竞赛磁学部分20161

1、磁力概要磁力概要1、洛仑兹力与、洛仑兹力与安培力：安培力：BvqFm BlIdFd 2、均匀磁场中一段载流导线：、均匀磁场中一段载流导线：（1）直导线：）直导线：Bl IF （2）曲导线：）曲导线：与起、止点一样的直导线受力相同与起、止点一样的直导线受力相同3、均匀磁场中载流线圈、均匀磁场中载流线圈(所受合力为所受合力为0)：（1）磁矩：）磁矩：nNISm （2）磁力矩：）磁力矩：)Bn(NISBmM 例例1. 如图所示形状的导线，通电流如图所示形状的导线，通电流I，放在一个，放在一个与均匀磁场与均匀磁场B垂直的平面上，则此导线受到磁场垂直的平面上，则此导线受到磁场力的大小为力的大小为_，方向

2、为，方向为_可以证明，在均匀磁场中闭合电流回路所受磁场可以证明，在均匀磁场中闭合电流回路所受磁场力之和为零：力之和为零： 0 BldIBldIF答案：答案：BI(l+2R); 在纸面内，竖直向上在纸面内，竖直向上简要说明：简要说明： Ibacll ROd设想添上设想添上ca、dc导线，使导线，使abca及及cd弧弧dc线分别构成线分别构成两闭合回路两闭合回路0 cabcabFFF0 dccdFF弧弧 dccabcabFFFFF cd弧弧adadcadckRlIBkdlIBBldIFF2（ 为沿纸面竖直向上的单位矢量）为沿纸面竖直向上的单位矢量）k力的大小为力的大小为IB(l+2R)，方向为沿纸

3、面竖直向上。，方向为沿纸面竖直向上。其中其中 所表示导线所表示导线ab受磁场力，其他类似。受磁场力，其他类似。abF Ibacll ROd均匀磁场中，均匀磁场中，起、止点一样的曲导线与直导线起、止点一样的曲导线与直导线受力相同受力相同（ 为沿纸面竖直向上的单位矢量）为沿纸面竖直向上的单位矢量）k力的大小为力的大小为IB(l+2R)，方向为沿纸面竖直向上。，方向为沿纸面竖直向上。方法二：方法二：kRlIBF2例例2.（7分）如图所示，夹角为分）如图所示，夹角为的平面的平面S1与与S2相相交于直线交于直线MN，磁感应强度为，磁感应强度为 的空间匀强磁场的空间匀强磁场其磁力线与其磁力线与S1平面平行

4、，且与直线平面平行，且与直线MN垂直。今垂直。今取半径为取半径为R的半圆周导线的半圆周导线ab，并通过以电流，并通过以电流I，将，将它整体放置在平面它整体放置在平面S2的不同部位，则它可能受到的不同部位，则它可能受到的最大安培力的大小的最大安培力的大小Fmax=_，可能受到的，可能受到的最小安培力的大小最小安培力的大小Fmin_。BIabRB 1S2SMN答案：答案：2IBR，2IBRsin简要说明：因磁场均匀，此导线受力相当于沿简要说明：因磁场均匀，此导线受力相当于沿直径直径ab的截流直导线受力。用矢量的截流直导线受力。用矢量 表示从表示从a到到b沿直径的线段，安培力沿直径的线段，安培力 。

5、当此导。当此导线在线在S2面上，分别处于面上，分别处于 和和 二二位置时，位置时， 与与 间夹角为间夹角为 /2和和，相应的安培，相应的安培力大小分别为最大和最小，其值为力大小分别为最大和最小，其值为2IBR和和2IBRsin。BdIFdMN/dMNd dBIabRB 1S2SMN 带电粒子在磁场中的运动：带电粒子在磁场中的运动：BvqF0vB均匀均匀0v匀直运动匀直运动匀速圆周运动匀速圆周运动BqmvR0 BqmT 2 等螺距螺旋运动等螺距螺旋运动 螺旋半径螺旋半径BqmvR 回旋周期回旋周期BqmvRT 22螺距螺距Tvh/ 例例3.（5分）设在讨论的空间范围内有匀强磁场分）设在讨论的空间

