隐函数微分法

1、函函数数。、由由一一个个方方程程确确定定的的隐隐1一一元元函函数数在在一一定定条条件件下下确确定定一一个个方方程程0 ),(yxF确确定定的的隐隐函函数数；，称称之之为为由由0 ),()(yxFxfy二二元元在在一一定定条条件件下下确确定定一一个个方方程程0 ),(zyxF确确定定的的隐隐函函数数；，称称之之为为由由0 ),(),(zyxFyxfz在在一一定定条条件件一一般般地地说说，方方程程021 ),(zxxxFn，称称之之为为由由方方程程元元函函数数确确定定一一个个),(nxxxfzn21 确确定定的的隐隐函函数数。021 ),(zxxxFn2、由方程组确定的隐函数、由方程组确定的隐函数

2、在在一一定定条条件件下下方方程程组组00 ),(,),(zyxGzyxF称称为为由由方方程程组组确确定定两两个个一一元元函函数数),(),(xzzxyy 确确定定的的隐隐函函数数；在在一一定定条条方方程程组组00 ),(,),(vuyxGvuyxF的的隐隐，称称为为由由此此方方程程组组确确定定件件下下确确定定两两个个二二元元函函数数函函数数；个个方方程程个个自自变变量量的的一一般般地地说说，由由含含有有)(nmmn 元元个个可可确确定定方方程程组组，在在一一定定条条件件下下)(mnm 构成的构成的函数。函数。定理定理1 1：设方程设方程满满足足：中中函函数数 FyxF0 ),(一阶偏导数；一阶

3、偏导数；的某一邻域内有连续的的某一邻域内有连续的在在),(00 (i)yxF；0 (ii)00 ),(yxF，0 (iii)00 ),(yxFy，0 )(,(xfxF，)(00 xfy 。且且yxFFdxdy 一一个个具具有有连连续续导导的的某某一一邻邻域域内内惟惟一一确确定定则则在在),(00yx，它它满满足足数数的的函函数数)(xfy 隐函数求导公式说明：说明：(1)0yF 为什么？00(2)(,)0 xF xy若说明什么？)(yxx 能确定隐函数的的某某一一邻邻域域内内能能惟惟在在点点验验证证方方程程例例),( 101 1 yxey，适适数数的的函函数数一一确确定定一一个个具具有有连连续

4、续导导)(xfy 。和和，并并求求出出合合022010 xxdxyddxdyf)(，则则令令证证：1 yxeyxFy),(；010 ii) ),(F01110 iii10 ),()(),()(yyxeF导导数数；的的邻邻域域内内显显然然有有连连续续偏偏在在),(),()(10 iyxF),(xfy 故故存存在在；得得且且由由10010 )(),(fF，得得，1 yyyxxeFeF。1 yyxeedxdyedxdyx 022dxyd。20222edxydx ，21)()( yyyxeeye 1yyxeedxd211)()()( yyyyyyxeyxeeeyexe解解令令1),(22 yxyxF则

5、则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd)11( ,12 xxy事事实实上上，这这个个函函数数就就是是解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .

6、xyyx .dd,)sin(xyxyyx求练习：设 ,)sin()(:则则令令解解xyyxx,yF .)cos()cos(xyxyxy xyxyyx )cos()cos(yxFFdxdy ,0)cos(时时当当 xyxFy.)cos(xyxFy ,)cos(yyxFx . .及及, ,或或者者，, ,或或者者，, , 可可得得二二元元函函数数0 0, ,设设有有方方程程 xzyxzyyzxyxzzyx 222 ) )? ?, , ,( ( 或或者者, ,) ), , ,( (可可确确定定隐隐函函数数什什么么条条件件下下，这这些些方方程程在在0 0, ,) ), , , ,( (或或者者，0 0

7、, ,) ), , ,( (，设设有有方方程程地地一一般般2 21 12 21 1nnxxxfuyxfzuxxxFzyxF, 0),(. 2 zyxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式zxFFxz zyFFyz 求求导导公公式式推推导导：求求导导，得得和和两两边边分分别别对对0 0, ,) ) ), ,( (, , ,( ( 由由yxyxfyxF ,FFxzzx ,FFyzzy ,xzFFzx0 ,yzFFzy0 说明：说明：的求法？xz)2(说明什么？改为若条件0),()3() 1 (000zyxFx),(zyxx 能确定隐函数元方程可推广到1)3(n解解令令则则,4),(222zzyxzyx

