第四章 杆件的强度与刚度ppt [兼容模式] [修复的]

1、 4.1 拉压杆拉压杆 4.2 受扭轴受扭轴 4.3 单跨梁单跨梁 4.4 组合变形组合变形 小结小结 4.1.1 工程实例和计算简图工程实例和计算简图工程中承受轴向拉伸或压缩的杆件：工程中承受轴向拉伸或压缩的杆件：桁架中的杆件图桁架中的杆件图 (a)斜拉桥中的拉杆图斜拉桥中的拉杆图(b) 闸门启闭机中的螺杆图闸门启闭机中的螺杆图 (c) 承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉拉(压压)杆。杆。拉压杆的计算简图 拉压杆的受力特点受力特点：外力或外力合力的作用线与杆件的轴线重合 。 拉压杆的变形特点变形特点：沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。4.1.2. .轴力和轴力图轴力和轴力图 物体没

2、有受到外力作用时，其内部各质点之间就存在着相互作用的内力。这种内力相互平衡，使得各质点之间保持一定的相对位置。 在物体受到外力作用后，其内部各质点之间的相对位置就要发生改变，内力也要发生变化而达到一个新的量值。 这里所讨论的内力，指的是因外力作用而引起的物体内部各质点间相互作用的内力的改变量，即由外力引起的“附加内力附加内力”，简称为内力内力。 内力随外力的增大而增大，当内力达到某一限内力随外力的增大而增大，当内力达到某一限度时就会引起构件的破坏，因而它与构件的强度问题度时就会引起构件的破坏，因而它与构件的强度问题是密切相关的。是密切相关的。 截面法是求构件内力的基本方法。下面通过求解图（a）

3、所示拉杆mm横截面上的内力来具体阐明截面法。 为了显示内力，假想地沿横截面mm将杆截开成两段，任取其中一段，例如取左段，作为研究对象。左段上除受到力F的作用外，还受到右段对它的作用力，此即横截面mm上的内力图(b)。 根据均匀连续性假设，横截面mm上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力(力或力偶)。现要求的内力就是图(b)中的合力FN。因左段处于平衡状态，故列出平衡方程。X 0 FN F 0得 F N F 这种假想地将构件截开成两部分，从而显示并求解内力的方法称为截面法截面法。 用截面法求构件内力可分为以下四个步骤：截、截、取、代、平取、代、平

4、 。1）截开）截开 沿需要求内力的截面，假想地将构件截开成两部分。2）取出）取出 取截开后的任一部分作为研究对象。3）代替）代替 把弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力代替。 根据均匀连续性假设，横截面mm上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力(力或力偶)。4）平衡）平衡 列出研究对象的静力平衡方程，解出需求的内力。X 0 FN F 0得 F N F 若取右段为研究对象若取右段为研究对象，同样可求得轴力同样可求得轴力 FN FX 0 F FN 0得 F N FFN的作用线与杆轴线重合，故FN称为轴力轴力。 规定轴力的正负号如下：当轴力的方向与

5、横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；反之，杆件受压缩短，轴力为负。 以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标（按适当的比例）表示相应截面上的轴力数值，从而绘出轴力与横截面位置关系的图线，称为轴轴力图力图，也称FN图图。通常将正的轴力画在上方，负的画在下方。 【例【例4.1】 拉压杆如图所示，求横截面拉压杆如图所示，求横截面11、22、33上的轴力，并绘制轴力图。上的轴力，并绘制轴力图。【解解】 1）求支座反力。）求支座反力。由杆由杆AD的平衡方程的平衡方程 X 0 FD 2kN 3 kN 6 kN 0得得 FD 1kN 2) 求横截面求横截面11、22、33上的轴

6、力。上的轴力。 设截面上的轴力为设截面上的轴力为FN1，由平衡方程，由平衡方程X0 FN12kN0FN12kN 算得的结果为正，表明算得的结果为正，表明F为拉力。为拉力。得得 11FN1 当然也可以取右段为研究对象来求轴力当然也可以取右段为研究对象来求轴力F，但右段，但右段上包含的外力较多，不如取左段简便。上包含的外力较多，不如取左段简便。因此因此，计算时，计算时应选应选取受力较简单的部分作为研究对象。取受力较简单的部分作为研究对象。设截面上的轴力为设截面上的轴力为FN2，由平衡方程，由平衡方程X 0 FN2 2kN 3kN 0得得 FN2 5kN22FN2 沿横截面沿横截面33将杆截开，取右

