高中数学 一类递推数列问题的解决与延伸论_第1页
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文档简介

1、.一类递推数列问题的解决与延伸已知数列an,a1=a,an+1=pan+q(p1,q0是常数),求数列an的通项公式an,是高中常见的递推数列问题.这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式，或归纳猜想证明.例.已知数列中，,求的通项公式解析:解法一（待定系数法）转化为型递推数列又，故数列是首项为，公比为的等比数列，即解法二（差分法形成差数列）转化为型递推数列=2an+1(n1)=2an+1+1，得(n1)，故是首项为a2-a1=2，公比为的等比数列，即，再用累加法得解法三用迭代法 解法四.归纳猜想证明法,猜想：.用数学归纳法证明(证明略).这类递推数列解决后, 其他类型的递推可以转化并

2、解决.类型一: 这类数列可变换成，令，则转化为型.例2.设数列求数列的通项公式解析:，两边同除以，得令，则有于是，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而类型二: 若取倒数,得，令，从而转化为型.例3. 已知数列中满足，求数列的通项.解：数列 中， ，即数列是以公差为3的等差数列.类型三: 这类数列可取对数得，从而转化为数列.例4. 已知数列中满足，求数列的通项.解: ， 是以为首项,5为公比的等比数列.类型四:可转化为例.设数列求数列的通项公式分析: 设法把分给.转化为解:由可得设故即用累加法得解决这类问题,还可使用下面的定理定理:在数列中， ，为初始值它的特征方程的两根为，则（）当时，；（）当时（证明略）解法2: 递推关系对应的特征方程为:则由得:例:在数列求数列的通项公式解:令使数列是以 为公比的等比数列

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