2020年中考数学难点突破复习资料汇总

1、几何最值问题复习本内容全部需要在做讲义题目之前进行一、读一读下面的内容，想一想1 .解决几何最值问题的理论依据两点之间，线段最短（已知两个定点）；（已知一个定点、一条定直线）；三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）.2 .几何最值问题常见的基本结构利用几何变换进行转化一一在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P的位置求（PA+PBUn ,异侧和最小第1页共37页A：人BM N lMNMNW固定线段长，求（AM BN）min求PB-PAmax,同侧差最大利用图形性质进行转化求 ODmax不变特征：RtAAOB,直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析.还原自己做最值问题的过程（从

2、拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调整与自己不一样的地方.研究背景图形，相关信息进行标注；分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析；封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析.三、根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什 么样的区别和联系，简要写一写你的看法.下面是小明的看法：都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有标注；在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理及公理如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据四、

3、 借助对上述问题的思考，做讲义的题目几何最值问题（讲义）一、知识点睛解决几何最值问题的通常思路：1. 分析定点、动点，寻找不变特征2. 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢第 3 页 共 37 页、精讲精练1 .如图，在 ABC中，AB=6, AC=8, BC=10, P 为 BC边上一动点，PH AB于点 E, PF, AC于 点F.若M为EF的中点，则AM长度的最小值为 :第2题图第9页共37页2 .如图，在RtzXABC中，/ B=90 , AB=3, BC=

4、4,点D在BC边上，则以AC为对角线的所有 ADC日,DE长度的最小值为:3 .若点D与点78, 0), B(0, 6), C(a, -a )是一平行四边形的四个顶点，则 CD长度的最小 值为:4 .如图，已知AB=2, C是线段AB上任一点，分别以AC BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角 三角形ACDF口等腰直角三角形BCE则DE长度的最小值为 :第5题图5 .如图，已知AB=10, C是线段AB上任一点，分别以AC BC为边，在AB的同侧作等边三角 形ACFft等边三角形BCQ则PQ长度的最小值为 6 .动手操作：在矩形纸片 ABCDt, AB=3, AD=5.如图所示，折叠纸片，使点 A

5、落在BC边上 的A处，折痕为PQ当点A在BC边上移动时，折痕的端点P, Q也随之移动.若限定 点P,Q分别在AB,AD4上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为 :BACBCAQ DAD7.如图，在直角梯形纸片 ABC时,ADAB, AB=8, AD=CD=4,点E, 将4AEF沿EF翻折，点A的对应点记为P.(1)当点P落在线段CD上时，PD的取值范围是.(2)当点P落在直角梯形ABCM部时，PD长度的最小值为 DP CD_CAEBAEBD.CDCF分别在线段AB, AD上,8.如图，在 RtzXABC中，/ ACe90,/A=30 , AC=4石，BC的中点为D.将 AB微点C顺时针旋转

6、任意一个角度得到 FEC EF的中点为G,连接DG则在旋转过程中，DG长度 的最大值为9.10.如图，已知 ABC是边长为2的等边三角形，顶点 A的坐标为（0, 6）, BC的中点D在点A 下方的y轴上，E是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形 绕其中心旋转一周，则在旋转过程中 DE长度的最小值为 .探究：如图1,在等边三角形 ABC中，AB=6, AHBC于点H,则AH=, zABC的面 积 SA ABC - 发现：如图2,在等边三角形ABO, AB=6,点D在AC边上（可与点A, C重合），分别过 点A, C作直线BD的垂线，垂足分别为点 E, F,设BD=x, A

7、E=m, CF=n.（1）用含X, m n的代数式表示S/XABD及Scbd ；（2）求（m + n）与x之间的函数关系式，并求出（m + n）的最大值和最小化应用：如图，已知正方形 ABCD勺边长为1, P是BC边上的任一点 （可与点B, C重合），分别过点B, C, D作射线AP的垂线，垂足 分别为点B , C , D,则BB +CC +DD的最大值为, 最小值为.三、回顾与思考【参考答案】精讲精练1252. 33. 7.24. 15. 56. 27. (1) 8-4/3 PD Q：b)b JQ；b)L+Bb，b4b1=a2+2ab+4=+ ：5 .解题步骤阅读型问题例5 (2018?吉林