8、F ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 思路：思路：解法一（解法一（直接求导直接求导）解法二解法二 (公式法）公式法）),(),(xyzzyxfzzyxF 令令yzffFx 211则则xzffFy 211xyffFz 2111 zxFFxz于于是是21211fxyffyzf xyFFyx21211fxzffxyf yzFFzy2121fyzffxzf 01012zyxzyx; ; )xx(y)x(xz2222121 0202vuyxvuyx; ; y)(xuy)x(v321321例如例如又

9、如又如.,21221111222121121122211222112112222111211DDyDDxbabaDababDaaaaaaaaDbyaxabyaxa 则则系系数数行行列列式式式式解解法法：二二元元一一次次方方程程组组的的行行列列的雅可比行列式的雅可比行列式对变量对变量，）函数）函数（）（数；数；某邻域具有连续的偏导某邻域具有连续的偏导在点在点，）（满足条件：满足条件：，设两个函数设两个函数定理定理zyGFzyxGzyxFzyxGFGF,3; 0),(, 0),(2),(1 3000000000 .),()(),();(0),(0),(0000续这两个函数的导函数连，并且满足唯一确

10、定一组单值函数方程组xzzxyyxzzxyyzyxGzyxF0 zyzyGGFF的某邻域，在此邻域内则存在点),(000zyx求导公式推导如下：求导公式推导如下：求求导导，得得两两边边对对中中, ,在在方方程程组组xx,zxx,yGx,zxx,yF , 0) )()(;0) )()( 0101dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx xzyxzyGdxdzGdxdyGFdxdzFdxdyF时，时，当当0 zyzyGGFF, , zyzyxyxyzyzyyxzxGGFFGGFFdxdzGGFFGGFFdxdy .,)(),(, 01; 06222dxdzdxdyxzxyzyxzy

11、x的导数确定的函数：求由方程组例 , 0 1;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyxx求求导导数数，得得解解：方方程程组组两两边边对对 , 1 ;222dxdzdxdyxdxdzzdxdyy时，时，当当0221122 zyzyzyzxzyzxzyzxdxdy 2222221122zyyxzyxyzyxydxdz 2222221122zyzxzyzxzyzxdxdy 2222221122隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 (1)(1) 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在),(0000vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数， (2)

12、(2) 0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ， (3)(3) 偏导数所组成的函数行列式（或称偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式雅可比式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),( 0),(0),(vuyxGvuyxF一般地，方程组一般地，方程组满足什么满足什么条件，可以确定函数条件，可以确定函数?),(),(yxvvyxuu 在在点点),(0000vuyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一组组具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxuu , ,),(yxvv ，它它们们满满足足条条件件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx

13、，并并有有 ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 在不等于零时，则方程组在不等于零时，则方程组 0),(vuyxF0),( vuyxGvuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 求导公式推导如下求导公式推导如下:求求导导，得得两两边边对对中中, ,0 0) ) ), ,( () ), , ,( (, , ,( (0 0) ) ), ,( () ), ,( ( (在在方方程程组组xyxvyxuyxGyxvx,yuyxF , 0

14、0 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux xvuxvuGxvGxuGFxvFxuF公公式式. .解法一解法一直接代入公式；直接代入公式；解法二解法二运用推导公式的方法，运用推导公式的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的的条条件件下下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv .dxdyx,yxtyxeyty的的函函数数，求求确确定

15、定的的而而t t是是由由方方程程, ,已已知知例例18222) ). .( (, ,) )，, ,( () ), ,( (xyyxeyyxttyxyt 解法一：解法一：求求导导，得得两两边边关关于于对对方方程程xxeyx,yyt )(1 1, , ) ) ( ( dxdytydxdyytxtedxdyty,tyyt,txxtxtyyxtt 确确定定由由方方程程1222) ), ,( (; ;) )( (，tytyetytxyetdxdy22 解解得得1 1, , ) ) ( ( dxdytydxdytytxedxdyty代代入入上上式式得得解法二：解法二：,0222)( xdxtdtydydx

16、tdyydtedyty， 由由第第二二式式tydyxdxdt dxdydxtdytydyxdxyedyty)(代入第一式，得代入第一式，得;)(22tytyetytxyet 得得对对方方程程组组求求微微分分, ,例例9 9 设有方程设有方程),(yxfu , 0),(0),( zxhzyxg及及.,.具具有有连连续续的的偏偏导导数数其其中中求求hgfdxdu.zhygxhzgzhxgyfxfdxdu所确定的所确定的 的函数，的函数，x而而 是由方程是由方程y已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求? yzyxzx练习练习（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( y