA90)()(nq = n时时 0)()( AA180)()(q = 时时 第五章第五章 频域分析法频域分析法Nyquist Diagram =0 = =0.1 =0.2 =0.5 =1 =0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-1021 =0.3 = n00.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.8201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.70 = 1.00 / / nA( )q 谐振现

27、象谐振现象第五章第五章 频域分析法频域分析法第五章第五章 频域分析法频域分析法又振荡环节的幅频特性曲线可见，当又振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小较小时，在时，在 = n附近，附近，A( )出现峰值，即发出现峰值，即发生生谐振谐振。谐振峰值谐振峰值 Mr 对应的频率对应的频率 r 称为称为谐谐振频率振频率。由于：由于：222211)(nnA第五章第五章 频域分析法频域分析法nuuuuf,)2()1 ()(222A( )出现峰值相当于其分母：出现峰值相当于其分母：取得极小值。取得极小值。令：令：0844)(23uuuuf解得：解得：221u即：即：221nr显然显然 r 应大于应大于0，由此可

28、得振荡环节出现谐，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：振的条件为：707. 022第五章第五章 频域分析法频域分析法谐振峰值：谐振峰值：2121)(rrAM00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10123456789100102030405060708090100 Mr (dB)Mp ()MrMp第五章第五章 频域分析法频域分析法221nr21nd00.20.40.60.8100.20.40.60.81 r/ / n d/ / n r/ / n， d/ / n第五章第五章 频域分析法频域分析法 振荡环节的振荡环节的Bode图图 22221lg20)(nnLq

29、对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段( ( n) )两条渐近线的交点为两条渐近线的交点为 n。即振荡环节的转折。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。频率等于其无阻尼固有频率。22221lg20)(nnL212arctan)(nn第五章第五章 频域分析法频域分析法q 对数相频特性对数相频特性90)(n180)( 0)0(易知：易知：第五章第五章 频域分析法频域分析法-180-135-90-4500.1110 / / n ( ) / (deg) = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 = 0.3-40-30-20-1001020L( )/ (dB)-40dB/dec =

30、 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2渐近线渐近线Bode Diagram第五章第五章 频域分析法频域分析法q 渐近线误差分析渐近线误差分析nnnnnnnL,lg2021lg20 ,21lg20)(2222222-8-40481216200.1110 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00 = 0.50 = 0.60 = 0.707 / / nError (dB)第五章第五章 频域分析法频域分析法第五章第五章 频域分析法频域分析法由图可见，当由图可见，

31、当 较小时，由于在较小时，由于在 = n 附近附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，较大的误差， 越小，误差越大。越小，误差越大。当当0.38 0.7时，时，误差不超过误差不超过3dB。因此，。因此，在此在此 范围内，可直接使用渐近对数幅频特范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。频曲线。准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。通过误差曲线修正而获得或直接计算。第五章第五章 频域分析法频域分析法l

32、 二阶微分二阶微分环节环节 传递函数：传递函数：10, 12)(22sssG频率特性：频率特性：21)(22jjG幅频特性：幅频特性：2222)2()1 ()(A相频特性：相频特性：2212arctan)(实频特性：实频特性：221)(P2)(Q虚频特性：虚频特性：第五章第五章 频域分析法频域分析法 二阶微分环节的二阶微分环节的Nyquist图图 1)0()( AA0)0()(q = 0时时 2)(A 90)(q = 1/T时时 )(A180)(q = 时时 2222)2()1 ()(A2212arctan)(G(j ) =010 = ReIm = 1/ 2 ，第五章第五章 频域分析法频域分析

33、法Nyquist Diagram 二阶微分环节的二阶微分环节的Bode图图 2222)2()1 (lg20)(L2212arctan)(注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数为倒数( ( 1/1/ n ) )，根据对数频率特性图的特，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于曲线关于 0 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称，相频特性曲线关于零度线对称。线对称。第五章第五章 频域分析法频域分析法l 延迟环节延迟环节 传递函数：传递函数：sesG)(频率特性：频率特性：jej

