二次函数的三种表达形式

1、二次函数的三种表达形式：一般式：y=ax2+bx+c(aw0,a、b、c为常数)，顶点坐标为2，而把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。顶点式：y=a(x-h)2+k(a0,ah、k为常数)，顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值二k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式

2、中，h0时，h越大，图像白对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|川个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0.已知抛物线与x轴即y=0有交点A(xi,0)

3、和B(x2,0),我们可设y=a(x-xi)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数,.xi+x2=-b/a,xi?x2=c/a(由韦达定理得)，.y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(xi+x2)x+xi?X2=a(x-xi)(x-x2).重要概念：a,b,c为常数，aw0,且a决定函数的开口方向。a0时，开口方向向上；a0,那么当2口时，y有最小值且y最小=44;h41白-七x=-如果a0,那么，当乙堂时，y有最大值，且y最大=4段0告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x=

4、4时有最小值一3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。点拨：析解二次函数当x=4时有最小值一3,顶点坐标为（4,-3）,对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1,0）和（7,0）。.抛物线的顶点为（4,-3）且过点（1,0）。故可设函数解析式为y=a（x4）23。将（1,0）代入得0=a（1-4）2-3,解得a=13.y=13（x-4）2-3,即y=13x283x+73。典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3,

5、-2）和B（1,0）,且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点（0,2）,且过点（-1,0）,求这个二次函数的解析式.（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点（1,4）和点（5,0）,求此抛物线的解析式.(4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点，它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位,所得图像的解析式是y=x2-3x+5,则函数的解析式为点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,即y=(x-32)2+11