7、段为研究对象，可将杆截开，取右段为研究对象，可得轴力得轴力F为为 FN3 FD 1kN 算得的结果为负，表明算得的结果为负，表明F为压力。为压力。FN333 轴力图一般应与受力图对正。在图上应标注内力的数轴力图一般应与受力图对正。在图上应标注内力的数值及单位，在图框内均匀地画出垂直于横轴的纵坐标线，值及单位，在图框内均匀地画出垂直于横轴的纵坐标线，并标明正负号。当杆竖直放置时，正负值可分别画在杆的并标明正负号。当杆竖直放置时，正负值可分别画在杆的任一侧，并标明正负号。任一侧，并标明正负号。 3) 绘制轴力图。绘制轴力图。 最大轴力最大轴力FNmax=5kN。内力。内力较大的截面称为较大的截面称

8、为危险截面危险截面，例如，例如本题中本题中BC段各横段各横截面。截面。4.1.3 拉压杆的应力拉压杆的应力 轴力是拉压杆横截面上分布内力的合力，它只表示截面上总的受力情况，单凭轴力的大小还不能判断杆件在外力作用下是否发生破坏。例如，相等的内力分布在较大的面积上时，比较安全；分布在较小的面积上时，就比较危险。 因此，为了解决强度问题，还必须研究截面上各点处内力的分布规律，即用截面上各点处的内力的大小和方向来表明内力作用在该点处的强弱程度。为此，引入应力应力的概念。A上的平均应力： M点处的应力： M点处的正应力： M点处的切应力： AFpmAAAAddlimlim0m0FFpp = pcos =

9、 psin 应力的常用单位为应力的常用单位为Pa（帕），（帕），1Pa=1 N/m2。 工程实际中常采用帕的倍数单位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其关系为 1 kPa= 1103Pa1MPa= 1106 Pa1GPa= 1109 Pa 因为拉压杆横截面上的轴力沿截面的法向，所以横截面上只有正应力。 由于横截面上正应力的合力等于轴力，因此欲计算正应力，必须知道在截面上的分布规律。为此，我们来观察拉压杆的变形。 在图(a)所示拉杆的侧面任意画两条垂直于杆轴的横向线ab和cd。拉伸后可观察到横向线ab、cd分别平行移到了 ab 、cd 位置，但仍为直线，且仍然垂直于杆轴图(b)。

10、 根据这一现象，可假设变形前为平面的横截面，根据这一现象，可假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。这就是变形后仍保持为平面。这就是平面假设平面假设。 设想杆是由许多纵向纤维所组成，根据平面假设，设想杆是由许多纵向纤维所组成，根据平面假设，可断定杆变形时任意两横截面间各纵向纤维的伸长相可断定杆变形时任意两横截面间各纵向纤维的伸长相等。又根据均匀连续性假设，各条纤维的性质相同，等。又根据均匀连续性假设，各条纤维的性质相同，因而它们的受力必定相等。所以横截面上的法向分布因而它们的受力必定相等。所以横截面上的法向分布内力是均匀分布的，即内力是均匀分布的，即等于常量等于常量。这个结论对于压。这个

11、结论对于压杆也是成立的。杆也是成立的。 因为因为为常量，所以轴力为常量，所以轴力F等于正应力等于正应力与横截面与横截面面积面积A的乘积，即的乘积，即FNA或或 ANF这就是拉压杆横截面上这就是拉压杆横截面上正应力的计算公式正应力的计算公式。 正应力正应力的符号和轴力的符号和轴力FN的符号规定相同，即的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。拉应力为正，压应力为负。 作用于杆件上的轴向外力一般是外力系的静力等作用于杆件上的轴向外力一般是外力系的静力等效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀分布。研究表明，上述静力等效替换对原力系作用区域分布

12、。研究表明，上述静力等效替换对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影响很小，可以忽略。这就是响很小，可以忽略。这就是圣维南原理圣维南原理。根据这一原理，。根据这一原理，除了外力作用点附近以外，都可用公式计算应力。除了外力作用点附近以外，都可用公式计算应力。 【例【例4.2】 一正方形截面一正方形截面的砖柱（压杆有时也称为柱）的砖柱（压杆有时也称为柱）如图所示，如图所示，F50kN。求砖柱。求砖柱的最大正应力。的最大正应力。 【解】【解】 用截面法求得上、下两段横用截面法求得上、下两段横截面上的轴力分别为截面上的轴力分别为F