6、范围内有匀强磁场B如图，方向垂直纸面朝里。在纸平面上有一长为如图，方向垂直纸面朝里。在纸平面上有一长为h的光滑绝缘空心细管的光滑绝缘空心细管MN，管的，管的M端内有一质量端内有一质量为为m、带电为、带电为q0的小球的小球P。开始时。开始时P相对管静止。相对管静止。而后如图所示，管带着而后如图所示，管带着P朝垂直于管的长度方向朝垂直于管的长度方向始终以匀速始终以匀速u运动。那么，小球运动。那么，小球P从从N端离开管后，端离开管后，在磁场中做圆运动的半径为在磁场中做圆运动的半径为R=_。在此不必。在此不必考虑重力及各种阻力。考虑重力及各种阻力。 NMBuhP答案：答案：muqBhqBmu21 简要

7、说明：带电小球简要说明：带电小球P以以u运动后，受与运动后，受与u，B垂直垂直的洛仑兹力，由的洛仑兹力，由M指向指向N方向，此力将使小球方向，此力将使小球P在在管中加速管中加速h距离。距离。f=quB，a=f/m=quB/m小球离开小球离开N点时相对管点时相对管MN的速度大小为的速度大小为mquBhahv222 其方向与其方向与u垂直，故小球离开垂直，故小球离开N点进入磁场点进入磁场时，其相对与磁场的速度大小满足时，其相对与磁场的速度大小满足222uvv 总总muqBhqBmuqBmvR21 总总muqBhuv21 总总例例4. 下图所示是用磁聚焦法测定电子荷质比的实下图所示是用磁聚焦法测定电

8、子荷质比的实验装置。从阴极验装置。从阴极K发射出来的电子被加速电压发射出来的电子被加速电压V加加速，穿过阳极速，穿过阳极A上的小孔，得到沿轴线运动的、上的小孔，得到沿轴线运动的、速度相同的电子束，再经平行板电容器速度相同的电子束，再经平行板电容器C，到达荧，到达荧光屏，平板电容器至荧光屏的距离为光屏，平板电容器至荧光屏的距离为l (平板线平板线度度)。在电容器两极板间加一交变电压，使电子获。在电容器两极板间加一交变电压，使电子获得不大的横向分速度，电子将以不同的发散角离得不大的横向分速度，电子将以不同的发散角离开电容器。开电容器。BlCVAK.8222lBV 答案：答案：今在轴线方向加一磁感应

9、强度为今在轴线方向加一磁感应强度为B的均匀磁场。的均匀磁场。调节调节B的大小，可使所有电子汇聚于荧光屏的同的大小，可使所有电子汇聚于荧光屏的同一点一点(磁聚焦磁聚焦)。令。令B从零连续增大，记下出现第一从零连续增大，记下出现第一次聚焦的次聚焦的B值，根据值，根据V、B和和l的数值可测得电子荷的数值可测得电子荷质比质比e/m= 。BlCVAKmeVv2 eBmvh 2第一次磁聚焦时第一次磁聚焦时 ，故，故hl meVeBml22 .lBVme2228 由此得出电子荷质比为由此得出电子荷质比为电子被加速后获得的速度为电子被加速后获得的速度为各电子由于在电容器中获得横向速度而在纵向各电子由于在电容器

10、中获得横向速度而在纵向磁场磁场B的作用下作螺旋运动，其螺距为的作用下作螺旋运动，其螺距为简要说明：简要说明：例例5. 被电势差被电势差U加速的电子从电子枪口加速的电子从电子枪口T发射出来，发射出来，其初速度指向其初速度指向x方向。为使电子束能集中目标方向。为使电子束能集中目标M点，点，(直线直线TM与与x轴间夹角为轴间夹角为 )，在电子枪外空间加，在电子枪外空间加一均匀磁场，其方向与一均匀磁场，其方向与TM平行，如图，已知从平行，如图，已知从T到到M的距离为的距离为d ，电子质量为，电子质量为m，带电量为，带电量为e。为。为使电子恰能击中使电子恰能击中M点，应使磁感应强度点，应使磁感应强度B=