34、G)(幅频特性：幅频特性：1)(A相频特性：相频特性：)(3 .57)()(rad对数幅频特性：对数幅频特性：0)(L第五章第五章 频域分析法频域分析法第五章第五章 频域分析法频域分析法01 =0ReIm Nyquist Diagram-600-500-400-300-200-10000.1110 (rad/s) ( ) / (deg)10L( ) / (dB)0-20-10第五章第五章 频域分析法频域分析法l 最小相位系统最小相位系统 传递函数：传递函数：11)(TssG频率特性：频率特性：)arctan(221111)(TjeTTjjG幅频特性：幅频特性：2211)(TA相频特性：相频特性

35、：)arctan(180)arctan()(TT四、系统开环频率特性图四、系统开环频率特性图 一阶不稳定环节一阶不稳定环节 Nyquist Diagram1-10 =0 = =0 = ReIm惯性环节惯性环节一阶不稳定环节一阶不稳定环节第五章第五章 频域分析法频域分析法Bode Diagram-20-15-10-50L( )/ (dB)- -20dB/dec-180-135-90-450 ( ) / (deg) (rad/sec)1/T惯性环节惯性环节一阶不稳定环节一阶不稳定环节第五章第五章 频域分析法频域分析法第五章第五章 频域分析法频域分析法由图可见，不稳定一阶环节的幅频特性与惯由图可见，

36、不稳定一阶环节的幅频特性与惯性环节相同，而相角绝对值大于惯性环节的性环节相同，而相角绝对值大于惯性环节的相角绝对值。相角绝对值。该结论对其它与振荡环节、一阶微分环节、该结论对其它与振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节幅频特性互为对应的不稳定环二阶微分环节幅频特性互为对应的不稳定环节也成立。节也成立。 =0 = ReIm0 1振荡环节振荡环节不稳定不稳定振荡环节振荡环节Nyquist Diagram / / n-360-270-180-90010.110 ( ) / (deg)-40-200L( )/ (dB)Bode Diagram- -40dB/dec不稳定振荡环节不稳定振荡环节振荡环节振荡

37、环节第五章第五章 频域分析法频域分析法10,2)(222nnnsssG不稳定振荡环节：不稳定振荡环节：Bode Diagram0459013518001020 ( ) / (deg) L( )/ (dB)1/T (rad/sec)20dB/dec不稳定一不稳定一阶微分环节阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节1-10ReIm =0 =0 = = Nyquist Diagram一阶微一阶微分环节分环节不稳定一不稳定一阶微分环节阶微分环节第五章第五章 频域分析法频域分析法1)( ssG不稳定一阶微分环节：不稳定一阶微分环节：ReIm0 =01 二阶微分环节二阶微分环节不稳定二阶不稳定二阶微分环节微分环

38、节Nyquist Diagram02040090180270360 ( ) / (deg)L( )/ (dB) 10.110Bode Diagram40dB/dec二阶微分环节二阶微分环节不稳定二不稳定二阶微分环节阶微分环节第五章第五章 频域分析法频域分析法不稳定二阶微分环节：不稳定二阶微分环节：10, 12)(22sssG 最小相位环节与最小相位系统最小相位环节与最小相位系统极点和零点全部位于极点和零点全部位于s左半平面的环节，与左半平面的环节，与其对应的具有相同幅频特性、在其对应的具有相同幅频特性、在s右半平面右半平面具有零点或具有零点或(和和) 极点的极点的 “不稳定不稳定” 环节相环节

39、相比，相频特性的绝对值最小，比，相频特性的绝对值最小， 因此，称其为因此，称其为最小相位环节最小相位环节，而相应的在，而相应的在s 右半平面具有右半平面具有零点或零点或(和和)极点的极点的 “不稳定不稳定” 环节称为环节称为非非最小相位环节最小相位环节。延迟环节通常视为非最小相位环节。延迟环节通常视为非最小相位环节。第五章第五章 频域分析法频域分析法极点和零点全部位于极点和零点全部位于s左半平面系统称为左半平面系统称为最最小相位系统小相位系统。反之，称为。反之，称为非最小相位系统非最小相位系统。易知，易知，最小相位系统最小相位系统的相角变化范围一定小的相角变化范围一定小于相应的于相应的非最小相