13、N150kN，FN2150kN 因为上、下两段横截面的面因为上、下两段横截面的面积也不相同，所以必须算出各段积也不相同，所以必须算出各段横截面上的应力，加以比较后才横截面上的应力，加以比较后才能确定柱的最大正应力。由横截能确定柱的最大正应力。由横截面上的应力计算公式，得面上的应力计算公式，得MPa87. 0Pa1087. 0m10240N1050626-23N1ABABAF MPa1 . 1Pa101 . 1m10370N10150626-23N2BCBCAF 可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面上，其值为上，其值为max1.1MPa（压）（

14、压） 以后我们称应力较大的点为以后我们称应力较大的点为危险点危险点，例如，例如本题中柱下段横截面上各点。本题中柱下段横截面上各点。 如果杆的各横截面上的轴力都相同，那么杆的如果杆的各横截面上的轴力都相同，那么杆的最大正应力发生在截面积最小的横截面上。若是等直最大正应力发生在截面积最小的横截面上。若是等直杆，则发生在轴力最大的横截面上。在一般情况下，杆，则发生在轴力最大的横截面上。在一般情况下，应加以比较后确定。应加以比较后确定。 4.1.4 拉压杆的变形拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形纵向变形；与此同时，垂直于轴线方向的横向尺寸也有所

15、缩小或增大，称为横横向变形向变形图(a，b)。 （1）纵向总变形）纵向总变形 拉、压杆的原长为，在轴向外力F的作用下，长度l变为l1，杆的纵向变形为 ll1l 对于拉杆，l为正值，表示纵向伸长图(a)；对于压杆，l为负值，表示纵向缩短图(b)。（2）纵向线应变）纵向线应变 根据平面假设，杆的各段都是均匀变形的，单位长度的纵向变形为ll 式中的称为纵向线应变。显然，拉伸时0，为拉应变；压缩时0，为压应变。是一个量纲为1的量。（3）胡克定律）胡克定律 大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形l与外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即EAlFlN上式称为胡克定律胡克定律

16、。EAFll 因 ， ，故上式变为ANFll这是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，在弹性限度内，正应力与线应变成正比。正应力与线应变成正比。 E 式中的比例常数式中的比例常数E称为称为弹性模量弹性模量，它与材料的它与材料的力力学性能有关学性能有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。标。E的数值可由试的数值可由试验测定。验测定。E的单位与应力的单位相的单位与应力的单位相同。一些常用材料的同。一些常用材料的E的约值列于的约值列于表表4.1中，以供参考。中，以供参考。EA称为杆的称为杆的拉压刚度拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长，它是单位长度的杆产

17、生单位长度的变形所需的力。度的变形所需的力。表表4.1 常用材料的常用材料的E和和的约值的约值材料名称E/GPa低 碳 钢1962160.240.28中 碳 钢2050.240.2816 锰 钢1962160.250.30合 金 钢1862160.250.30铸 铁591620.230.27混 凝 土15350.160.18石 灰 岩410.160.34木材(顺纹)1012橡 胶0.00780.47（1）横向总变形）横向总变形 设拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1 ，则其横向变形d为dd1d （2）横向线应变）横向线应变dd横向线应变 为（3）泊松比）泊松比 大量的试验表明，当杆的变

18、形为弹性变形时， 横向线应变 与纵向线应变的绝对值之比是一个常数。此比值称为泊松比或横向变形系数，用表示，即对于拉杆，d与 都为负；对于压杆，d与 都为正。 是一个量纲为1的量，其数值随材料而异，也是通过试验测定的。一些常用材料的的约值也列于表4.1中。 考虑到 与的正负号恒相反，可得E利用上式，可由纵向线应变或正应力求横向线应变。反之亦然。 【例【例4.3】 图示木方柱受轴向荷载作用，横截面图示木方柱受轴向荷载作用，横截面边长边长a200mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量E10GPa，杆的，杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。 【解解

19、】 由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为的变形要分别计算。各段柱的轴力为 FNBC100kNFNAB260kN 各段柱的纵向变形为各段柱的纵向变形为mm5 . 0m105 . 0(0.2m)Pa10102mN101003293NEAlFlBCBCBCmm975. 0m10975. 0(0.2m)Pa1010m5 . 1N106023293EAlFlABNABAB各段柱的纵向线应变为各段柱的纵向线应变为41025. 02000mmmm5 . 0BCBCBCll4105 . 61500mmmm975. 0ABABABll全柱的总变形为

