第三章杆件的强度、刚度和稳定性计算

1、第二章第二章 静定结构的内力计算静定结构的内力计算教学内容：教学内容：平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图 静定平面刚架的内力计算与内力图静定平面刚架的内力计算与内力图 三铰拱的内力三铰拱的内力 截面的几何性质截面的几何性质基本要求：基本要求：掌握无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，并能熟练运掌握无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，并能熟练运用规则分析常见体系的几何组成；熟练掌握静定平面桁架内力的计算方法，用规则分析常见体系的几何组成；熟练掌握静定平面桁架内力的计算方法，熟练掌握静

2、定梁和静定刚架的内力计算和内力图的作法；理解三铰拱的受熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的作法；理解三铰拱的受力特点、合理拱轴的概念；掌握截面的形心、惯性矩的计算；熟练掌握惯力特点、合理拱轴的概念；掌握截面的形心、惯性矩的计算；熟练掌握惯性矩的平行移轴公式。性矩的平行移轴公式。 第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析几何不变体系：几何不变体系：体系受到任意荷体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置保的条件下，几何形状和位置保持不变的体系。持不变的体系。几何可变体系：几何可变体系：体系受到任意体系受到任意荷载作用后，在

3、不考虑材料变荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置形的条件下，几何形状和位置可以改变的体系。可以改变的体系。一、几何不可变体系、几何可变体系、几何瞬变体系一、几何不可变体系、几何可变体系、几何瞬变体系APANNPNNPAP是微量Y=0，N=0.5P/sin 由于瞬变体系能产生很大的内力，故几何瞬变体系不能作为建筑结构使用。 只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！发生微量位移第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析瞬变体系：瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后成本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变体系。为几何不变体系。第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面

4、体系的几何组成分析（3）区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要）区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。的基础。二、几何组成分析的目的二、几何组成分析的目的（1）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。（2）研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构能承受荷）研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构能承受荷载而维持平衡。载而维持平衡。第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析三、刚片、自由度和约束的概念三、刚片、自由度和约束的概念1 1、刚片、刚片 一根梁、一个柱、一根链杆、地

5、基基础、地球或体系中已一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。完全确定物体位置所需要的独立坐标数。完全确定物体位置所需要的独立坐标数。xyOAxyxyOxyABW=2W=3平面内一点平面内一点平面内一刚片平面内一刚片第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析xyO增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。 常见的约束常见的约束 ：两端用铰与其它物体相连的杆。两端用铰与其它物体相连的杆。链杆可以是直杆、折杆、曲杆。链杆可以

6、是直杆、折杆、曲杆。 必要约束：必要约束： 能减少体系自由度的约束。能减少体系自由度的约束。不减少体系自由度的约束称为多余约束。不减少体系自由度的约束称为多余约束。多余约束：多余约束：第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析xyO连接两个刚片的铰。连接两个刚片的铰。 一个单铰相当于两根链杆。一个单铰相当于两根链杆。增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。 第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析连接两个以上刚片的铰。连接两个以上刚片的铰。 xyOW=5 连接连接n个刚片的复铰，相当于（个刚片的复铰，相当

7、于（n-1-1）个单铰的作用）个单铰的作用 W=9W=6W=3一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析能形成虚铰的是链杆能形成虚铰的是链杆( ( ) )1 2 3 4 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。单铰单铰瞬铰瞬铰2，3（5）虚铰（瞬铰）虚铰（瞬铰）AO第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析三、无多余约束几何不变体系的组成规则三、无多余约束几何不变体系的组成规则 1、三刚片规则、三刚片规则 三刚片用不

8、在同一直线上的三个铰两两相联三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联, ,则组成无多余约束的几何不变体系。则组成无多余约束的几何不变体系。ABC第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析BA2、两刚片规则、两刚片规则 两刚片之间，用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆联结，或用两刚片之间，用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆联结，或用一个单铰和一根铰杆联结，且铰和链杆不在同一直线上一个单铰和一根铰杆联结，且铰和链杆不在同一直线上,则组成则组成无多余约束无多余约束的几何不变体系。的几何不变体系。图图bABC图图a第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析二元体：二

9、元体：是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置。是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置。 在一个体系上增加或减去二元体，在一个体系上增加或减去二元体，不会改变原有体系的几何构造性不会改变原有体系的几何构造性质。质。 3、二元体规则、二元体规则第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析三杆既不完全平行，也不完全交于一点。 (几何不变）三杆交于一实铰。 (几何可变）三杆交于一虚铰。 (几何瞬变）三杆平行等长。 (几何可变）三杆平行不等长。 (几何瞬变）第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组