8、)某同学化简a (a+2b) - (a+b) (a-b)出现了错误，解答过程如下:原式=a2+2ab- (a2-b2) (第一步)=a2+2ab- a2 - b2 (第二步)=2ab- b2 (第三步)(1)该同学解答过程从第二 步开始出错,错误原因是去括号时没有变号；(2)写出此题正确的解答过程.【分析】先计算乘法，然后计算减法.【解答】解：(1)该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因是 去括号时没有变号；故答案是：二；去括号时没有变号；(2)原式=a2+2ab- (a2 - b2)=a2+2ab- a2+b2=2ab+t2.6 .数学史型阅读问题例6 (2018?自贡)阅读以下材料：对

9、数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J. Nplcr , 1550- 1617年)，纳皮尔发明对数是在指数 书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr , 1707- 1783年)才发现指数与对数之 间的联系.对数的定义：一般地，若ax=N(a0, aw1),那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN.比 如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log?5可以转化为52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga(M?N) =logaM+logaN (a0, a*1, M0,N0);理由如下：设 log aM=m log aN=n,贝U M=a, N=a

10、nM?N=sm?an=am+n,由对数白勺定义得 m+n=loga (M?N)又= m+n=logJM+logaN . log a (M?N) =log aM + lOgaN解决以下问题:(1)将指数43=64转化为对数式3=log 464 :(2)证明 log a-y=log aM- log aN(30, 3 1 , M0, N0)(3)拓展运用：计算 log 32+log 36 log 34= 1.【分析】(1)根据题意可以把指数式43=64写成对数式；(2)先设log aM=m log aN=n,根据对数的定义可表示为指数式为：M=emi, N=sn,计算鼻的结果, 同理由所给材料的证明

11、过程可得结论；(3)根据公式：log a ( M?N) =log aM + logaN和log$=log aM- log aN的逆用，将所求式子表示为：log 3 (2X6-4),计算可得结论.【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464, 故答案为：3=log464;(2)设 log aM=m log aN=n 则 M=a, N=ai,.久=2n,由对数的定义得m- nnog4,又 : m n=log aM- log aN,log a=log aM- log aN (a0, a 1, M0, N0);(3) log 32+log36log M,=log3 (2

12、X6+ 4),=log 3二1,故答案为：1.7.填空型阅读问题例7 (2018?临安区)阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为 ABC勺三边，且满足a2c2 - b2c2=a4 - b4,试判断 ABC的形状.解：a2c2- b2c2=a4- b4 (A)c2 (a2-b2) = (a2+b2) (a2-b2)(B) c2=a2+b2 (C).ABCg直角三角形问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：C :(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况 ;3 3)本题正确的结论为：4AB佻等腰三角形或直角三角形【分析】(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题；(2)根据题目

13、中B到C可知没有考虑a=b的情况；(3)根据题意可以写出正确的结论.【解答】解：(1)由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C,故答案为：C;(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况，故答案为：没有考虑a=b的情况；(3)本题正确的结论为： ABCg等腰三角形或直角三角形，故答案为： ABC是等腰三角形或直角三角形.8 .寻找规律型阅读问题例8 (2018?滨州)观察下列各式：小土出=1+=1 = = 彳=1+ G 3 , V 22 32X3 ?请利用你所发现的规律,计算后号机起他!嘲+枷会&其结果为【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.【解答】解：由题意可得：+. +1

14、+_，+ +i故答案为：9-y.9 .公式推荐型阅读问题例9 （2018?枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a, b, c,则该三角形I2-2 2的面积为$=工32（三也二）2.现已知 ABC的三边长分别为1, 2,逆，则4ABCV 42的面积为 1 .【分析】根据题目中的面积公式可以求得 ABC的三边长分别为1, 2,巡 的面积，从而可以解答本题.ABC勺三边长分别为1, 2,垂,则 ABC的面积为:故答案为：1.10.介绍新知识型阅读问题a b例10 （2018年?常德）阅t理解：a, b, c,