40、位系统非最小相位系统的相角变化范围。的相角变化范围。显然，对于稳定的显然，对于稳定的非最小相位系统非最小相位系统只存在位只存在位于于s右半平面的零点。右半平面的零点。第五章第五章 频域分析法频域分析法例如：例如：)(,11)(,11)(,11)(21212121TTsTsTsGsTsTsGsTsTsGcba-180-900901801/T11/T2 ( ) / (deg)Ga(s)Gb(s)Gc(s) (rad/sec)第五章第五章 频域分析法频域分析法Bode证明：证明：最小相位系统的幅频特性与相最小相位系统的幅频特性与相频特性存在唯一确定的关系频特性存在唯一确定的关系。第五章第五章 频域分

41、析法频域分析法l 系统开环系统开环Nyquist图的绘制图的绘制 基本步骤基本步骤q 将开环传递函数表示成若干典型环节的串将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式：联形式：)()()()(21sGsGsGsGn)()(2)(1)()()()()()(21njnjjjeAeAeAeAjGq 求系统的频率特性：求系统的频率特性：)()()(2121)()()(njneAAA第五章第五章 频域分析法频域分析法)()()()()()()()(2121nnAAAA即：即：q 求求A(0)、 (0)；A( )、 ( )q 补充必要的特征点补充必要的特征点(如与坐标轴的交点如与坐标轴的交点)，根，根 据

42、据A( )、 ( ) 的变化趋势，画出的变化趋势，画出Nyquist图图的大致形状。的大致形状。第五章第五章 频域分析法频域分析法 示例示例解：解：) 1)(1)(1()()(321TjTjTjKjHjGq 例例1：已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：) 1)(1)(1()()(321sTsTsTKsHsG试绘制系统的开环试绘制系统的开环Nyquist图。图。第五章第五章 频域分析法频域分析法232222212111)(TTTKA321arctanarctanarctan)(TTT 0： A(0)K ： A( )0 (0)0 ( )2700ReImK =0 第五章第五章 频

43、域分析法频域分析法解：解：q 例例2：已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：) 12 . 0)(15 . 0(10)()(ssssHsG绘制系统开环绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。图并求与实轴的交点。) 12 . 0)(15 . 0(10)()(jjjjHjG)04. 01)(25. 01 (10)(22A第五章第五章 频域分析法频域分析法2 . 0arctan5 . 0arctan90)( 0： A(0) ： A( )0 (0)90 ( )2700) 11 . 0(49. 0) 11 . 0(10)(2232QNyquist图与实轴相交时：图与实轴相交时：解得

44、：解得：16. 310 j10（ 舍去）舍去）第五章第五章 频域分析法频域分析法222) 11 . 0(49. 07)(P又：又：解得：解得：43. 1710)(jP-7-1.43 0 ReIm0第五章第五章 频域分析法频域分析法q 例例3：已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：) 1() 1()()(221sTssTKsHsG绘制系统的开环绘制系统的开环Nyquist图。图。)1 ()1 ()(2222221TTKA解：解：) 1() 1()()(221TjTjKjHjG第五章第五章 频域分析法频域分析法21arctanarctan180)(TT 0： A(0) (0)18

45、0 ： A( )0 ( )180 T1T2 时：时： ( ) T2 时：时： ( ) 180ReIm 0 0 0 T1T2第五章第五章 频域分析法频域分析法 Nyquist图的一般形状图的一般形状考虑如下系统：考虑如下系统：)()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvmq 0型系统（型系统（v = 0） 0： A(0)K ： A( )0 (0)0 ( )(nm)90ReIm 0K n=1n=2n=3n=4 只包含惯性环节的只包含惯性环节的0型系统型系统Nyquist图图0第五章第五章 频域分析法频域分析法q I型系统（型系统（v = 1）

46、 0： ： (0)90 ( )(nm)90A( )0A(0) ReIm 0 n=2n=3n=4 0n=1第五章第五章 频域分析法频域分析法第五章第五章 频域分析法频域分析法q II型系统（型系统（v = 2） ： ( )(nm)90A( )0 0： (0)180A(0) ReIm 0 n=2n=3n=4 0第五章第五章 频域分析法频域分析法q 开环含有开环含有v个积分环节系统，个积分环节系统，Nyquist曲线曲线起自幅角为起自幅角为v90的无穷远处。的无穷远处。q n = m时，时，Nyquist曲线起自实轴上的某一曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。有限远点，且止于实

