第10讲图像编码之变换编码

1、数字图像处理技术-2016-01任课教师任课教师 吴媛媛吴媛媛E_mail: 第10讲 图像编码之变换编码数字图像处理技术-2016-0110.1 行程编码10.2 正交变换编码 （本章重点）10.3 图像编码的国际标准图像编码中另一类有效的方法是变换编码。变图像编码中另一类有效的方法是变换编码。变换编码的通用模型如下图所示换编码的通用模型如下图所示 图像变换编码模型映射变换量化器编码器)(tf)(nS数字图像处理技术-2016-01 主要主要由由映射变换映射变换、量化量化及及编码编码几部分操作组成几部分操作组成。映射映射变换是把图像中的各个像素从一种空间变换到另一变换是把图像中的各个像素从一

2、种空间变换到另一种空间种空间，然后，然后针对变换后的信号再进行量化与编码操作针对变换后的信号再进行量化与编码操作。在在接收端，首先对接收到的信号进行译码，然后再进行接收端，首先对接收到的信号进行译码，然后再进行反变换以恢复原图像。反变换以恢复原图像。数字图像处理技术-2016-01变换变换编码编码映射映射变换的方法很多。图像变换编码基本可分为两大类，变换的方法很多。图像变换编码基本可分为两大类， 某些特殊的映射变换编码法，某些特殊的映射变换编码法， 函数变换编码法。函数变换编码法。数字图像处理技术-2016-01 对某些相同灰度级成片连续出现的图像（如洪水图），行程编码也是一种高效的编码方法。

3、特别是对二值图像，效果尤为显著。 在一个逐行存储的图像中，具有相同灰度值的一些像素的序列，称为一个行程。数字图像处理技术-2016-0110.1 行程编码（RLE，Run length encoding ） 对图像进行行扫描时，行内各像素的灰度级可组成一个整数序列x1, x2, , xN。在行程编码中，我们将这个序列映射成整数对(gk, lk)，其中gk 表示灰度级， lk 表示行程长度，等于具有相同灰度级的相邻像素的数目。 行程长度lk 是一个随机变量，其分布具有很大的不均匀性。数字图像处理技术-2016-01RLE编码方法得到的代码为：“80315084180”数字图像处理技术-2016-

4、01 一维行程编码：只考虑消除每行内像素（或水平分解元素）的相关性，未考虑行间像素（垂直分解元素）的相关性。 二维行程编码考虑两个方向分解元素之间的相关性。数字图像处理技术-2016-01 RLE只用存一个代表那个灰度值的码，另一个是行程的长度，而不必将相同的灰度值存很多很多次。可以想像：对于单一颜色背景可以达到很高的压缩比，但对其它类型的图像压缩比很低，最坏的情况，每一最坏的情况，每一个像素都与它周围的像素不同，文件长度加倍。个像素都与它周围的像素不同，文件长度加倍。数字图像处理技术-2016-01数字图像处理技术-2016-01原图像文件：17464字节行程编码文件：7660字节压缩比：2

5、. 280原图像文件：66616字节行程编码文件：9272字节压缩比：7.185数字图像处理技术-2016-01 实实 例例 原图像文件：72768字节行程编码文件：72972字节压缩比：0.997原图像文件：66616字节行程编码文件：67352字节压缩比：0.989数字图像处理技术-2016-01 实实 例例 102 正交变换编码正交变换编码 变换变换编码中另一类方法是编码中另一类方法是正交变换编码法正交变换编码法（或（或称函数变换编码法）称函数变换编码法）。 这种这种方法的基本原理是方法的基本原理是通过正交函数变换把图通过正交函数变换把图像从空间域转换为能量比较集中的变换域。然后对像从空

6、间域转换为能量比较集中的变换域。然后对变换系数进行编码，从而达到缩减比特率的目的。变换系数进行编码，从而达到缩减比特率的目的。数字图像处理技术-2016-01正交变换编码原理框图预处理正交变换量化编码传输、存储解码反变换后处理数字图像处理技术-2016-01编码、解码流程编码、解码流程输入图像NxN压缩图像压缩的图像解压图像数字图像处理技术-2016-01 构造构造nxn的子图的子图NxNnxnnxnnxnnxnnxnnxn数字图像处理技术-2016-01 变换编码的基本思想举例 52 55 61 66 70 61 64 7363 59 66 90 109 85 69 7262 59 68 1