15、 d是实数，我们把符号称为2X2阶行列式,a b并且规定：=axd bxc,例如:c d3 2=3 X ( 2) - 2X ( 1) =6+2=- 4.DxX = 一 D-1 -2a1x+ b1y = c1元一次方程组a?x+ b2y =的解可以利用2X2阶行列式表示为:C2Dy y=6a1 b1其中D= a2 b2c1 b1C2 b2a1 c1D =ya2 c 22 x+ y = 1问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是（3x-2y = 1221A. D=- 7x = 2B . Dx = -14 C . Dy =27 D .方程组的解为y = -3分析：根据行列式的定义

16、，分别计算D=解:a1 b1因为D=a2 b2c1 b1C2 b2a1 c1D =ya 2 c2a1 b1a2 b221=-7,所以选项A正确;3 -21 1= -2- 1X 12=- 14,所以选项12 -2C1 b1C2 b2B正确;21=2X12-1X3=21,所以选项C不正确;312Dx -14 x = 一 = (-D-7|x = 2方程组的解：即 ，所以选项D正确;Dy 21 y = -3y =a1c1Dy=可得结论.a2 c2所以选C.点评：理解行列式的意义是解题的关键.这种先阅读后应用的考题方式是一种创新学习方式 即自主学习，是数学学习的有效方式之一，值得推广.11.定义新运算型

17、阅读问题例11 （2018年江苏扬州）对于任意实数 a、b,定义关于 ”的一种运算如下：a b=2a+b. 例如 3 - 4=2X 3+4=10.(1)求 2 (-5)的值;(2)若 xy=2,且 2yx=-1 ,求 x+y 的值.分析：理解新运算的意义，利用新运算转化为二元一次方程组问题求解即可 解：(1) 2 (-5)= 2 X2+ (-5) =-1 ;7 -x =2x+y = 2|(1)9(2)根据新定义得，解得：x+4y= -1IIIHK2)= 4y 一9所以 x+y=7 一4=1. 993点评：利用新运算把陌生知识点问题转化成熟悉的二元一次方程组问题是解题的关键12.定义新概念型阅读

18、问题例12 (2018?内江)对于三个数 a, b, c,用Ma, b, c表示这三个数的中位数，用 maxa, b, c表示这三个数中最大数，例如： M- 2, -1, 0= - 1, max-2, -1, 0=0 , max- 2,T，叫1工)解决问题：(1)填空：Msin45 , cos60 , tan60 = _如果 max3, 5-3x, 2x - 6=3,贝U x 的取值范围为 高;(2)如果 2?M2, x+2, x+4=max2, x+2, x+4,求 x 的值；(3)如果 M9, x2, 3x - 2=max9, x2, 3x - 2,求 x 的值.【分析】(1)根据定义写出

19、sin45 0 , cos600 , tan60的值，确定其中位数；根据maxa, b,c表小这二个数中取大数，对于 max3, 5-3x, 2x - 6=3 ,可得不等式组：则，可得结论;(2)根据新定义和已知分情况讨论： 2最大时，X+402时，2是中间的数时，x+222,分别解出即可；(3)不妨设 y1二9, y2=x2, ya=3x- 2,画出图象，根据 M9, x2, 3x-2=max9, x2, 3x - 2,可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论.【解答】 解：(1) sin45 0cos60 = , tan60 0 =p3

20、,2二 . Msin45 , cos60 , tan60 =-. max3, 5-3x, 2x - 6=3,35-3x；x的取值范围为:故答案为：-y-,=rC!(2) 2?M2, x+2, x+4=max2, x+2, x+4,分三种情况：当x+402时，即x - 2,原等式变为：2 (x+4) =2, x=-3, x+202&x+4 时，IP- 2x0,原等式变为：2 (x+2) =x+4, x=0,综上所述，x的值为-3或0;(3)不妨设y1二9, y2=x2, y3=3x2,画出图象，如图所示:结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且 M9, x2, 3x-2=max9

21、, x2,3x 2=y A=yB,止匕时x2=9,解得x=3或一3.例13 (2018?娄底)已知：冈 表示不超过x的最大整数.例：3.9=3，-1.8= -2.令 关于k的函数f (k) =p-宁(k是正整数).例：f (3) =-p -=1 .则下列结论 错误的是()(k+1) f (k)D. f (k) =0或 1A. f (1) =0B. f (k+4) =f (k)C. f【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题.【解答】解：f (1) =-p -=0 -0=0,故选项A正确；r , 八 r k+4+l r k+4 r r k+1 - r If /r r Lt +

