数列求和（必修5第二章）

1、中央电视台的中央电视台的开心辞典开心辞典栏目，有一次栏目，有一次的最后一题是：的最后一题是：“给出一组数给出一组数1，3，6，10，15，则第，则第7个数是什么？个数是什么？”你认为第你认为第7个数个数是是 .那么，这组数之间的规律是那么，这组数之间的规律是 .28an=n(n+1)2a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4an-an-1= nan=1+2+3+n重点重点:难点难点:等差、等比数列求和公式等差、等比数列求和公式非等差、等比数列的求和非等差、等比数列的求和学习目标学习目标: 等差、等比数列的前等差、等比数列的前n项和公式和其它几种项和公式和其它几种常见方法常见方法:倒序相加法、

2、错位相减法、倒序相加法、错位相减法、an法法(列列项法、拆项法项法、拆项法). 要深刻理解这些求和方法和含义要深刻理解这些求和方法和含义,熟练掌握它熟练掌握它们适用的数列类型以及在求和中应注意的问题们适用的数列类型以及在求和中应注意的问题.2：等比数列前：等比数列前n项和公式项和公式: Sn= n(a1+an) 2 = na1+ d n(n-1) 2 a1 (1-qn) 1-qn (n+1)(2n+1) 61：等差数列前：等差数列前n项和公式：项和公式： Sn= a1 -anq 1-q= (q 1)(q = 1)na13:12+22+32+n2=13+23+33+n3=n (n+1) 2 2求

3、数列的前求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：项和，通常要掌握以下解法：1直接法直接法2公式法公式法3倒序相加法倒序相加法4错位相减法错位相减法5分组转化法分组转化法6裂项相消法裂项相消法“an ”法法求数列求数列nc100n 的前的前99项的和项的和.S99 = c1001 + 2c1002 + + 98c10098 + 99 c10099S99 = 99c10099 +98c10098 + + 2c1002 + c10012S99 = 100c1001 + 100c1002 + + 100c10099=100(c1001 + c1002 + c1003 + c10099)=100(2100

4、-2) S99 =50(2100-2)训练训练+ 2 + 3 + + nCn2Cn1CnnCn3Sn=Cn2Cn1CnnCnn-1n +(n-1) + + 2 +Sn=2Sn=n( + + )Cn0Cn1Cnnlim n+ 2 + 3 + + nCn2Cn1CnnCn3n 3nA0 B C2 D不存在不存在12= ( )原式原式=n2n= 0Sn=n2n-1lim ( ) nn2312 求数列求数列 的前的前n项和项和. 2n-12nSn = + + + 12 322523 2n-12nSn =12 122 323524 2n-12n+1+ + +(1)(2)Sn=12 122 123 12n

5、-1+(1)-(2)得：得：1212+ 2n-12n+1-（ ）=32- 2n+32n+1Sn =3 - 2n+32n练习练习:求数列求数列(2n +1) 2n-1的前的前n项和项和.训练训练Sn=320+521+722+923+(2n+1)2n-12Sn=321+522+723+924+(2n+1)2n(1)(2)(1)-(2)得：得：-Sn=3+ 22+23+24+2n -(2n+1)2n( ) =3+22 (2n-1-1)-(2n+1)2n= -1+(1-2n)2nSn = 1+(2n-1)2n求和：求和： + + + + 112 1n(n+1) 134 123 1n(n+1)an =

6、- 1n 1n+1 Sn = + + + + 112 1n(n+1) 134 123 +( - ) 1n 1n+1=(1- )+( - )+( - )+ 12 12 13 13 14 1n+1= 1-= nn+1训练训练1求：求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23的的前前n项和项和.=1-21-2n=2n-1Sn= 1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23) + +=(2-1)+(22 -1)+(23-1)+(24-1)+(2n-1)=(2+22+23+2n)-n2求和求和 ： + + + + 124 113 135 1n(n+2)3求和求和 : 1 + + + +

7、11+2 11+2+3 11+2+.+n 某射手射击目标，直到击中目标才能停止，某射手射击目标，直到击中目标才能停止， 若某射手射击到第若某射手射击到第n次击中目标，设该射手次击中目标，设该射手击中目标的概率为击中目标的概率为p，试求：，试求：(1)射击次数射击次数 (n)的概率分布列；的概率分布列；(2)求射击求射击n次的数学期望次的数学期望. (1)设射击次数设射击次数 所取值为所取值为1、2、3、n. 1 2 3 np( )P(1-p)p (1-p)2p(1-p)n-1p(2)E =p+2(1-p)p+3(1-p)2p+ +n(1-p)n-1p=p1+2(1-p)+3(1-p)2+ +n

8、(1-p)n-1E =p1-(1-p)n(1+np)解解: n2个正数排成如下表示的个正数排成如下表示的n行行n列：列： a11 a12 a13 a14 a1n a21 a22 a23 a24 a2n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行成等差数列，每一列成等比数其中每一行成等差数列，每一列成等比数列列,且各列公比相等且各列公比相等,若若a24=1,a42=1/8,a43=3/16, 求求a11+a22+a33+a44+ann的值的值.设第一行数列公差为设第一行数列公差为d,各列的公比为各列的公比为q.a24=(a11+3d)q=1a42=(a11+d)q3= 18解得解得:a11=d=q= 12(负值舍去）负值舍去）ann=a1nqn-1=a11 +(n-1)dqn-1 n2n=Sn = + + + 12 222323 n2nSn =2 - n+22na43= +dq3 = 316 18则第四行数列的公差为则第四行数列的公差为dq3已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn, 且对任意正整数且对任意正整数n都都有有2Sn=(n+2)an-1.求数列求数列an的通项公式的通项公式nnTa aa aa aa a设设 ,且且Tn m恒成立恒成立,求求m的最小值的最小值.12n