20、两段柱的变形之和，即全柱的总变形为两段柱的变形之和，即l=lBC+lAB=0.5mm0.975mm=1.475mm 4.1.5 材料在拉材料在拉( (压压) )时的力学性能时的力学性能 材料的力学性能是材料在外力作用下其强度和变材料的力学性能是材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质形等方面表现出来的性质，它是构件强度计算及材料选用的重要依据。材料的力学性能由试验测定。 本节以工程中广泛使用的低碳钢（含碳量0.25)和铸铁两类材料为例，介绍材料在常温、静载（是指从零缓慢地增加到标定值的荷载）下拉(压)时的力学性能。 （1）低碳钢在拉伸时的力学性能）低碳钢在拉伸时的力学性能 为了便于比较

21、不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标准制成标准试件。金属材料常用的拉伸试件如图所示，中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0，称为标距标距，且l0=10d0或l0=5d0。 试验时将试件的两端装在试验机的夹头中，缓慢平稳地加载直至拉断。 拉力F与试件的伸长量l之间的关系曲线称为拉伸拉伸曲线曲线或F-l曲线曲线。图（a）为Q235钢的拉伸曲线。 图（图（a） 拉伸曲线受试件几何尺寸的影响，不能直接反映材料的力学性能。 为了消除试件尺寸的影响，将拉力F除以试件的原横截面面积A0，得到应力=F/A0作为纵坐标，将标距的伸长量除以标距的原有长度l0，得到应变=l/l0作为横坐标，这样就得到一

22、条应力与应变之间的关系曲线(图b)，称为应力应力- 应变曲线应变曲线或-曲线。曲线。 1）低碳钢拉伸过程的四个阶段）低碳钢拉伸过程的四个阶段 弹性阶段。弹性阶段。 -曲线上OB段为弹性阶段。在此阶段内，如果卸除荷载，则变形能够完全消失。 弹性阶段的应力最高值称为弹性极限弹性极限，用e表示，即B点处的应力值。 在此阶段内，除AB这一小段外，OA段为直线，应力与应变成线性关系，材料服从胡克定律，因此图中直线OA的斜率即为材料的弹性弹性模量模量E，即E=tan。 在-曲线上对应于点A的应力，表示应力与应变成比例关系的最大值，称为比例极限比例极限，用p表示。Q235钢的比例极限p200MPa。 由于比

23、例极限与弹性极限非常接近难以区分，实际应用中常将两者视为相等。 屈服阶段。屈服阶段。 BC段称为屈服阶段屈服阶段。 在此阶段，-曲线沿着锯齿形上下摆动。此时应力基本保持不变而应变却急剧增加，材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动屈服或流动。 在屈服阶段中，对应于曲线最低点的应力称为材料的屈服极限屈服极限，用s表示。Q235钢的屈服极限s=235MPa。 如果试件表面经过磨光，屈服时试件表面会出现一些与试件轴线成45的条纹称为滑移线滑移线。 材料在屈服时产生显著的塑性变形，这是构件材料在屈服时产生显著的塑性变形，这是构件正常工作所不允许的，因此正常工作所不允许的，因此屈服极限屈服极

24、限s是衡量材料强度是衡量材料强度的重要指标。的重要指标。 强化阶段。强化阶段。CD段称为强化阶段强化阶段。 在这一阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续发生变形必须增加外力，这种现象称为材料的强化材料的强化。 这一阶段曲线最高点D所对应的应力值称为所对应的应力值称为强强度极限或抗拉强度度极限或抗拉强度，用，用b表示，表示，Q235钢的强度极限钢的强度极限b400MPa。颈缩阶段。颈缩阶段。 在这一阶段，试件的变形开始集中于某一局部区域内，横截面面积出现局部迅速收缩，这种现象称为颈缩现象。颈缩现象。点击画面点击画面 试件拉断后，弹性应变弹性应变（O3O4）恢复，塑性应变塑性应变 OO3)永