7、13 144 104 66 7363 58 71 122 154 106 70 6967 61 68 104 126 88 68 7079 65 60 70 77 68 58 7585 71 64 59 55 61 65 8387 79 69 68 65 76 78 94-415 -29 -62 25 55-20 -1 3 7 -21 -62 9 11-7 -6 6-46 8 77 -25 -30 10 7 -5-50 13 35 -15 -9 6 0 3 11 -8 -13 -2 -1 1 -4 1-10 1 3 -3 -1 0 2-1-4 -1 2 -1 2-3 1-2-1 -1 -1 -

8、2 -1-1 0-1原始图像 相应的DCT系数数字图像处理技术-2016-01 正交变换编码之所以能够压缩数据率，主要是它有如正交变换编码之所以能够压缩数据率，主要是它有如下一些性质：下一些性质： （）（）正交变换具有熵保持性质。正交变换具有熵保持性质。这说明通过正交这说明通过正交变换并不丢失信息，因此，可以用传输变换系数来达变换并不丢失信息，因此，可以用传输变换系数来达到传送信息的目的。到传送信息的目的。 数字图像处理技术-2016-01 10.2.1 变换变换编码编码的基本概念的基本概念（）（）正交变换有能量保持性质正交变换有能量保持性质。这就是第三章提到这就是第三章提到的各种正交变换的帕

9、斯维尔能量保持性质。它的各种正交变换的帕斯维尔能量保持性质。它的意的意义在于：只有当有限离散空间域能量全部转移到某义在于：只有当有限离散空间域能量全部转移到某个有限离散变换域后，有限个空间取样才能完全由个有限离散变换域后，有限个空间取样才能完全由有限个变换系数对于基础矢量加权来恢复。有限个变换系数对于基础矢量加权来恢复。数字图像处理技术-2016-01 10.2.1 变换变换编码编码的基本概念的基本概念（）（）能量重新分配与集中。能量重新分配与集中。这个性质使我们有可这个性质使我们有可能采用熵压缩法来压缩数据。也就是在质量允许的能采用熵压缩法来压缩数据。也就是在质量允许的情况下，可舍弃一些能量

10、较小的系数，或者对能量情况下，可舍弃一些能量较小的系数，或者对能量大的谱点分配较多的比特，对能量较小的谱点分配大的谱点分配较多的比特，对能量较小的谱点分配较少的比特，从而使数据率有较大的压缩。较少的比特，从而使数据率有较大的压缩。 数字图像处理技术-2016-01 10.2.1 变换变换编码编码的基本概念的基本概念（）（）去相关特性。去相关特性。正交变换可以使高度相关的空正交变换可以使高度相关的空间样值变为相关性很弱的变换系数。换句话说，间样值变为相关性很弱的变换系数。换句话说，正交变换有可能使相关的空间域转变为不相关的正交变换有可能使相关的空间域转变为不相关的变换域。这样就使存在于相关性之中

11、的多余度得变换域。这样就使存在于相关性之中的多余度得以去除。以去除。数字图像处理技术-2016-01 10.2.1 变换变换编码编码的基本概念的基本概念 综上所述，由于正交变换的结果，相关图像的空综上所述，由于正交变换的结果，相关图像的空间域可能变为能量保持、集中且为不相关的变换域间域可能变为能量保持、集中且为不相关的变换域。 如果如果用变换系数来代替空间样值编码传送时，只用变换系数来代替空间样值编码传送时，只需需对变换系数中能量比较集中的部分加以编码对变换系数中能量比较集中的部分加以编码，这样就，这样就能使数字图像传输或存贮时所需的码率得到压缩。能使数字图像传输或存贮时所需的码率得到压缩。数