10、成分析三个规则可归结为一个三角形法则。三个规则可归结为一个三角形法则。B（b）AC（a）ABCB（c）AC（d）BAB（e）AC第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析【例【例题题】试对图示体系作几何组成分析。】试对图示体系作几何组成分析。无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系有一个多余约束的几何不变体系有一个多余约束的几何不变体系第一节第一节 平面体系的几何组成分析平面体系的几何组成分析无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系几何可变体系几何可变体系第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算一、内力一、内力 截面法求内力截面法求内

11、力轴力轴力N N 的正负号规定为：的正负号规定为： 拉伸时，轴力拉伸时，轴力N N 为正；压缩为正；压缩时，轴力时，轴力N N 为负。为负。PmmPPN 当外力沿着杆件轴线作当外力沿着杆件轴线作用时，杆件截面上只有一个用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，称与轴线重合的内力分量，称为为轴力轴力，用，用N N 表示。表示。 二、静定平面桁架的内力计算二、静定平面桁架的内力计算2 2理想桁架假设理想桁架假设（1）各结点都是无摩擦的理想铰；）各结点都是无摩擦的理想铰；（2）各杆轴线都是直线）各杆轴线都是直线, 且通过铰的中心；且通过铰的中心；（3）荷载和支座反力都作用在结点上。）荷载和支座反

12、力都作用在结点上。 3 3桁架中杆的内力桁架中杆的内力只有轴力，拉力为正，压力为负。只有轴力，拉力为正，压力为负。NN第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算1 1桁架桁架由直杆通过铰连接而成的结构由直杆通过铰连接而成的结构( (一一) )概述概述节间节间桁高桁高4 4桁架的特点及各部分的名称桁架的特点及各部分的名称 同梁和刚架比较，桁架各杆只有轴力，截面上的应力分同梁和刚架比较，桁架各杆只有轴力，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用，具有重量轻，承受荷载大，布均匀，可以充分发挥材料的作用，具有重量轻，承受荷载大，是大跨度结构常用的一种形式。是大跨度结构常用

13、的一种形式。l跨度跨度上弦杆上弦杆竖杆竖杆斜杆斜杆下弦杆下弦杆第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算5 5桁架按几何组成分类桁架按几何组成分类简单桁架简单桁架 由基础由基础或一个基本铰结三角形或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体开始，依此增加二元体所组成的桁架所组成的桁架简单桁架、联合桁架、复杂桁架简单桁架、联合桁架、复杂桁架第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算联合桁架：由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的。联合桁架：由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的。复杂桁架：复杂桁架：不属于不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何

14、以上两类桁架之外的其它桁架。其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加 以分析，需用零荷载法等予以判别。以分析，需用零荷载法等予以判别。复杂桁架不仅分析计算麻烦，复杂桁架不仅分析计算麻烦，而且施工也不大方便。工程而且施工也不大方便。工程上较少使用。上较少使用。第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算（二）结点法和截面法求桁架的内力（二）结点法和截面法求桁架的内力【例例2-52-5 】用结点法计算图示桁架各杆的内力。用结点法计算图示桁架各杆的内力。解：解：

15、 1) 求支座反力求支座反力2)2)求各杆内力求各杆内力2F2F2m2m2m2m2mBA76F/2FFFF/2214352FN12N131第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算51sin 022sin 013，FFNY 压FN25313结点结点1 1：52cos 0c 01213，NosNX 拉PN312结点结点2 2：2N23N25N12 拉，PNNNX3 0 02512250 023NY，结点结点3 3：N130N34N35F3 压，PNPNY25 , 0cossin2 03535 压，PNNPsNNX5 , 02cosin 0343513344N34N46N

16、45结点结点4 4： 拉，PNNPNY454345 , 0sin2 0第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算PN1=0N2=0N2=N1N3=0N1N1=0N2=PP零杆的判断零杆的判断(1)(1)不共线的两杆结点不共线的两杆结点 且无外力作用且无外力作用(2)(2)不共线的两杆不共线的两杆 结点有外力作用结点有外力作用(3)(3)三杆结点无外力三杆结点无外力 作用且有两杆共线作用且有两杆共线第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算【例例2-62-6 】用截面法计算图示

