第17讲周期信号的傅里叶变换

1、第17讲周期信号的傅里叶变换第3章 信号与系统的频域分析本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系统对任意信号的响应。通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信号的调制与解调等等。本章主要内容n3.1 周期信号的分解与合成n3.2 周期信号的频谱及特点n3.3 非周期信号的频谱n3.4 傅氏变换的性质与应用（1）n3.5 傅氏变换的性质与应用（2）本章主要内容n3.6 周期信

2、号的频谱n3.7 系统的频域分析n3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器n3.9 取样定理及其应用n3.10 频域分析用于通信系统第第 17 讲讲周期信号的的频谱周期信号的的频谱周期信号进行傅里叶变换的目的将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从而由傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念。尽管周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激函数后，可以对周期信号进行傅里叶变换，从频谱密度的角度观察周期信号的离散频谱。同时将周期信号和非周期信号的分析方法用傅里叶变换工具统一起来。周期信号

3、的傅立叶变换复指数信号的傅里叶变换复指数信号的傅里叶变换正余弦信号的傅立叶变换正余弦信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换周期单位冲激序列的周期单位冲激序列的FSFS和和FTFT周期信号的周期信号的FSFS与其单周期信号的与其单周期信号的FTFT的关系的关系周期矩形脉冲的周期矩形脉冲的FSFS和单脉冲信号和单脉冲信号FTFT单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较周期信号的傅立叶变换存在条件周期信号的傅立叶变换存在条件 周期信号不满足绝对可积条件。 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的。 周期信号

4、的频谱是离散的频谱密度， 即傅立叶变换是一系列冲激。1.复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换 0( )jtf te)(210012()jte 00( )sin,( )cosf tt f tt000cos ()()t 000sin ()()tj 因为 由频移特性，可知 而对于正弦和余弦信号 根据线性性质并利用复指数信号频谱，得到其频谱函数分别为 对于复指数 余弦信号和正弦信号的波形及其频谱 正余弦信号的傅立叶变换正余弦信号的傅立叶变换:利用频移特性利用频移特性)().(1001 FetfFTtj)(21)(0 FTF)()()(cos1121111tjtj

5、eeFTtFT)()()(sin1121111jeeFTtFTtjtjj正余弦信号的傅立叶变换:用极限方法 有限长余弦 看成矩形 乘 对有限长余弦的频谱求极限，得到无限长余弦频谱1101( )( )cos( )() / 2jtjtftg ttg teet1cos( )g t)(0tf)(2)(2)()(21)(2121110SaSaGGF2.一般的周期信号的傅立叶变换ntjnneFtf1.)()(2)(1nFtfFTnn( )f t的指数形式的傅里级数展开式为 周期信号111/2/211( )TjntnTFf t edtT系数：根据傅里叶变换的线性和频移特性 周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变

6、换反映的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐波频率点)取得了无穷大的频谱值。2.一般的周期信号的傅立叶变换一般的周期信号的傅立叶变换11()2()2()nnnnF jFnFn 1nnF2周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率 处，其强度为相应傅里叶级数系数 的 倍。3、周期单位冲激序列的傅里叶变换ntjnntjnnnTeTeFnTtt111.)()(1)(12)(11nTtfFTn)()()(11nTntFTF)(t0t)(0F1)1(0)(tT1TtnF00)(

7、F1112121112111TFSFT3.周期冲激序列的波形、傅里叶系数、频谱函数 由FS 取f(t)的一个周期 ，其FT为 所以221111).(1TTtjnndtetfTF2121).()(00TTdtetfFtj1)(101nnFTF)(0tf)(0F4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号的傅立叶变换的关系4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号的傅立叶变换的关系1)(101nnFTF)(0F)0(101FTnF)(tf)(0tf单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较 单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值； 周期信号的频谱 是离散谱，是频谱密度的概念，它的

8、大小用冲激表示； 是 的包络的 。)(0F)(F)(F)(0F115 5、周期矩形脉冲的、周期矩形脉冲的FSFS和和FTFT的关系的关系1T112T例1：已知周期矩形脉冲信号f(t)的幅度为A，脉宽为，周期为。求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。角频率解：周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数是1( )jntnnf tF e其傅里叶系数为 111/2/211( )TjntnTFf t edtT（1）（2）5 5、周期矩形脉冲的、周期矩形脉冲的FSFS和和FTFT的关系的关系解：单个矩形脉冲的傅里叶变换为11202()( )Sa()2Tj tTFjf t edtA110111()Sa()2nnnAFFjTT比较（2）和（3），可得（3）（4）111/2/211( )TjntnTFf t edtT（2）5 5、周期矩形脉冲的、周期矩形脉冲的FSFS和和FTFT的关系的关系解：将（4）带回（1）式，得到111( )Sa()2jntnnAf teT所以，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为1111()2()Sa() ()2nnnnF jFnAn 周期信号时域表示周期信号双边频谱周期信号频谱密度5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系A)(0tf022tA)(0F2201T1TA)(tf1AT1A)(FnFtFTFSFT周期重复5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系周期矩形脉冲与单矩形脉冲的