圆的对称性第一课时

1、垂直与弦的直径（垂直与弦的直径（1）圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称你能找到多少条对称轴？轴？O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?n圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?你又是用什么方法解决这个你又是用什么方法解决这个问题的问题的? ?圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .O可利

2、用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形. .它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .用旋转的方法即可解决这个用旋转的方法即可解决这个问题问题. .圆的相关概念圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧. 直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫做半每一部分都叫做半圆圆(如如 ABC).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心弦叫做经过圆心弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记

3、作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用两个字母两个字母).AmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmD赵州石拱桥赵州石拱桥 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).AM=BM,垂径定理垂径定理 AB是是 O的

4、一条弦的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On这个图形还轴对称图形吗这个图形还轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n结论结论:ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理 如图如图, 理由是理由是: 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.

5、O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂径定理垂径定理三种语言三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.特别提示特别提示: 垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 A

6、B是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想与同伴说说你的想法和理由法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On如图是轴对称图形吗如图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n结论结论:CDn由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 如图

7、如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆

8、心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. .在半径为在半径为3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是= = ，PO

9、AB弦心距弦心距 .已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，是弦的垂线，或作垂直于弦的直径，是一种常用辅助线的添法一种常用辅助线的添法赵州石拱桥赵州石拱桥 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弧所对是弦的长弦的长)为为 37.4 m,

10、拱高拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确精确到到0.1m).解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB37.4,7.2,ABCDABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得

11、,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2练习：练习：如图，圆如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径直径CEAB于于D，求半径，求半径OC的长。的长。DEOABC如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。EDOABCP反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理

12、求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO垂径垂径a2hdr挑战自我挑战自我 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗? 老师提示老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.挑战自我挑战自我画一画画一画 如图如图,M,M为为OO内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM驶向

13、胜利的彼岸挑战自我挑战自我填一填填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）OCDBA GH试一试试一试如图：如图：AB是圆是圆O的直径，的直径，CD是圆

14、内的一是圆内的一条弦，过条弦，过C、D两点分别作弦两点分别作弦CD的垂线，的垂线，交直径于交直径于G、H两点，试说明：两点，试说明：AGBH如图：如图：AB是圆是圆O的直径，的直径，CD是圆内是圆内的一条弦，过的一条弦，过A、B两点分别作弦两点分别作弦CD的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为E、F两点，试两点，试说明：说明：CEDFDCOABFEP驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我画一画画一画 2.已知：如图已知：如图, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有 : .图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: .FEOM

15、NABCD思考思考：如图，已知圆如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圆，且圆O的半径为的半径为 10，CD=16 ，求，求AE-BF的长。的长。EGOCDBAF小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的图式垂直于弦的直径垂直于

16、弦的直径(2)(2)练习：练习：如图，圆如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径直径CEAB于于D，求半径，求半径OC的长。的长。DEOABC如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。EDOABCP垂径定理的应用垂径定理的应用 例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆如图，一条公路的转变处是一段圆弧弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECDOECD垂垂足为足为F,EF=90m

17、.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. .OCDEF船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽桥下水面宽为为7.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的米的货船要经过这里货船要经过这里,此货船能顺利通过这座此货船能顺利通过这座拱桥吗？拱桥吗？ 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所所示，正常水位下水面宽示，正常水位下水面宽AB= 60m，水面到拱，水面到拱顶距离顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽，当洪

18、水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明时是否需要采取紧急措施？请说明理由理由 B A C E D O N M船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？ （2009兰州）有一座圆弧形的拱桥，桥下面水面宽度为7.2米，拱顶高2.4米，现有一竹排运货，一货箱欲从桥下经过，已知货箱长为10米，宽3

19、米，高2米，竹排与水面持平，问该货箱能不能顺利通过？船能过拱桥吗船能过拱桥吗 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 .

20、2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理垂径定理三角形三角形在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意两中，已知其中任意两个量个量, ,可以求出其它两个量可以求出其它两个量. .EOABDCd + h = rd + h = r222)2(adr已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E .若半径若半径R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的长的长

21、. 若半径若半径R = 2 ，OE = 1 ，求，求AB、DE 的长的长.由由 、两题的启发，你还能编出什么其他问题？两题的启发，你还能编出什么其他问题？32垂径定理的应用垂径定理的应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示面如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最大深，求油的最大深度度. BAOED 600垂径定理的逆应用垂径定理的逆应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示面如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最大深，求油的最大深度度.

22、BAO600 650DC挑战自我挑战自我 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决. 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题用方程的思想来解决问题.n3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形高高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：两个量，如图有：d + h = r222)2(adrhda2O2. 2. 圆对称性圆对称性(3)(3)圆的对

23、称性及圆的对称性及特性特性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,圆的对称轴是任意一条经过圆圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线心的直线, ,它有无数条对称轴它有无数条对称轴. .n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形, ,它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .n用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到: :n一个圆绕着它的圆心旋转任意一一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度个角度, ,都能与原来的图形重合都能与原来的图形重合. .n这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质: :圆的圆的旋转不变性旋转不变性OAB圆心角圆心角 圆心角圆心角 顶点在圆心的角顶点在圆心的角(如如AOB). 弦心距弦心

24、距 过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离圆心与垂足之间的距离(如线段如线段OD). 如图如图,在在 O中中,分别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和AOB和和AOB, 将其将其中的一个旋转一个角度中的一个旋转一个角度,使得使得OA和和OA重合重合.n 你能发现那些等量关系你能发现那些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由.OOABDOABDABABABABABABDDDDDDABD圆心角圆心角 圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 如图如图,如果在两个等圆如果在两个等圆 O和和 O中中,分别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和AOB和和AOB,固定圆心固定圆心,将其中的一个旋转一个角度将其中的一个旋转一个角度,使使得得OA和和OA重合重合.OABOABn 你又能发现那些等量关系你又能发现那些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由.OABOABABABABABABABDDDD圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的圆心角所对的弧相等所对的相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等弦相等, ,所对的弦的弦心距相等所