11、 。BMTxU电子绕一周所需时间为：电子绕一周所需时间为：) 1 (2meUv cos/vv vvsin ) 2 (cos/vdvdt) 3(2eBmT 为为整整数数kemUdk,2cos2答案：答案：简要说明：简要说明：电子速率为电子速率为电子从电子从T到到M所需时间为：所需时间为：电子速度与电子速度与 平行的分量为平行的分量为B电子速度与电子速度与 垂直的分量为垂直的分量为B电子击中电子击中M点的条件是：点的条件是：由由(1)、(2)、(3)、(4)式联立解得式联立解得1 2 34(, , ,)( )tkTkemUdkB2cos2 磁场概要磁场概要1、利用、利用B-S定律或运动电荷磁场公式

12、定律或运动电荷磁场公式20rrlId4Bd 20rrvq4B 2、利用安培环路定理、利用安培环路定理 iioLIl dB 4、平板电容器中总位移电流：、平板电容器中总位移电流：dtdESdtdUCI0d板板 3、Maxwell位移电流假说：位移电流假说：实质：实质：变化电场变化电场 磁场磁场dtdIDd tDJd 5、典型场：、典型场：直直电电流流一段导线一段导线)cos(cosa4IB210 无限长无限长a2IB0 导线所在直线上导线所在直线上圆圆电电流流轴线上轴线上2/32220)xR(2IRB 圆心处圆心处R2IB0O 弧电流弧电流 圆心处圆心处 2R2IB0O 长直载流密绕螺线管长直载

13、流密绕螺线管载流密绕细螺绕环载流密绕细螺绕环0B 电流分布电流分布磁场分布磁场分布无限大平面电流无限大平面电流2/0 BnIB0 内内0 外外BnIB0 内内0 外外B304rrlIdBd 304rrlIdBL 例例6. 试判断能否产生一个磁感应强度试判断能否产生一个磁感应强度 形形式的磁场（式的磁场（ 是场点的位置矢量，是场点的位置矢量，f ( r )为为r的函的函数），并说明理由数），并说明理由_rrfB)( r答案：否答案：否简要说明简要说明:由毕萨定律，电流元的磁感应强度为由毕萨定律，电流元的磁感应强度为而任意磁场又是由电流元的磁场所构成，整个电而任意磁场又是由电流元的磁场所构成，整个

14、电流产生的磁感应强度为流产生的磁感应强度为 sdSB0可见磁感应强度可见磁感应强度 不是沿不是沿 方向的，故不可能产生方向的，故不可能产生一个一个 形式的磁场。况且若有这种磁场的形式的磁场。况且若有这种磁场的话，其话，其 线呈辐射状而不闭合，就不能满足任意线呈辐射状而不闭合，就不能满足任意磁场都适用的高斯定理磁场都适用的高斯定理 了。了。rrfB)( rBB例例7.（11分）半径分）半径R，电荷面密度为，电荷面密度为 常量的薄圆常量的薄圆板，在北京地区一个竖直平面上以恒定角速度板，在北京地区一个竖直平面上以恒定角速度绕着它的中心轴旋转，中心轴自西向东放置，如绕着它的中心轴旋转，中心轴自西向东放

15、置，如图所示，中心轴上与圆板中心图所示，中心轴上与圆板中心O相距相距l处有一原水处有一原水平指北的小磁针，因又受到圆板电流磁场的作用平指北的小磁针，因又受到圆板电流磁场的作用而朝东偏转而朝东偏转角后到达新的平衡位置，试求该处地角后到达新的平衡位置，试求该处地磁场磁感应强度的水平分量磁场磁感应强度的水平分量B/。Cauauauduu2222232232注：可参考用不定积分公式：注：可参考用不定积分公式： 东东西西北北南南ORl小磁针小磁针解：将薄圆板分割成半径为解：将薄圆板分割成半径为r，宽度为，宽度为dr的圆环，的圆环，其上的电量为其上的电量为 dQ=2 rdrrdrdQdI /2此电流在点此