17、桁架用截面法计算图示桁架1 1、2 2、3 3、4 4杆的内力。杆的内力。4F4F1FF/2FFFFFFF/2Am24m38423B解：解： 1) 求支座反力求支座反力2)2)求各杆内力求各杆内力B4m4m取取截面左边为研究对象截面左边为研究对象 拉，F5 . 4 062434033NFFFNmD 压，FNFFFFNmC62. 5, 0924634011 拉，FNNFFFFY875. 1 , 0cos24 0221FF/2FA23N1N2N3CD1FF/2FFFFFFF/2Am24m38423B第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算4F4F4F1FF/2FFFFF

18、FF/2Am24m38423B1FF/2FA423N1NN4 压，F5 . 1 024 044NFFFFNY第二节第二节 内力内力 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算4F第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图一、静定梁的形式一、静定梁的形式静定梁分为单跨静定梁和多跨静定梁静定梁分为单跨静定梁和多跨静定梁 多跨静定梁：由若干单跨梁用中间铰按照无多余约束的几何不多跨静定梁：由若干单跨梁用中间铰按照无多余约束的几何不变体系组合规则组成的。变体系组合规则组成的。 除一跨无铰外，其余各跨均有一铰除一跨无铰外，其余各跨均有一铰 无铰跨与两铰跨交互排列无铰跨与两铰跨交互排列 静定多

19、跨梁由静定多跨梁由基本部分基本部分和和附属部分附属部分组成组成基本部分：能独立承受外载。附属部分：不能独立承受外载。基本部分：能独立承受外载。附属部分：不能独立承受外载。ABCDEFGHABCDEFGH附属部分是支承在基本部分上的，要分清构造层次图。附属部分是支承在基本部分上的，要分清构造层次图。基本部分上的荷载不影响附属部分受力。基本部分上的荷载不影响附属部分受力。附属部分上的荷载影响基本部分受力。附属部分上的荷载影响基本部分受力。第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图二、梁的内力二、梁的内力第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图aPABmmx 、弯矩和剪力的

20、定义、弯矩和剪力的定义 以图以图所示受集中力所示受集中力P P作用的简支梁为例，来分析梁作用的简支梁为例，来分析梁横截面上的内力。横截面上的内力。第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图V用截面法假想地在用截面法假想地在横截面横截面mm处把梁分处把梁分为两段，先分析梁左段。为两段，先分析梁左段。xxmAmyRACaPABmmx00VyRA由平衡方程得由平衡方程得可得可得 V = RAV 称为 2.3 2.3 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图VxxmAmyRACaPABmmx可得可得 M=RAx由平衡方程由平衡方程 0m

21、C0 xRMA此内力偶称为此内力偶称为 M 2、弯矩和剪力的正负号规定弯矩和剪力的正负号规定mm(a)VV+剪力符号剪力符号使梁使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正段有顺时针转动趋势的剪力为正。dxmm(b)VV-第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图使梁使梁段的下部段的下部纤维纤维受拉时为受拉时为正，反之为负。正，反之为负。弯矩符号弯矩符号+（受拉）（受拉）MM_（受压）（受压）MM第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图【例例2-72-7 】如图所示外伸梁，求如图所示外伸梁，求1-11-1、2-22-2截面上的

22、剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。F2=20kNAB3m2m3m1.5m1mF1=3kN1122解：解： 1) 求支座反力求支座反力kN9kN14BARR，RARB0011VFRYA，kN1111FRVA mkN513 013 01111AAiCRFMRFMFmAF1=3kNRAM 1V 1C为截面形心（下同）为截面形心（下同）BRBM 2V 2F2=20kNAB3m2m3m1.5m1mF1=3kN1122002BRVY，kN92BRV mkN5 .13 5 . 1 0M5 . 1 0B22BRMRFmiC，第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图第三节第三节 梁的内力计算与内力图

23、梁的内力计算与内力图剪力剪力V V= = 截面一侧所有外力在截面上投影代数和。截面一侧所有外力在截面上投影代数和。 外力绕截面形心顺时针转动，投影取正，反之取负。外力绕截面形心顺时针转动，投影取正，反之取负。弯矩弯矩M M = = 截面一侧所有外力对截面形心之矩的代数和。截面一侧所有外力对截面形心之矩的代数和。 外力矩（包括外力偶）使梁段纤维下侧受拉时取正，反外力矩（包括外力偶）使梁段纤维下侧受拉时取正，反之取负。之取负。v 内力的直接算式：内力的直接算式：【例例2-82-8 】如图所示悬臂梁，求如图所示悬臂梁，求1-11-1、2-22-2、3-33-3截面上的内力。截面上的内力。20kNAB

