线代需注意的问题及结论

1、线性代数中注意的问题及重要的结论原创By 华仔第一章 线性方程组一、 需要注意的问题概述：本章主要围绕如何解方程组而展开的。其实如果细心学习过后面章节的内容你会发现，线性代数整个这一本书就是在研究如何解方程组的问题。起先是通过高斯变换将待解方程组化为“阶梯型方程组来解答；而后又提出了矩阵通过类似于它的初等变换来解方程组矩阵的初等变换总共有六种类型：行变换三种；列变换三种。初等变换的手段也是将其化为阶梯型or最简型矩阵。1、 一些特殊的矩阵： 对角阵：所有非主对角线元素等于零的n阶矩阵，称为对角阵。 表示 Diag(a1,a2,an);单位阵是特殊的对角阵，主对角线的元素都为一。 上三角阵：主对

2、角线左下方的元素全部为零。下三角阵：主对角线右上方的所有元素都为零。 对称矩阵：元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。 反对称矩阵：. 等价标准型：F=r:为非零行的行数 奇异矩阵：行列式的值为零的矩阵；非奇异矩阵：行列式的值不为零的矩阵。2、 需注意的问题： 第一章的作用是引入矩阵的概念。在解题过程中用到的不多。一点需要在意的是： 1、非齐次方程组解的存在性定理：(充要条件) 方程组对应增广阵的阶梯形矩阵中没有形如(0，0，0，b)b0的行。 2、如果齐次线性方程组未知量个数(系数阵A的列数)大于大于方程个数系数阵A的行数，那么该方程组必有非零解。 3、对于未知量的个数大于方程个数的方程在求解

3、时要介入自由变量。第二章 矩阵概述：本章着重研究矩阵，从概念到性质再到其应用。第一章和第二章的过渡很自然。第一章提出矩阵的概念及其求解方程组的作用，第二章就开始深入研究它。一、需注意的问题1：矩阵运算注意的问题。 数乘：矩阵和数只可以做数乘，加法是绝对不允许的。例：A+2(X) 应该为A+2E(). 乘法：要学会通过乘法将方程组表示成矩阵方程或向量方程的形式；还有第六章的二次多项式就是用乘法转换为矩阵方程的形式的F(x)=；矩阵的乘法是不满足交换律的，即ABBA，所以在解矩阵方程时要分清左乘还是右乘矩阵，提公因式时也要分清左右；矩阵的乘法一般不满足消去率，即AB=ACB=C.但有一种情况矩阵是

4、可以互相消去的，就是矩阵中有一个元素，即可看成是一个数；AB=0A=0 or B=0 。 幂：首先必须明白一点矩阵是没有除法的。运算法那么：；。 一般来说，上述指数全部为正整数。绝对不存在负指数的矩阵运算，还有,它只为,运算时一定要与实数的运算区分。 转置与可逆运算：相似处：;不同处：;可逆无。2：可逆矩阵、对称矩阵及分块矩阵： 仅从前几章来看似乎可逆矩阵的作用范围非常窄，可是学完整本书之后你会发现可逆矩阵的作用非常大。可逆矩阵: 可逆矩阵的求解总共有两个大方法和两个小方法。大1、初等变换法2、(|A|0)； 小1.2. 可逆矩阵的证明前后总共有七条定理或推论。此处不再详述。 对称矩阵： 设A

5、、B是同阶对称矩阵，k是一个实数，那么A+B,A-B,kA仍是对称矩阵。 分块矩阵： 转置：总共分为两步。一是先将整个矩阵转置，然后对每个子块内部进行转置。 乘法:必须保证A,B两分块矩阵的分块方法完全相同。 可逆矩阵的求解：A,B都是n阶可逆矩阵，2n阶矩阵D=二、 相关结论1、 A ，B均是n阶对称矩阵，AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA.2、 如果对称矩阵A可逆，那么也是对称矩阵。3、 A为n阶实矩阵，且满足,那么A=0第三章 行列式 概述：行列式是解线性方程组的另一种方法。行列式与矩阵之间有本质的区别(矩阵只是个数表而行列式是一种运算)，同时两者又有着很多相似的性质。一、 需要注意的