47、轴上的某一有限远点。q n m时，时，Nyquist曲线终点幅值为曲线终点幅值为 0 ，而相角为而相角为(nm)90。 n-m=1n-m=2n-m=3n-m=4ReIm0第五章第五章 频域分析法频域分析法q 不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统，由单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化，于相角非单调变化，Nyquist曲线可能出现凹凸。曲线可能出现凹凸。第五章第五章 频域分析法频域分析法l 系统开环系统开环Bode图的绘制图的绘制 考虑系统：考虑系统：)()()()(21sGsGsGsGn)(

48、)()(jeAjG)()()(2121)()()(njneAAA)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n第五章第五章 频域分析法频域分析法 例例1已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：)10010)(12() 15 . 0(1000)()(2ssssssHsG试绘制系统的开环试绘制系统的开环Bode图。图。解：解：10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG易知系统开环包括了五个典型环节：易知系统开环包括了五个典型环节：第五章第五章 频域分析法频域分析法10)(1sGssG1)(

49、315 . 0)(2ssG转折频率：转折频率： 2=2 rad/s121)(4ssG转折频率：转折频率： 4=0.5 rad/s10010100)(25sssG转折频率：转折频率： 5=10 rad/s第五章第五章 频域分析法频域分析法100110arctan2arctan5 . 0arctan90100110arctan2arctan905 . 0arctan0)()()()()()(22543211001001lg2041lg20lg2025. 01lg2010lg20)()()()()()(2222254321LLLLLL开环对数幅频及相频特性为：开环对数幅频及相频特性为：第五章第五章

50、频域分析法频域分析法Bode Diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100 ( ) / (deg)L( )/ (dB) (rad/sec)L1L2L3L4L5L( ) ( ) 1 2 3 4 5-20dB/dec-40-20-60 2 4 5=10第五章第五章 频域分析法频域分析法 Bode图特点图特点q 最低频段的斜率取决于积分环节的数目最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为斜率为20v dB/dec。q 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：lg20lg20)(vKL当当 1 rad/s时，时，L( )=2

51、0lgK，即最低频，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在段的对数幅频特性或其延长线在 1 rad/s时的数值等于时的数值等于20lgK。第五章第五章 频域分析法频域分析法q 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。为各环节的转折频率。q 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降对惯性环节

52、，斜率下降 20dB/dec；振荡环节，；振荡环节，下降下降 40dB/dec；一阶微分环节，上升；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升；二阶微分环节，上升 40dB/dec。第五章第五章 频域分析法频域分析法 Bode图绘制步骤图绘制步骤q 将开环传递函数表示为典型环节的串联：将开环传递函数表示为典型环节的串联：) 12)(1() 1() 12)(1() 1()()(112211112211sTsTsTsTsssssKsHsGqqqqvppppq 确定各环节的转折频率：确定各环节的转折频率：,2121TT并由小到大标示在对数频率轴上。并由小到大标示在对数频率轴上。第五章第五

53、章 频域分析法频域分析法q 计算计算20lgK，在，在 1 rad/s 处找到纵坐标等处找到纵坐标等于于20lgK 的点，过该点作斜率等于的点，过该点作斜率等于-20vdB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。左，得到最低频段的渐近线。q 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率。频率改变一次渐近线斜率。q 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。q 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相

54、加获得。第五章第五章 频域分析法频域分析法 例例2已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下：) 101. 0)(105. 0)(15() 15 . 0(100)()(sssssHsG试绘制系统的开环试绘制系统的开环Bode图。图。解：开环增益解：开环增益K100，20lgK40各环节转折频率分别为：各环节转折频率分别为：sradsradsradsradTTT/100,/20/2,/2 . 03211第五章第五章 频域分析法频域分析法Bode Diagram-80-60-40-200204060-180-135-90-4504590 (rad/sec) ( ) / (deg) L( )/ (dB)0.22201000-200-20-40第五章第五章 频域分析法频域分析法l 传递函数的实验确定法传递函数的实验确定法 基本思路基本思路对待测系统，在感兴趣的频率范围内施加正对待测系统，在感兴趣的频率范围内施加正弦