24、1.5m1m10kN113322mkN10kN302010mkN10kN102211MVMVmkN625.6025 . 15 . 155 . 1205 . 210kN5 .375 . 15201033MV第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图【例例2-92-9 】如图所示伸臂梁，求如图所示伸臂梁，求1-11-1、2-22-2、3-33-3截面上的内力。截面上的内力。kN18，kN4BARR解：解： 1) 1) 求支座反力求支座反力0kN411MVm3kN233234kN232422MV10kNAB3m3m1.2m1122332kN/mmkN212 . 110kN1033MV第三

25、节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图三、梁的内力图三、梁的内力图绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。剪力图：正值画在基线上方，负剪力图：正值画在基线上方，负 值画在基线下方值画在基线下方【例例2-102-10 】试作出图示悬臂梁的内力图。试作出图示悬臂梁的内力图。ABlFx FxV FxxM1 1、描点法、描点法弯矩图：画在受拉一侧弯矩图：画在受拉一侧V 图图M 图图第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图【例例2-112-11

26、】试作出图示简支梁的内力图。试作出图示简支梁的内力图。1）求支座反力求支座反力 2qlRRBA qxqlqxRxVA2 2222qxxqlxqxxRxMA2ql2qlV 图图82qlM 图图ABlqx微分关系微分关系q向向下下为 正为 正 xqdxdV xVdxdM xqdxMd22V+dVdxyxMM+dMVqAqCBDPmFE第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图2 2、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图平行轴线平行轴线斜直线斜直线 Q=0=0区段区段M图图 平行于轴线平行于轴线Q图图 M图图备注备注二次抛物线二次抛物线凸

27、向即凸向即q q指向指向Q=0=0处，处，M达到极值达到极值发生突变发生突变P出现尖点出现尖点集中力作用截面集中力作用截面剪力无定义剪力无定义无荷载无荷载均布荷载均布荷载集中力集中力集中力偶集中力偶无变化无变化 发生突变发生突变两直线平行两直线平行m集中力偶作用面集中力偶作用面弯矩无定义弯矩无定义在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计

28、算与内力图【例例2-132-13 】作图示外伸梁的内力图作图示外伸梁的内力图。10kNACB1.2m3m2kN/m3m7.64kN4.76kN4.76Q图（图（kN）2.414.28M图（图（kNm）1.445.24【例例2-142-14 】作图示简支梁的内力图作图示简支梁的内力图。第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图ACB4m6kN/m2m6kN18kN12kNm6Q图（图（kN）18122427M图（图（kNm）【例例】作图示简支梁的内力图作图示简支梁的内力图。22610222832.5201.5mQ图（图（kN）M图（图（kNm）ACBD1m4m4kN/m16kN1m2

29、m22kN10kN第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图【例例】作图示伸臂梁的弯矩图作图示伸臂梁的弯矩图。ACBD2.5m2m1kN/m4kN2.5m3kNm325第三节第三节 梁的内力计算与内力图梁的内力计算与内力图M图（图（kNm）0.5一、刚架一、刚架 刚架是由若干直杆，部分或全部用刚结点连接而成的结构。刚架是由若干直杆，部分或全部用刚结点连接而成的结构。二、刚结点的特点二、刚结点的特点1.1.变形：刚结点处的各杆端不能发生相对移动和相对转变形：刚结点处的各杆端不能发生相对移动和相对转 动，因而受力变形后，各杆杆端转动了相同一动，因而受力变形后，各杆杆端转动了相同一 角度

30、，即各杆之间的夹角变形前后保持不变。角度，即各杆之间的夹角变形前后保持不变。2.2.受力：刚结点可承受和传递弯矩受力：刚结点可承受和传递弯矩第四节第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图静定平面刚架的内力计算与内力图三、静定平面刚架类型三、静定平面刚架类型1 1、悬臂刚架、悬臂刚架2 2、简支刚架、简支刚架3 3、三铰刚架、三铰刚架4 4、主从刚架、主从刚架第四节第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图静定平面刚架的内力计算与内力图刚架的内力有刚架的内力有M、V、N 弯矩不规定正负号，只规定弯矩图画在杆件受拉一侧；剪力弯矩不规定正负号，只规定弯矩图画在杆件受拉一侧；剪力正负号与梁相同正负号与梁相同