16、电流在点P的磁感应强度为的磁感应强度为23223023222022lrdrrdIlrrdB 此电荷因以此电荷因以旋转而形成的电流强度为旋转而形成的电流强度为东东OdrrPOl整个薄圆板因旋转在点整个薄圆板因旋转在点P的磁感应强度为的磁感应强度为0222222200232230RlrlrlrdrrdBBR cot222cot22220/llRlRBBllRlR22222220 如图所示，薄圆板在点如图所示，薄圆板在点P的的 朝东，地磁场的朝东，地磁场的 朝北，磁针平衡时与朝北，磁针平衡时与 同向，故有同向，故有B/B合合B东东西西北北南南ORl小磁针小磁针304 rrlIdBd （第一空）（第一

17、空）解：解： 毕奥毕奥萨伐尔定律为萨伐尔定律为RIIIIII例例8. 据稳恒电流磁场的毕奥据稳恒电流磁场的毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 _，最终可以求得右图三个相互正交的，最终可以求得右图三个相互正交的圆环电流公共中心处的磁感应强度大小为圆环电流公共中心处的磁感应强度大小为B=_。 Bd将毕奥将毕奥萨伐尔定萨伐尔定律用于图（律用于图（a）中）中圆电流的圆心圆电流的圆心O得得RIuB20 RIuBBBBB23302232221 （第二空）（第二空）RIB )(a2B 1B 3B O)(b将图（将图（b）中的）中的 、 、 相加便是中心相加便是中心O处处磁感应强度磁感应强度 ，其大小为，其大小为1B

18、2B 3B B 例例9. (10分分)半径为半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流无限长半圆柱导体上均匀地流过电流过电流I，求半圆柱轴线，求半圆柱轴线(原圆柱体的中心轴线原圆柱体的中心轴线)处处的磁感应强度的磁感应强度B。 2/2RIj .22RIrdrdRIdrrdjdI22 解：依题意可知，该半圆柱导体中的电流密度为解：依题意可知，该半圆柱导体中的电流密度为d在半径为在半径为r处取厚度为处取厚度为dr的薄层的薄层(如图示如图示)，在其中圆心角为，在其中圆心角为 的窄条中流过的电流为的窄条中流过的电流为 dr dOr建立坐标系如图示，由对称性知，关于建立坐标系如图示，由对称性知，关于x轴对轴对称

19、的小窄条电流称的小窄条电流dI1、dI2在半圆柱体中心轴上在半圆柱体中心轴上的磁感应强度的磁感应强度dB1、dB2的矢量和沿的矢量和沿Oy方向。方向。 rdrdRIrrdIdB200222xy1dI2dI1dB2dBOrdI在在半圆柱轴线处的磁感应强度大小为半圆柱轴线处的磁感应强度大小为 drdRI220drdRIdBdBycoscos220 RydrdRIBB020220cos2 RdrRI02202RI202 方向：沿方向：沿Oy 方向。方向。drdRIdBdBycoscos220 xy1dI2dI1dB2dBOr例例10.（10分）如图所示，电流强度分）如图所示，电流强度为为I的直流电通

20、过一根无限长直导线的直流电通过一根无限长直导线流到半径为流到半径为R的金属半球面下方端的金属半球面下方端点，而后均匀地流过半球面到达半点，而后均匀地流过半球面到达半球面的上方端点，在经过另一根半球面的上方端点，在经过另一根半无限长直导线流向无穷远处，设这无限长直导线流向无穷远处，设这两根半无限长直导线恰好在半球面两根半无限长直导线恰好在半球面的直径延长线上，试证球心的直径延长线上，试证球心O处磁处磁感应强度的大小为感应强度的大小为B=0I/2 R。RIIO解：上下两根半无限长直流对解：上下两根半无限长直流对O点点的的B无贡献，半球面俯视为半圆，无贡献，半球面俯视为半圆，取取+d圆弧，如图所示，

21、圆弧，如图所示，xydBdOr+d圆弧对应半球面上一窄条西瓜皮形（中圆弧对应半球面上一窄条西瓜皮形（中间宽，两头细）的部分，其中电流为：间宽，两头细）的部分，其中电流为：dIdI 大小：大小：方向：指向方向：指向y轴正方向轴正方向 ydBB0B将将dBy=dBsin代入后，可得：代入后，可得：RIRIdB0002sin4xydBdOrdI对对O点点 的贡献相当半圆电流对其圆心磁场的的贡献相当半圆电流对其圆心磁场的贡献，记为贡献，记为 ，其大小为，其大小为BdBRIdRdIdB 4/4/00 Bd由对称性可知，各由对称性可知，各 在在x方向相互抵消，故合方向相互抵消，故合成成 为：为：B例例11