12、字图像处理技术-2016-01 10.2.1 变换变换编码编码的基本概念的基本概念 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 设一图像信源为一向量设一图像信源为一向量X 1210,NXXXXX变换后输出一向量变换后输出一向量 Y , , ,1210NYYYYY取正交变换为取正交变换为T，那么，那么X与与Y之间的关系为之间的关系为 YTX 数字图像处理技术-2016-01由于由于T是正交矩阵，所以是正交矩阵，所以 TTITT -1这里这里I为单位矩阵，为单位矩阵， 是是T的转置，的转置， 是是T的逆。反之也有的逆。反之也有 TT1 YTX也就是说在编码端利用正变换得到也就是说

13、在编码端利用正变换得到Y，在译码端，在译码端可用反变换来恢复可用反变换来恢复X。数字图像处理技术-2016-01 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 , , ,0012100YTXYYYYYM0Y如果在传输或存贮中只保留如果在传输或存贮中只保留M M个分量，个分量，MNMN，则可，则可由由YY的近似值的近似值 来恢复来恢复XX。数字图像处理技术-2016-01 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 当然当然 是是X的近似值。但是只要选取得当，仍可的近似值。但是只要选取得当，仍可保证失真在允许的范围内。保证失真在允许的范围内。0X 显然，关键问题

14、在于选取什么样的正交变换显然，关键问题在于选取什么样的正交变换TT，才，才能既得到最大的压缩率，又不造成严重的失真。能既得到最大的压缩率，又不造成严重的失真。数字图像处理技术-2016-01 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 因此，有必要研究一下由正交变换得到因此，有必要研究一下由正交变换得到Y的统计特性的统计特性。Y的统计特性中最为重要的是的统计特性中最为重要的是协方差矩阵协方差矩阵。下面讨论一。下面讨论一下正交变换后得到的下正交变换后得到的Y的协方差矩阵采用何种形式。的协方差矩阵采用何种形式。 数字图像处理技术-2016-01 10.2. 2 变换变换编码的数学

15、模型分析编码的数学模型分析 当然，当然，X的统计特性可以测得。的统计特性可以测得。 , , ,1210NXXXXX设图像信号是维向量设图像信号是维向量X 的协方差矩阵的协方差矩阵XXXXECX式中式中 CCX X 是是 X 的协方差矩阵，的协方差矩阵， 是是XX的均值，的均值，E E是求数学期望值。是求数学期望值。X数字图像处理技术-2016-01 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 又设变换系数向量为又设变换系数向量为 , , ,1210NYYYYY CY 为为Y的协方差矩阵，所以的协方差矩阵，所以 YYYYECY式中式中 是是Y的均值。的均值。Y数字图像处理技术-

16、2016-01 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 由正交变换的定义，有由正交变换的定义，有YTXXTY因此 ) )( ) )( ) )( ) )(TCTTXXXXETTXXXXTEXTXTXTXTEYYYYECXY数字图像处理技术-2016-01 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 变换系数变换系数的协方差矩阵的协方差矩阵CY决定于决定于变换矩阵变换矩阵T和空间域图像的和空间域图像的协方差矩阵协方差矩阵 CX。 而而 CX 是图像本身所固有的，因此，关键在于寻求合适的是图像本身所固有的，因此，关键在于寻求合适的T。数字图像处理技术-2016

17、-01 10.2. 2 变换变换编码的数学模型分析编码的数学模型分析 在研究各种变换矩阵在研究各种变换矩阵TT的过程中，自然要比较它的过程中，自然要比较它们的优劣，因此，就有一个比较准则问题。下面讨们的优劣，因此，就有一个比较准则问题。下面讨论最佳变换问题。论最佳变换问题。（）（） 最佳变换应满足的条件最佳变换应满足的条件 1).1).能使变换系数之间的相关性全部解除；能使变换系数之间的相关性全部解除； 2). 2).能使变换系数之方差高度集中。能使变换系数之方差高度集中。数字图像处理技术-2016-01 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题（）（） 最佳的最佳的准则准则常用常用的准则仍然是

18、的准则仍然是均方误差准则均方误差准则。均方误差由。均方误差由下式表示下式表示1021021021022) ,() ,(1) ,(1NxNyNxNyyxfyxgNyxeNe数字图像处理技术-2016-01均方误差准则就是要使 最小的变换就是最佳变换。e2 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题 () 最佳变换的实现方法最佳变换的实现方法 K-L变换中的变换矩阵变换中的变换矩阵T不是一个固定的矩阵，它必不是一个固定的矩阵，它必须由信源来确定。当给定一信源时，可用如下几个步骤求得须由信源来确定。当给定一信源时，可用如下几个步骤求得T：； （）（） 均方误差准则下的最佳统计变换均方误差准则下的最佳统计