31、 、轴力拉为正，压为负。、轴力拉为正，压为负。弯矩弯矩M = =截面一边所有外力对截面形心的外力矩之和。截面一边所有外力对截面形心的外力矩之和。剪力剪力V = =截面一边所有外力沿杆轴法线方向投影代数和。截面一边所有外力沿杆轴法线方向投影代数和。轴力轴力N = =截面一边所有外力沿杆轴切线方向投影的代数和。截面一边所有外力沿杆轴切线方向投影的代数和。 结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。作为下标来表示，并把该端字母列在前面。第四节第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图静定平面刚架的内力计算

32、与内力图四、静定平面刚架的内力计算与内力图四、静定平面刚架的内力计算与内力图【例例2-162-16】作出图示刚架的内力图。作出图示刚架的内力图。解：解：1）求支座反力求支座反力2）求各杆端内力求各杆端内力并并绘制内力图绘制内力图第四节第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图静定平面刚架的内力计算与内力图40kN46.67kN73.33kN右侧受拉右侧受拉mkN80mkN802400BEEAEMMM4kNCABD6m2m2m20kN/mE下侧受拉mkN8000BCCBCDDCMMMM第四节第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图静定平面刚架的内力计算与内力图80CABD80E80M图（图（kNm）4

33、0CABD46.67E73.33V图（图（kN）C46.67ABDE73.33N图（图（kN） 在刚结点上在刚结点上, ,各杆端弯矩和各杆端弯矩和结点集中力偶应满足结点的力结点集中力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两杆相交的刚矩平衡。尤其是两杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用时，结点，无结点集中力偶作用时，两杆端弯矩应等值，同侧拉。两杆端弯矩应等值，同侧拉。第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力一、概述一、概述FHA0HA0FHA0F拱：杆轴线为曲线，且在拱：杆轴线为曲线，且在竖向荷载作用下会产生水竖向荷载作用下会产生水平推力的结构。平推力的结构。第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力拱的类型拱

34、的类型静定拱静定拱超静定拱超静定拱三铰拱三铰拱两铰拱两铰拱无铰拱无铰拱拉杆拱拉杆拱第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力lf高跨比高跨比拱的各部分名称拱的各部分名称BAC f拱顶拱顶拱轴线拱轴线拱高拱高 f拱趾拱趾起拱线起拱线跨度跨度 l第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力二、二、 三铰拱的计算三铰拱的计算1、支座反力的计算、支座反力的计算BAC fl1l2P1xyP2a1b1a2b2lRARBHAHBBACP1P20AR0BR 0Bm02211 AiiARlbPlbPbPR0 2211bPbPlRA第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力 0Am0BiiBVlaPR0)(1111lRalPf

35、HAAHHfMfalPlRHBCAA01111)( 0cmBAC fl1l2P1xyP2a1b1a2b2lRARBHAHBBACP1P20AR0BRfMHHHRRRRCBABBAA000在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点：在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点：1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。2）竖向支座反力与拱高无关。）竖向支座反力与拱高无关。3）当荷载和跨度固定时，拱的水平反力）当荷载和跨度固定时，拱的水平反力H与拱高与拱高 f 成反比，即拱高成反比，即拱高 f 越越大，水平反力大，水平反力H越小，反之，

36、拱高越小，反之，拱高 f 越小，水平反力越小，水平反力H越大。越大。 反力计算公式：反力计算公式：第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力2、内力的计算、内力的计算HBBAC fl1l2P1xykkyP2a1b1a2b2lRARBHAxkkBACP1P20AR0BRk P VkNkMkHRA1100100axPxRMPRVkkAkAkkkkkkAkkkAkHyMHyaxPxRHyaxPxRM011011第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力HBBAC fl1l2P1xykkyP2a1b1a2b2lRARBHAxkkBACP1P20AR0BRk P VkNkMkHRA1100100axPxRMPR

37、VkkAkAkkkkkkAkkkAkHVHPRHPRVsincossincossincoscos0101kkkkkAkkkAkHVHPVHPVNcossincossincossinsin0101第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力kkkkkkkkkkkHVNHVVHyMMcossinsincos000内力的计算公式：内力的计算公式：注：注：1）该组公式仅用于两底铰在同一水平线上）该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且承受竖向荷载；且承受竖向荷载；2）在拱的左半跨）在拱的左半跨 k 取正，右半跨取负。取正，右半跨取负。BAC fl1l2P1xykkyP2a1b1a2b2lRARBHAxkk第

38、五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力 kN12 448810kN14 16128248kN10 16482128000fMHRRRRCBBAA(1) (1) 反力计算反力计算解解: :【例【例2-17】计算图示三铰拱】计算图示三铰拱D、E截面的内力，拱的轴线为抛物线：截面的内力，拱的轴线为抛物线：y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。，求支座反力，并绘制内力图。8kN2kN/m8m4m4m4m)(42xlxlf)(xyD ACBRARBHAHB8kN2kN/m0AR0BRE第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力(2) (2) 内力计算内力计算D截面的几何参数截面的几何参数5 .