22、. (6分分) 图示为一内半径为图示为一内半径为a，外半径为，外半径为b的均的均匀带电薄绝缘环片，该环片以角速度匀带电薄绝缘环片，该环片以角速度绕过中心绕过中心O、并与环片平行垂直的轴旋转，环片上总电量、并与环片平行垂直的轴旋转，环片上总电量为为Q，则环片中心，则环片中心O处的磁感应强度值处的磁感应强度值B= 。abO)(20baQ 简要说明：简要说明：答案：答案：面电荷密度为面电荷密度为)(22abQ abOrdrr idr环对应电流为环对应电流为)ab(rdrQ/drri2222 因各电流元在圆心处产生的磁场同向：因各电流元在圆心处产生的磁场同向：badr)ab(rrQdBB2202 )a

23、b()ab(Q2202 )(20baQ 磁介质概要磁介质概要HB 对各向同性磁介质：对各向同性磁介质：r 0 2r 略略1，顺磁质，顺磁质3r 略略a)的大线圈共面且同心，固的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流定大线圈，并在其中维持恒定电流I，使小线圈，使小线圈绕其直径以匀角速绕其直径以匀角速 转动如图转动如图(线圈的自感可忽线圈的自感可忽略略)。 求求(1)小线圈中的电流；小线圈中的电流； (2)为使小线圈保持匀角速度转动，需对它施为使小线圈保持匀角速度转动，需对它施加的力矩大小；加的力矩大小； (3)大线圈中的感应电动势。大线圈中的感应电动势。Iba解解：(1)因为因为 b

24、a，所以小线圈处的磁场近似看，所以小线圈处的磁场近似看成均匀。小线圈转动时，通过小线圈的磁通量成均匀。小线圈转动时，通过小线圈的磁通量为：为：)(tcosabIcosBSSB1220 ( 为大线圈平面与小线圈平面间的夹角或两线为大线圈平面与小线圈平面间的夹角或两线圈平面法线间的夹角圈平面法线间的夹角)小线圈中感应电动势小线圈中感应电动势tbaIdtdsin2201 小线圈中感应电流的大小小线圈中感应电流的大小tbRaIRisin2201 小线圈中的感应电流的方向由楞次定律确定小线圈中的感应电流的方向由楞次定律确定(该该处从略处从略)。(2)要保持小线圈匀速转动，对线圈施加的外力要保持小线圈匀速

25、转动，对线圈施加的外力矩必须等于线圈所受的磁力矩。矩必须等于线圈所受的磁力矩。 BmMM磁外外力矩的大小外力矩的大小tbaIRtiSBM 2220sin)2(sin 外外两线圈的互感两线圈的互感tbaIMcos220 小线圈有电流，通过大线圈的磁通量小线圈有电流，通过大线圈的磁通量tbRIatbaMi sin2cos22020 tRbIa 2sin824220 故大线圈中的感应电动势故大线圈中的感应电动势tRbIadtd2cos4224220 (3)由式（由式（1）知，通过小线圈的磁通量）知，通过小线圈的磁通量tIba cos220 例例28. 一无限长圆柱，偏轴平行地挖出一圆柱空间，一无限长

26、圆柱，偏轴平行地挖出一圆柱空间，两圆柱轴间距离两圆柱轴间距离 图中所示为垂直于轴线的图中所示为垂直于轴线的截面，用截面，用表示两圆柱间存在的均匀磁场的方向，表示两圆柱间存在的均匀磁场的方向，设磁感应强度设磁感应强度B随时间随时间t线性增长，即线性增长，即B=kt(k为常为常数数)，现在空腔中放一与，现在空腔中放一与 成成60 角，长为角，长为L的金的金属棍属棍 求沿棍的感生电动势求沿棍的感生电动势 。,dOO OO ,BOA ABBAOO 解法一：解法一： 将空腔部分视为磁感应强度分别为将空腔部分视为磁感应强度分别为B和和-B的均匀分布磁场的叠加，于是整个磁场可视为的均匀分布磁场的叠加，于是整