22、1 , r , r , x 小小 4 TH c Tef (k+4) = - 丁=j-+1-句+1=-j- - 2=f (k),故选项 B 正确；C、当 k=3 时，f (3+1)=寸-=1 -1=0,而 f (3) =1,故选项 C错误；D当k=3+4n (n为自然数)时，f (k) =1,当k为其它的正整数时，f (k) =0,所以D选项 的结论正确；故选：C.13.例题变式型阅读问题例14 (2018?绍兴)数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABO, /A=110 ,求/ B的度数.(答案：35 )例2等腰三角形ABO, /A=40 ,求/ B的度数，(答案：40或70或100

23、 )张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，/A=80 ,求/ B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后，小敏发现，/ A的度数不同，得到/ B的度数的个数也可能不同，如果在等 腰三角形ABC中，设/ A=x0 ,当/ B有三个不同的度数时，请你探索 x的取值范围.解析：(1)若 / A为顶角，则 / B= (180 -/A) +2=50 ;若/A为底角，/ B为顶角，则/ B=180 -2X80 =20 ；若/A为底角，/ B为底角，则/ B=80 ;所以/ B=50或20或80 ；(2)分两种情况：当90&x180时，/ A只能为顶角，所以/B的度

24、数只有一个；当0Vx90时，180 - x若/A为顶角，则/ B=()。；若/A为底角，/ B为顶角，则/ B= (180-2x) ;若/A为底角，/ B为底角，则/ B=x .,180 - x一一 180 - x当 一-一 看180-2x且180-2xwx且 一-一 wx,即x*60时，/ B有三个不同的度数.综上所述，可知当0Vx90且xw60时，/ B有三个不同的度数.平行四边形的性质一、基础知识点知识点1 ：平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别的四边形叫做平行四边形。记作“口 ABCD知识点2:平行四边形的性质边：角： 对角线： 平行四边形的面积 、典型题型 例题1:如图，E

25、, F是平行四边形 ABCM对角线AC上的点，CE=AF猜想BE与DF有怎样的关系？并对你的 猜想加以证明.练习：如图，在平行四边形 ABCD勺对角线BD上存在P, Q两个点，且BP=DQ试探究AP与CQ的关系.例题2:如图，在平行四边形 ABCD43, AB二3cm, BC二Scm,对角线AC, BD相交于点O,则OA的取值范围.例题3:如图，在口 ABCD43, / BAD的角平分线交 BC于点E,交DC的延长线于点 F,连接DE.(1)请判断 ADF的形状，并说明理由；(2 )己知/ ADE= /FDE=30, AE=2, 求 DABCD勺面积.练习：在平行四边形 ABCD, / A=4

26、 5 0, BDAD, BD=2.求平行四边形ABCM周长和面积;(2)求A、C两点间的距离.例题4:如图，在平面直角坐标系中，点A (4, 2), B (-1,-3), P 是x轴上的一点,若以点A, B, P, Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q的坐 标.Q是y轴上的一点,三、专题练习一、选择题1 .如图，在平行四边形 ABC邛,BE=4, CE=3, /ABC和/ BCD勺平分线交 长为()AD于点E,则AB的A .5 B. 4 C. 3 D. 2 .52.在平行四边形 ABCDK / BAD的平分线AE交BC于点F,且BE=3,若平行四边形ABCM周长是16,则EC等于()A

27、.1 B. 3 C. 2 D 5 223 .如图 DABCD勺CD边上有一点 F,连接AE BE, / DAE=lg / AEB=33则/ EBC的度数是（）0 C. 33A .18 0 B. 210 D.4504 .如图，将 ABCDg对角线AC折叠，使点B落在B处，若/ 1 = / 2=44,则/ B为8.A. 66 0 B .1040 C. 1140 D.5 .如图，若平行四边形 ABCM, AB=6, AD=4, / B=15C0,则平行四边形 ABCD勺面积为（）A .6 B. 12 C. 12D. 24、填空题6.如图，己知 DABCDE个顶点坐标是 A (-1,0) 、B (-2