6、问题1. 每个矩阵都对应着一个行列式，但是行列式在计算时要和矩阵区分开，相似的性质中还有一些区别。比方用初等变换解行列式。2. 上下三角矩阵行列式的值等于其对角线上元素之乘积，此处的对角线指的是主对角线，另一条对角线上的元素要考虑符号，所以不满足。3. 行列式的初等变换：,此处一定要注意行列式与矩阵初等变换的不同。4. 对于n阶方阵A，那么|A|=,其中是个数。5. 行列式的求解技巧很多，需要我们掌握的就是化三角法和降阶法。6. 行列式的初等变换是等值的变换，之间用等号连接而矩阵的初等变换是等价的变换，是不相等的，之间是用箭头连接的。7. 范德蒙行列式的求解公式：8. 分块矩阵行列式的求解：

7、。式中C可以为零，结果不影响。 其中A,B分别为m,n阶方阵 其中A,B是同阶方阵。9. 行列式的乘积定理：设A,B是n阶方阵，那么|AB|=|A|B|;|AB|=|BA|.10. 行列式应用处的重要结论：11. 克拉默法那么：设含n个未知量、n个方程的非齐次线性方程组，其系数阵的行列式0，那么该方程组有唯一解；设含有n个未知量、n个方程的齐次线性方程组，其系数阵的行列式0，方程组只有零解。克拉默法那么只适用于方程个数与未知数个数相等的线性方程组12. 如果行列式|A|中某一行列的所有元素均为两个数之和，那么该行列式等于相应的两个行列式的和按此性质只能一行一行或一列一列的进行拆解。13. 矩阵

8、和行列式提取公因式不同。矩阵是当所有元素都有同样的公因式时可以进行提出；反之乘进去时是每个元素都要乘以公因式的。行列式是当每一行或每一列的元素有同一个公因式时就可进行提出；反之乘进去时可以乘任意一行或列。二、 相关结论 1、伴随矩阵的运算： 2、假设行列式的某行列元素全为1，那么这个行列式的全部代数余子式的和=该行列式的值。第四章 向量空间 概述:本章主要讨论线性相关和无关的问题，还有秩的概念。大的背景是向量空间。普遍来看，这一章的概念和定理非常的多而且很难理解和应用。一、 需要注意的问题1. 向量和矩阵的关系：向量是标量的数组，矩阵是向量的数组；它们是同一本质的不同形式。本质：可以相互等效，

9、可以在任何范畴上借用or 代用对方的形式和方法来解答和思考问题。矩阵的m行n列的数表可视为m个行向量的序列，既m元的有序行向量组，列类似。向量组是假设干同维的列向量的序列，m元n维列向量的序列对应一个m*n 阵，行类似。矩阵包含向量。2. 解向量或解与根底解系是不可以等同的。解向量包含根底解系。3. 易混淆的概念：极大无关组；基；维数；秩；根底解系；代数重数；几何重数；特征向量；标准正交基。 极大无关组是最根本的概念，它属于解向量。它是研究向量组时提出的，是指向量组中一些线性无关量的统称，当然这个概念适用于矩阵。它与方程是无关的。 秩是紧随极大无关组之后提出的，它是指极大无关组中所含向量的个数

10、。它同时也适用于矩阵。与方程组无关。 基是在以向量空间为背景提出的。它是指向量空间V0的一个极大无关组a1,.,ar为向量空间V的一个基，基所含的向量的个数r为向量空间V的维数。可以得出结论：极大无关组，秩，基，维数是本质相同的在不同背景下叫法不同的概念。 根底解系：来源于线性方程组(AX=0)，是线性方程组的解向量中线性无关的一些向量换句话说根底解系就是解向量组的极大无关组。具体是指齐次线性方程组AX=0解空间N(A)的基。根底解系所含向量的个数叫做解空间N(A)的维数。维数=n-R(A) 代数重数：来源于线性方程组具体是指矩阵A的特征值的重数。几何重数：来源于线性方程组。具体是指线性方程组