19、变换均方误差准则下的最佳统计变换也叫均方误差准则下的最佳统计变换也叫K-L变换变换(Karhunen loeve Transform)。数字图像处理技术-2016-01 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题 ）给定一幅图像后，首先要统计其协方差矩阵）给定一幅图像后，首先要统计其协方差矩阵CX ）由）由 CX 求求 矩阵，矩阵，即即 。并且由。并且由 求得其特征根，进而求得每一个特征根所对应的特求得其特征根，进而求得每一个特征根所对应的特征向量；征向量；XEC 0XEC 数字图像处理技术-2016-01 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题）由特征向量求出变换矩阵）由特征向量求出变换矩阵T；

20、 ）用求得的）用求得的T对图像数据进行正交变换。对图像数据进行正交变换。 经过上面四步运算就可以保证在变换后使经过上面四步运算就可以保证在变换后使 是一个对是一个对角形矩阵。这个角形矩阵。这个T就是就是K-L变换中的变换矩阵。变换中的变换矩阵。TTXYCC数字图像处理技术-2016-01 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题例：已知某信源的协方差矩阵为例：已知某信源的协方差矩阵为 C CX X ，求，求最佳变换矩阵最佳变换矩阵TT。1 0 00 1 10 1 CX1解：写出 矩阵1 0 0 0 1 10 1- 1 XCE数字图像处理技术-2016-01 例例 子子 10.2.3 最佳变换问题

21、最佳变换问题012321 , ,求得求得011 100011011) (3f计算矩阵行列式数字图像处理技术-2016-01 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题0)(1 XCEX0 1 0 0 0 1 1-0 1- 1 321XXX XXXXX12123000所以其基础解系为所以其基础解系为 (1 1 0)求求 的的特征向量特征向量数字图像处理技术-2016-011 2 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题同理 21时特征向量为 ) 100( 30时特征向量为时特征向量为 12120 由上面的结果可求得由上面的结果可求得 T归一化后为归一化后为 12120 数字图像处理技术-2016-01

22、 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题T便是K-L变换的变换矩阵。 T 12120012120 0 1 0 1 0 21 0 2121 0 21TT数字图像处理技术-2016-01 10.2.3 最佳变换问题最佳变换问题 最佳最佳变换的性能固然好，但实现起来却不容易。因此，变换的性能固然好，但实现起来却不容易。因此，在实践中更加受到重视的是一些所谓的准最佳变换。在实践中更加受到重视的是一些所谓的准最佳变换。数字图像处理技术-2016-01 10.2.4 准最佳变换准最佳变换 什么是准最佳变换呢？最佳变换的核心在于经变换后能什么是准最佳变换呢？最佳变换的核心在于经变换后能使使 CY 成为对角形

23、矩阵形式。如果能找到某些固定的变换成为对角形矩阵形式。如果能找到某些固定的变换矩阵矩阵T，使变换后的，使变换后的 CY 接近于对角形矩阵，那也是比较接近于对角形矩阵，那也是比较理想的了。理想的了。 1 0 0 0 1 0 0 1 2- 2 1 0 NN 其主对角线上是特征值，在下对角线上仅有若干个，这也其主对角线上是特征值，在下对角线上仅有若干个，这也就比较理想了。就比较理想了。在线性代数理论中知道，任何矩阵都可以相似于一个在线性代数理论中知道，任何矩阵都可以相似于一个约旦形矩约旦形矩阵阵，这个约旦形矩阵就是准对角形矩阵，其形状，这个约旦形矩阵就是准对角形矩阵，其形状如下所示。如下所示。数字图