27、个磁场可视为圆柱圆柱O内的均匀磁场内的均匀磁场B和在空腔内的均匀磁场和在空腔内的均匀磁场-B的的叠加。叠加。21EEE dtdBrEdtdBrE2,22211 22112211rE,rE,rE,rE 且且PCDPOO 11rdEE,OOPC,PCE 由图可知由图可知由于由于B是变化的，是变化的，B=kt，所以空间有感应电场，所以空间有感应电场，在空腔内任意点在空腔内任意点P的感应电场强度的感应电场强度dtdBdErdE211 kLdcosLdtdBddlEBAAB43302 E即空腔内为匀强电场，即空腔内为匀强电场， 方向如图。方向如图。dtdBjrirjrir)cos2sin2()cos2s

28、in2(2211 jdtdBd2说明空腔内为一方向向上的匀强电场。说明空腔内为一方向向上的匀强电场。 OPr ,dtdBrE 1112POr ,dtdBrE 222221EEE )cossin()cossin(2211 jEiEjEiE 以下同解法一，从略。以下同解法一，从略。解法二：解法二： 按叠加原理求解，叙述同解法一从略。按叠加原理求解，叙述同解法一从略。例例29. (14分分)假定自然界存在类似于电荷的磁荷，假定自然界存在类似于电荷的磁荷，且存在与电荷密度相当的荷密度，与电流密度和且存在与电荷密度相当的荷密度，与电流密度和电流强度相当的磁流密度与磁流强度。存在磁荷电流强度相当的磁流密度

29、与磁流强度。存在磁荷后，麦克斯韦方程组中电场环流的表达式修改成后，麦克斯韦方程组中电场环流的表达式修改成 SdjSdtBl dESmSL 0式中式中 为磁流密度，为磁流密度， 为闭合路径所圈围为闭合路径所圈围的磁流强度的代数和。的磁流强度的代数和。 SdjSm mj（1）今有一自感系数为）今有一自感系数为L的理想电感，由的理想电感，由N砸导砸导线绕成，通过电感的似稳电流线绕成，通过电感的似稳电流i=i（t），通过每），通过每砸导线所圈围砸导线所圈围面积的磁流强度为面积的磁流强度为Im m，试求处理想，试求处理想电感两端电压的瞬时值的表达式。电感两端电压的瞬时值的表达式。（2）今有一真空的环形管

30、道，上面绕有）今有一真空的环形管道，上面绕有n砸线圈，砸线圈，其自感系数为其自感系数为L，线圈的两端相连构成闭合回路，线圈的两端相连构成闭合回路，如图所示，如图所示，起初线圈中无电流，今有一磁量为起初线圈中无电流，今有一磁量为qm m的磁单极，在管道内绕行的磁单极，在管道内绕行v此后，求闭合线圈中此后，求闭合线圈中的最大电流（设线圈的电阻看忽略不计）的最大电流（设线圈的电阻看忽略不计）解：解：（1）理想电感电阻为零，则两端电压为理想电感电阻为零，则两端电压为 dSjdStBdlEUSmLSL 0dtdiLdStBL msmINdSj mLNIdtdiLU0 （2）闭合线圈无电阻的电路方程为）闭

31、合线圈无电阻的电路方程为00 mnIdtdiLdtLnIdim0 dtILndtLnLitmtm 0000磁荷绕磁荷绕v次后有次后有mmvqdtI 最大电流最大电流mmvqLni0 由此得由此得简要说明：简要说明：如图所示，力如图所示，力 拉拉cd棒向右运动，则处于长棒向右运动，则处于长直线载流导体磁场中的回路直线载流导体磁场中的回路abdca内就有磁通内就有磁通量变化，由楞次定律可知，即有感应电流量变化，由楞次定律可知，即有感应电流i从从a流向流向b。在长直电流。在长直电流I 产生的垂直于纸面向产生的垂直于纸面向里的磁场的作用下，棒受的力方向向右，故里的磁场的作用下，棒受的力方向向右，故ab棒向右运动。棒向右运动。FabcdF Bi答案答案：（：（B）v abxy例例34. 一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分一矩形线框由