28、 , -3)、C(2 , -1),那么第四个顶点 B的坐标 是7 .如图，P为平行四边形 ABCD勺边AD上的一点，E,F分别为PB, PC的中点， PFF, PDC, 4PAB的面 积分别为S,S1,S2.若S=3,则S +S2的值为8 .如图，在 DABCD,用直尺和圆规作/ BAD的平分线 AG交BC于点F.若BF=6, AB =5 ,则AF的长为9 .如图，ABC面对角线 AC、BD交于点 O, AE平分/ BAD交BC于点E且/ADC=60AB=1bC,连接 OF.下列结论：/ CAD=30; 曲边形 ABCD =AB - AC; OB=AB; 0E= - BC24成立的个数有 (填

29、序号)三、解答题10 .如图，点EF是平行四边形 ABCD勺对角线AC上的点，CE=AF.试说明：BF= DF.11 .已知：如图，在平行四边形ABCM,连接对角线 BD,作A已BD于F, CF，BD于F,求证： AEN CFB;(2)若/ ABC=75, / ADB=30, AF=3,求平行四边形 ABCM周长.12 .如图，DABCM对角线 AG BD相交于点O,E,F分别是OA, OC的中点，连接 BE,(1 )根据题意，补全图形；(2)求证：BE= DF.13,如图，在 DABC邛，DE= CE,连接AE并延长交BC的延长线于点 F.(1 )求证： AD段 FCE;(2)若 AB=2B

30、C, /F=360,求/ B 的度数。、基本模型构建常见模型抛物线有关压轴题复习在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD 思考二、拔高精讲精练探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例1:在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A (-4, 0), B (0,-4),在射线BD上可以找出一点 组成三角形，可得A ABC BEC zCBD为等腰三角 形。C (2, 0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点 M的横坐标为m1 4AMB勺面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.(3)若点P是抛物线上的动点

31、，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、 Q B、。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。解：(1)设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c (aw0),16a -4b c= 0将A (-4, 0), B (0,-4), C (2, 0)三点代入函数解析式得： c= -44a 2b c= 01a=一2解得b=1 ,所以此函数解析式为：y=lx2+x-4；2c= -41 r(2);M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上，一. M点的坐标为：(m, - m2+m-4), 2S=Sao+Saobi-S AAO= X4X (- 1 n2-m+4) +- X4X

32、 (-m) - x4X4=-m2-2m+8-2m-82222=-m2-4m=- (m+2 2+4,-4 m 0, b2-4ac 0 (填“”或)；(2)若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC, E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使彳3以A, C, E, F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标;解：(1) a0, b2-4ac0; (2)二.直线 x=2 是对称轴，A (-2, 0), B (6, 0),丁点 C (0, -4),将 A, B, C的坐标分别代入 y=ax2+bx+

33、c,解得：a=- , b=- , c=-4 ,33,抛物线的函数表达式为y=- x2- 4x-4 ;33(3)存在，理由为：(i)假设存在点E使得以A, C, E, F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE/ x轴，交抛物线于点E,过点E作EF/ AC交x轴于点F,如图1所示，则四边形ACEFW为满足条件的平行四边形, :抛物线y=-x2- 4x-4关于直线x=2对称，由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4,又OC=4 ；E的纵坐标为-4, 存在点E (4,-4);(ii )假设在抛物线上还存在点E,使得以A,C,F , E为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E彳E F /AC交x轴

34、于点F,则四边形ACF E即为满足条件的平 行四边形，AC=E F , AC/ E F,如图 2,过点 E彳E G,x 轴于点 G,. AC/ E F , . CAO=E F G,又. /COAWE GF =90 , AC=E F , .CAW E F G.E G=CO= 4 .二点 E的纵坐标是 4, .4=1x2-4x-4, 33解得：Xi=2+2、7 , X2=2-2 ,7 ,点E的坐标为(2+2, 4),同理可得点E的坐标为(2-2, 4)。【小结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面 .主要有以下几种类型：(1)已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；(2)已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等； 两定 点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题例2:如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0)和点B与y轴 交于点C (0, 3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P