11、根底解系所含向量的个数，即.所以总的来看几何重数与维数是不同背景下本质相同的概念。 特征向量：来源于线性方程组。特征向量是由特征值代入()解方程而得到的。所以特征向量是对应于特征值的。特征值：数值是矩阵A的特征值。 标准正交基。这是在欧式空间中定义的一个量。欧式空间中一组亮亮正交的单位向量构成空间的基，这样的基称为标准正交基。4. 线性相关，线性无关，线性表示，线性组合都是在向量组的根底上提出的，矩阵是适用的。也可以用线性相关，线性无关来表述一个向量的线性相关性；而线性表示，线性组合一般是不提及单个向量的。二、 相关结论1、2、设向量组a1,a2,aq可由向量组b1,b2,bp 线性表示，如果

12、qp,那么a1,a2,aq必线性相关。第五章 特征值与特征向量概述：特征值与特征向量的提出主要是用来解决形如的方程的，仍然未离开解方程的这一主线。一、 需要注意的问题1. 特征值确实定需要通过解特征多项式这时涉及到行列式的初等变换。所以解的正确与否以及解的快慢取决于行列式的形式。2. 矩阵A的特征值 对应的特征向量一定是非零的，否那么解是无意义的。3. 一般来讲，特征根的个数取决于所得方程的次数。得到的重根也必须表示出来。4. 易混淆概念：矩阵的等价；矩阵的相似；矩阵的合同；矩阵的正交；矩阵的正定。 矩阵的等价：如果矩阵A经过初等变换化为矩阵B，那么称矩阵A与B等价。有自反性；对称性；传递性的

13、性质。 矩阵的相似：设A与B都是n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得,那么称A与B 相似。有自反性；对称性；传递性的性质。 矩阵的合同：设A与B都是n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得,那么称A与B合同。有自反性；对称性；传递性的性质。 矩阵的正交：设Q是n阶实矩阵，如果,那么称Q是正交矩阵。 矩阵的正定：设A为实对称矩阵，假设A的各阶主子式都为正，那么称A是正定矩阵。以上概念非常容易混淆，对于每种类型的判定书上并未全部都给出判定定理。只有等价的判定，正定的判定非常明确的给出了判定定理，其他的相似，合同，正交的判定定理并且明确给出，所以在判断时要根据其具有的性质来判别，一般是要让所有的性质都满足。

14、二、 相关重要结论1、设n阶矩阵A的特征值为，那么1 2=|A|对于上述结论，假设题中出现重根，有几重根就要加几重根，绝不能因为是相同的就少加，这是错误的。2、设是一个多项式。又设是矩阵A的一个特征值，是其对应的一个特征向量，那么是矩阵多项式的一个特征值，仍是其对应的一个特征向量。第六章 实对称矩阵与实二次型概述：本章所研究的问题是在另外一个向量空间下进行的。欧式空间。欧式空间是在向量空间的根底上增加了向量的内积而构建的。这是为了更全面的研究问题，之前的向量空间没有涉及度量性质，而欧式空间弥补了这一缺乏。一、 需要注意的问题1、 对角化的问题：向量空间处有方阵的对角化：如果方阵A与对角阵相似，那么称A可对角化，否那么称A不可对角化。假设A可对角化，即存在可逆矩阵P使得。在向量空间处方阵的对角化是一个不定的概念，就是说A是否可对角化需要通过定理来加以判别。欧式空间处的实对称矩阵的对角化：设A是一个n阶实对称矩阵，那么A必可对角化，并且存在一个n阶正交矩阵Q，使得 。实对称矩阵是一定可以进行对角化的，这在求解问题时要比非实对称矩阵方便。这为之后二次型的求解提