24、像处理技术-2016-01 10.2.4 准最佳变换准最佳变换从从运算量大小运算量大小以及以及压缩效果压缩效果这两个方面来比较各种正交变换，其这两个方面来比较各种正交变换，其性能比较性能比较如表所示如表所示。数字图像处理技术-2016-01 10.2.5 各种各种准最佳变换的性能比较准最佳变换的性能比较数字图像处理技术-2016-01 10.2.6 编码编码 变换变换为压缩数据创造了条件，压缩数据还要靠编码为压缩数据创造了条件，压缩数据还要靠编码来实现。通常所用的编码方法有二种，来实现。通常所用的编码方法有二种， 一是区域编码法，一是区域编码法， 二是门限编码法二是门限编码法。 （1）区域）区

25、域编码法编码法 这种这种方法的关键在于选出能量集中的区域。例如，方法的关键在于选出能量集中的区域。例如，正交变换后变换域中的能量多半集中在低频率正交变换后变换域中的能量多半集中在低频率（或列率）（或列率）空间上，空间上，在编码过程中就可以选取这一区域的系数进行编在编码过程中就可以选取这一区域的系数进行编码传送，而其他区域的系数可以舍弃不用码传送，而其他区域的系数可以舍弃不用。在译码端可以。在译码端可以对舍弃的系数进行补零处理。这样由于保持了大部分图像对舍弃的系数进行补零处理。这样由于保持了大部分图像能量，在恢复图像中带来的质量劣化并不显著。能量，在恢复图像中带来的质量劣化并不显著。数字图像处理

26、技术-2016-01 10.2.6 编码编码 在区域编码中，区域抽样和区域编码的均方误在区域编码中，区域抽样和区域编码的均方误差均与方块尺度有关。图差均与方块尺度有关。图5 55252示出了图像变换示出了图像变换区域抽样的均方误差与方块尺度的关系。图区域抽样的均方误差与方块尺度的关系。图5 55353则示出了图像区域编码则示出了图像区域编码均方误差与方块尺度均方误差与方块尺度的关系。的关系。 数字图像处理技术-2016-01 10.2.6 编码编码图552 图像变换区域抽样的均方误差 与方块尺度的关系 553 图像区域编码均方误差 与方块尺度的关系 数字图像处理技术-2016-01 10.2.

27、6 编码编码 区域编码的显著缺点是一旦选定了某个区域就固定不变区域编码的显著缺点是一旦选定了某个区域就固定不变了，有时图像中的能量也会在其他区域集中较大的数值，了，有时图像中的能量也会在其他区域集中较大的数值，舍掉它们会造成图像质量较大的损失。舍掉它们会造成图像质量较大的损失。 数字图像处理技术-2016-01 10.2.6 编码编码（2 2）门限编码）门限编码 这种采样方法不同于区域编码法，它不是选择固定的区域，而这种采样方法不同于区域编码法，它不是选择固定的区域，而是事先设定一个门限值是事先设定一个门限值T T。如果系数超过如果系数超过T T值，就保留下来并且进行值，就保留下来并且进行编码

28、传送。如果系数值小于编码传送。如果系数值小于值就舍弃不用。这种方法有一定的自值就舍弃不用。这种方法有一定的自适应能力。它可以得到较区域编码为好的图像质量。但是，这种方适应能力。它可以得到较区域编码为好的图像质量。但是，这种方法也有一定的缺点，那就是超过门限值的系数的位置是随机的。法也有一定的缺点，那就是超过门限值的系数的位置是随机的。数字图像处理技术-2016-01 10.2.6 编码编码 因此，在编码中除对系数值编码外，还要有位置码。因此，在编码中除对系数值编码外，还要有位置码。这两种码同时传送才能在接收端正确恢复图像。这两种码同时传送才能在接收端正确恢复图像。所以，所以，其压缩比有时会有所

29、下降。一种简单实用的位置编码其压缩比有时会有所下降。一种简单实用的位置编码技术是对有效样本之间的无效样本数目编码。技术是对有效样本之间的无效样本数目编码。数字图像处理技术-2016-01 10.2.6 编码编码在在图像编码中，目前的国际标准是：图像编码中，目前的国际标准是： 、静止图像、静止图像: JPEG ( Joint Photographic Expert Group )：“联合图片专家组联合图片专家组” 1991年提出的年提出的 ISO CD 10916建议草案。建议草案。数字图像处理技术-2016-0110.3 图像图像编码的国际标准编码的国际标准这个建议规定了具体的编码方法及质量要