39、 042161644 )2(4m3)416(41644 )(4m42222xllfdxdytgxlxlfyxDDD447. 0cos 894. 0sin 56.260DDD8kN2kN/m8m4m4m4m)(42xlxlf)(xyD ACB10kN12kN8kN2kN/mkN10kN14E14kN12kN第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力8kN2kN/m8m4m4m4m)(42xlxlf)(xyD ACB10kN12kN8kN2kN/mkN10kN14E14kN12kNmkN4312410 0DDDHyMMkN576. 3 447. 012894. 010 sincos0左左DDDDHVV

40、kN198.15894. 012447. 010cossin0DDDDHVN左左kN576. 3 447. 012894. 0810 sincos0右右DDDDHVVkN622.11894. 012447. 0810cossin0右DDDDHVN右第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力D截面的内力截面的内力E截面的几何参数截面的几何参数5 . 0122161644 )2(4m3)1216(121644 )(4m122222xllfdxdytgxlxlfyxEEE8kN2kN/m8m4m4m4m)(42xlxlf)(xyD ACB10kN12kN8kN2kN/mkN10kN14E14kN12kN

41、447. 0cos 894. 0sin 56.260EEE第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力8kN2kN/m8m4m4m4m)(42xlxlf)(xyD ACB10kN12kN8kN2kN/mkN10kN14E14kN12kNmkN4 312242414 0EEEHyMM0447. 012894. 04214 sincos0EEEEHVV kN198.15894. 012447. 04214cossin0EEEEHVNE截面的内力截面的内力第五节第五节 三铰拱的内力三铰拱的内力1静力矩静力矩AxydASAyxdAS静矩的特征：静矩的特征： 截面的几何性质截面的几何性质:与杆件截面的尺寸和形

42、状有关的几何量。与杆件截面的尺寸和形状有关的几何量。1）静矩与所选坐标轴的位置有关；）静矩与所选坐标轴的位置有关；2）静矩的数值可正可负，也可能为零；）静矩的数值可正可负，也可能为零；3）静矩的单位为长度的三次方）静矩的单位为长度的三次方(m3 、cm3 、mm3)xyAodA xy第六节第六节 截面的几何性质截面的几何性质一、静力矩和形心一、静力矩和形心第六节第六节 截面的几何性质截面的几何性质2 2、形心、形心ccyx ,左图截面也可视为一厚度很小的均左图截面也可视为一厚度很小的均质薄板（板厚质薄板（板厚h），容重（单位体），容重（单位体积重）为积重）为r，则此均质薄板的重心，则此均质薄板

43、的重心与该薄板平面图形的形心具有相同与该薄板平面图形的形心具有相同的坐标的坐标xyAodA xyVVcxdVxdWxW xcyc几何形体的中心几何形体的中心AAcdAxhxdAhxAh ASAxdAxyAcASAydAyxAc第六节第六节 截面的几何性质截面的几何性质 求图示截面对其形心轴的静矩。求图示截面对其形心轴的静矩。00cyccxcxASyAS 截面对通过形心的轴的静矩等于零；反之，截面对某轴截面对通过形心的轴的静矩等于零；反之，截面对某轴的静矩若为零，这轴必通过截面的形心。的静矩若为零，这轴必通过截面的形心。 第六节第六节 截面的几何性质截面的几何性质/ 3/ 2/2xxxyyyCCbbbbhhh（1 1）简单图形的形心）简单图形的形心（2 2）组合图形的形心）组合图形的形心iciiiycAxAASxiciiixcAyAASy第六节第六节 截面的几何性质截面的几何性质【例【例2-182-18】试求图示】试求图示Z 形截面图形的形心。形截面图形的形心。103030301010 xy21mm3003010A22mm5005010A23mm3003010Amm451cymm52cxmm53cymm25321332211AAAyAyAyAAyAyccciciic