空间向量专题练习答案

1、空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面的法向量为1，0，-1，平面的法向量为0，-1，1，那么平面与平面所成二面角的大小为 _ 【答案】 3或23 【解析】 解：设平面的法向量为m=1，0，-1，平面的法向量为n=0，-1，1， 那么cosm，n=1×0+0×(1)+(1)×122=-12， m，n=23 平面与平面所成的角与m，n相等或互补， 与所成的角为3或23 故答案为：3或23 利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出 此题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于根底题 2.平面经过三点A-1，0，1，B1，1

2、，2，C2，-1，0，那么平面的法向量u可以是 _ 写出一个即可【答案】 0，1，-1 【解析】 解：AB=2，1，1，AC=3，-1，-1， 设平面的法向量u=x，y，z， 那么uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0，令z=-1，y=1，x=0 u=0，1，-1 故答案为：0，1，-1 设平面的法向量u=x，y，z，那么uAB=2x+y+z=0uAC=3xyz=0，解出即可 此题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于根底题 3.AB=1，0，2，AC=2，1，1，那么平面ABC的一个法向量为 _ 【答案】 -2，3，1 【解析】 解：AB=1，0，2，AC=2，1，1， 设平

3、面ABC的法向量为n=x，y，z， 那么nAB=0nAC=0，即x+2z=02x+y+z=0，取x=-2，那么z=1，y=3 n=-2，3，1 故答案为：-2，3，1 设平面ABC的法向量为n=x，y，z，那么nAB=0nAC=0，解出即可 此题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于根底题 4.在三角形ABC中，A1，-2，-1，B0，-3，1，C2，-2，1，假设向量n与平面ABC垂直，且|n|=21，那么n的坐标为 _ 【答案】 2，-4，-1或-2，4，1 【解析】 解：设平面ABC的法向量为m=x，y，z， 那么mAB=0，且mAC=0， AB=-1，-1，2，AC=1，0，

4、2， xy+2z=0x+2z=0， 即x=2zy=4z， 令z=1，那么x=-2，y=4， 即m=-2，4，1， 假设向量n与平面ABC垂直， 向量nm， 设n=m=-2，4， |n|=21， 21|=21， 即|=1， 解得=±1， n的坐标为2，-4，-1或-2，4，1， 故答案为：2，-4，-1或-2，4，1 根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论 此题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决此题的关键 个人收集整理 勿做商业用途二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=

5、60°，Q为AD的中点 1假设PA=PD，求证：平面PQB平面PAD； 2点M在线段PC上，PM=13PC，假设平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小 【答案】 解：1证明：由题意知：PQAD，BQAD，PQBQ=Q， AD平面PQB， 又AD平面PAD， 平面PQB平面PAD 2PA=PD=AD，Q为AD的中点， PQAD， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD， 以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴， 建立如图所求的空间直角坐标系， 由题意知：Q0，0，0，A1，0，0， P0，0，3，B0，

6、3，0，C-2，3，0 QM=23QP+13QC=-23，33，233， 设n1是平面MBQ的一个法向量，那么n1QM=0，n1QB=0， 3y=023x+33y+233z=0，n1=(3，0，1)， 又n2=(0，0，1)平面BQC的一个法向量， cosn1，n2=12， 二面角M-BQ-C的大小是60° 【解析】 1由题设条件推导出PQAD，BQAD，从而得到AD平面PQB，由此能够证明平面PQB平面PAD 2以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小 此题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解

7、题时要认真审题，注意向量法的合理运用 文档来自于网络搜索6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上 1假设EFPA，求PFPA的值； 2求二面角P-BD-E的大小 【答案】 解：1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上， P0，0，2，A2，0，0，C0，2，0，E0，1，1， 设Fa，0，c，PF=PA，那么a，0，c-2=2，0，-2=2，0，-2， a=2，

8、c=2-2，F2，0，2-2， EF=2，-1，1-2，PA=2，0，-2， EFPA，EFPA=4-2+4=0，解得=14， PFPA=14 2P0，0，2，B2，2，0，D0，0，0，E0，1，1， DP=0，0，2，DB=2，2，0，DE=0，1，1， 设平面BDP的法向量n=x，y，z， 那么nDB=2x+2y=0nDP=2z=0，取x=1，得n=1，-1，0， 设平面BDE的法向量m=x，y，z， 那么mDB=2x+2y=0mDE=y+z=0，取x=1，得m=1，-1，1， 设二面角P-BD-E的大小为， 那么cos=|mn|m|n|=223=63 二面角P-BD-E的大小为arcc

9、os63 【解析】 1以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PFPA的值 2求出平面BDP的法向量和设平面BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小 此题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 资料个人收集整理，勿做商业用途7.如下图的几何体是由棱台ABC-A1B1C1和棱锥D-AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD=60°，BB1平面ABCD，BB1=2A1B1=2 求证：平面AB1C平面BB1D； 求二面角A1-BD-C1的余弦值 【答

10、案】 证明：BB1平面ABCD，BB1AC， ABCD是菱形，BDAC， 又BDBB1=B，AC平面BB1D， AC平面AB1C，平面AB1C平面BB1D； 设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如下图空间直角坐标系 那么B(0，1，0)，D(0，1，0)，B1(0，1，2)，A(3，0，0)，A1(32，12，2)，C1(32，12，2)， BA1=(32，12，2)，BD=(0，2，0)，BC1=(32，12，2) 设平面A1BD的法向量n=(x，y，z)， 由nBA1=32x+12y+2z=0nBD=2y=0，取z=3，得n=(4，0，3)， 设平面DCF的法向量m=(x，y，z)， 由mBD=2y=0mBC1=32x+12y+2=0，取z=3，得m=(4，0，3) 设二面角A1-BD-C1为， 那么cos=|mn|m|n|=1319 【解析】 由BB1平面ABCD，得BB1AC，再由ABCD是菱形，得BDAC，由线面垂直的判定可得AC平面BB1D，进一步得到平面AB1C平面BB1D； 设BD、AC交于点O，以O为