自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、1、的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 2、f(x)是定义在(-,+)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.3、函数f(x)对任意xyR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-,+)上的单调性;(2)求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.4、函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y(1,

2、1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 5、 是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论;6、 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f(x)>0；3证明：f(x)是R上的增函数；4假设f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。7、 函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >

3、;0. (1)求; (2) 判断函数的单调性,并证明.8、 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数;9、 函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明: 在R上单调递减;10、 函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。 1证明：； 2假设成立，求x的取值范围。11、 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的xR，恒有f(x)>0；3

4、证明：f(x)是R上的增函数；4假设f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。12、 函数,在R上有定义，对任意的有 且1求证：为奇函数2假设， 求的值13、 函数对任意实数恒有且当x0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间3,3上的最大值；(3)解关于的不等式14、定义在R上的函数fx对任意实数a、b都有fa+b+ fab=2 fa·fb成立，且。1求f0的值；2试判断fx的奇偶性；15、定义在上的函数满足：1值域为，且当时，；2对于定义域内任意的实数，均满足：试答复以下问题：试求的值；判断并证明函数的单调性；16、定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x

5、，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；假设函数f(x)在-3，3上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；参考答案1、分析：在中，令，得 令，得于是 故是偶函数2、解析:(1)f(x)对任意x,y都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).f(1)=0,令x=y=-1,有f(-1)×(-1)=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1),f(-1)=0.(2)f(

6、x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). 函数f(x)是(-,+)上的奇函数.3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x),设x1x2(-,+)且x1>x2,那么f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)x1>x2,x1-x2>0. 又x>0时,f(x)<0.f(x1-x2)<0. 即f(x1)-f(x2)<0.由定义可知f(x)在区间(-,+)上为单调递减函数.(2)f

7、(x)在区间(-,+)上是减函数,f(x)在-3,3上也是减函数. f(-3)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在-3,3上最大值为2,最小值为-2.4、思路分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点 证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0<x1<x2<1,那么f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0<x1<x2

8、<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0，x2x1<1x2x1,0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1) f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 f(x)在(1，1)上为减函数 5、1解：令，那么 令，那么 2证明：令，那么， 令，那么 是奇函数。6、解：1令a=b=0，那么f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 2令a=x，b=-x那么 f(0)=f(x)f(-x) 由x>0时，f(x)>1>0，当x<0时

9、，-x>0，f(-x)>0又x=0时，f(0)=1>0对任意xR，f(x)>0(3)任取x2>x1，那么f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 f(x2)>f(x1) f(x)在R上是增函数4f(x)·f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 0<x<37、1解：令，那么2任取,那么 =函数是R上的单调增函数.8、(1)解: 对任意,有>0, 令得,(2)任取任取,那么令,故 函数的定义域为R,并

10、满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.9、解： (1)证明:令,那么当时,故,当 时, 当时,那么 (2)证明: 任取,那么,0<,故<0,又,故函数是R上的单调减函数.10、(1)证明：令，那么，故 2，令，那么， 成立的x的取值范围是。11、解 1令a=b=0，那么f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=12令a=x，b=-x那么 f(0)=f(x)f(-x) 由x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0又x=0时，f(0)=1>0对任意xR，f(x)>0(3)任取x2&g

11、t;x1，那么f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 f(x2)>f(x1) f(x)在R上是增函数4f(x)·f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 0<x<312、解：（1） 对，令x=u-v那么有（2） f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)-g(u)f(v)=-f(x)2f(2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(

12、1)=f(1)g(-1)+g(1)f(2)=f(1)0g(-1)+g(1)=113、解1取那么取对任意恒成立 为奇函数.2任取， 那么 ks5u 又为奇函数 在，+上是减函数.对任意，恒有而在3，3上的最大值为63为奇函数，整理原式得 进一步可得 而在，+上是减函数， 当时， 当时，当时， 当时, 当a>2时，14、解：1令a=b=0那么f0+ f0=2 f0·f0所以2 f0·f01=0又因为，所以f0=12令a=0，b=x，那么fx+ fx=2 f0·fx由f0=1可得fx= fx所以fx是R上的偶函数。15、解：在中，令，那么有即：也即：由于函数的值域

13、为，所以，所以函数的单调性必然涉及到，于是，由，我们可以联想到：是否有？这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故式成立所以，任取，且，那么，故且所以，所以，函数在R上单调递减16、解:1由对于任意xR，yR，fx+y=fx+ fy恒成立令x=y=0，得f0+0= f0+ f0，f0=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函数.2设任意x1，x2R且x1x2，那么x2-x10，由fx2-x101又fx2-x1= fx2+ f-x1= fx2- fx12由12得f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)6，又f-3= - f3= - f2+1=- f2+ f1= - f1+ f1+ f1= -