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1、A.9全国二一一理科数学2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共5页。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。I x 2+y 2<3, xC Z, yCZ,则A中元素的个数为B.8C.5D.43.函数f (x) =e 2-e-x/x 2的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量 a, b 满足 I a I =1, a b=-1,则 a (2a-b)=A.4B.3C.2D.05.双曲线x 2/a 2-y 2/b 2=1 (a>0, b>0)的离心率为后,则其渐进线方程为A.y=
2、177;' xB.y=± . ; xC.y=±2ID.y=±.2C 彳6.在 MBC 中,cos =, BC=1, AC=5,则 AB=2 sA.4 一B. J7C. D.2 ;7.为计算s=1- 2+:-+ 1 - 1 ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填2 3d 09 100A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48 .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和",如30=7+23 ,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.
3、B.C.D.1211411519 .在长方体ABCD-A iBiCiDi中,AB=BC=1 , AA产 ® 则异面直线 ADi与DB1所成角的余弦值为1A.5B. Q-z-i0.若 f (x) =cosx-sinx 在 -a,a是减函数,则a的最大值是A.B.C.D.11 .已知f (x)是定义域为(-8, +OO)的奇函数,满足 f (i-x) =f (i+x)。若f (i) =2,则 f (i) + f + f (3) +f (50)=A.-50B.0C.2D.5012 .已知Fi, F2是椭圆C:二:匕 =1 (a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点 ;产一P
4、在过A且斜率为 “的直线上, PF1F2为等腰三角形,/ FiF2P=120° ,则C的离心率为2312X1一3146A.B.C.D.二、填空题:本题共 4小题,每小题5分,共20分。13 .曲线y=2ln (x+1)在点(0, 0)处的切线方程为 。x + 2y - 514. 若x, y满足约束条件+ 3则z=x+y的最大值为 。x-5 <0,15. 已知 sin a +cos 3 =1, cos a +sin 3 =0,则 sin ( a + 3 ) =。716. 已知圆锥的顶点为 S,母线SA, SB所成角的余弦值为 -,SA与圆锥底面所成角为<145。,若 SAB
5、的面积为5v15,则该圆锥的侧面积为 。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60分。17. (12 分)记&为等差数列an的前n项和,已知a1=-7, S=-15。(1)求an的通项公式;(2)求并求&的最小值。18. (12 分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据(时间变量 t的值依
6、次为1, 2,,17)建立模型:=-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量 t的值依次为1, 2,,7) 建立模型:=99+17.5t 。(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境 基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由19. (12 分)设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k ( k>0)的直线l与C交于A,B 两点,| AB|二8。(1)求l的方程;(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程。20. (12 分)如图,在三棱锥 P-ABC中,AB=BC=2 血,PA=PB=PC=AC=4 ,。为
7、AC的中点。(1)证明:PO,平面ABC ;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30 °,求PC与平面 PAM所成角的正弦值。21、(12 分)已经函数f (x) =ex-ax2。(1)若 a=1,证明:当 x> 0 时,f (x) >1;(2)若f (x)在(0, +8)只有一个零点,求 a。(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22、选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中xOy中,曲线C的参数万程为I(。为参数),直线l的参y = 4sin0数方程为,;二;二;黑:(t为参数)。(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,
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