25、远残留。试件工作段的长度由l0伸长到l，断口处的横截面面积由原来的A0缩减到A。 由于局部截面的收缩，试件继续变形所需拉力逐渐减小，直至曲线的E点，试件被拉断。 工程中反映材料塑性性能的两个指标分别为工程中反映材料塑性性能的两个指标分别为延伸率延伸率 ：%10000lll断面收缩率：断面收缩率： %10000AAAQ235钢的延伸率=20%30%，断面收缩率=60%70。 工程中常把工程中常把 的材料称为的材料称为塑性材料塑性材料，如碳，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把钢、黄铜、铝合金等；而把的材料称为的材料称为脆性材脆性材料料，如铸铁、陶瓷、玻璃、混凝土等。，如铸铁、陶瓷、玻璃、混凝土等。%5

26、2） 冷作硬化冷作硬化 在强化阶段任一点G时，逐渐卸除荷载，则应力与应变之间的关系将沿着与OA近乎平行的直线O1G回到O1点，如图所示。 O1O2这部分弹性应变消失，而OO1这部分塑性应变则永远残留。如果卸载后重新加载，则应力与应变曲线将大致沿着O1GDE的曲线变化，直至断裂。 由此可以看出，重新加载后材料的比例极限提由此可以看出，重新加载后材料的比例极限提高了，而断裂后的塑性应变减少了高了，而断裂后的塑性应变减少了OO1。这种在常温。这种在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载再重新加载时，比下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载再重新加载时，比例极限例极限p提高而塑性变形降低的现象称为材料的提高而塑性

27、变形降低的现象称为材料的冷作冷作硬化硬化。 在实际工程中常利用冷作硬化提高材料的强度。在实际工程中常利用冷作硬化提高材料的强度。例如冷拉后的钢筋比例极限提高了，可以节约钢材的用例如冷拉后的钢筋比例极限提高了，可以节约钢材的用量，降低工程造价。但是由于冷作硬化后材料的塑性降量，降低工程造价。但是由于冷作硬化后材料的塑性降低，有些时候则要避免或设法消除冷作硬化。低，有些时候则要避免或设法消除冷作硬化。 图中给出了几种塑性材料的-曲线。 可以看出，除了16Mn钢与低碳钢的-曲线比较相似外，一些材料（如铝合金）没有明显的屈服阶段，但它们的弹性阶段、强化阶段和颈缩阶段则都比较明显；另外一些材料（如MnV

28、钢）则只有弹性阶段和强化阶段而没有屈服阶段和颈缩阶段。 对于没有屈服阶段的塑性材料，国家标准规对于没有屈服阶段的塑性材料，国家标准规定以产生定以产生0.2塑性应变时的应力值作为材料的塑性应变时的应力值作为材料的名义名义屈服极限屈服极限，用，用0.2表示。表示。（2）铸铁等脆性材料在拉伸时的力学性能）铸铁等脆性材料在拉伸时的力学性能 铸铁拉伸时的应力-应变曲线如图所示。由应力-应变曲线可以看出，它没有明显的直线段，应力与应变不成正比关系。在工程计算中通常以产生0.1%的总应变所对应的曲线的割线斜率来表示材料的弹性模量，E=tan。 铸铁在拉伸过程中，没有屈服阶段，也没有颈缩现象。拉断时应变很小，

29、约为0.4%0.5%，是典型的脆性材料。拉断时的应力称为强度极限或抗拉强度，用b表示。强度极限强度极限b是衡量脆性材料强度的唯一指标是衡量脆性材料强度的唯一指标。常用灰铸铁的抗拉强度很低约为120180MPa。 由于铸铁等由于铸铁等脆性材料拉伸的强度极限很低，脆性材料拉伸的强度极限很低，因此不宜用于制作受拉构件。因此不宜用于制作受拉构件。（1）塑性材料在压缩时的力学性能）塑性材料在压缩时的力学性能 金属材料的压缩试件一般采用圆柱形的短试件，试件高度与截面直径的比值为1.53。 低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图所示，同时在图中用虚线表示拉伸时的应力-应变曲线。 由图可以看出，在屈服阶段以前，低碳

30、钢拉伸与压缩的应力-应变曲线基本重合。因此，低碳钢压缩时低碳钢压缩时的弹性模量的弹性模量、屈服极限、屈服极限s都与拉伸试验的结果基本相都与拉伸试验的结果基本相同同。 在屈服阶段后，试件出现了显著的塑性变形，越压越扁，由于上下压板与试件之间的摩擦力约束了试件两端的横向变形，试件被压成鼓形。由于横截面不断增大，要继续产生压缩变形，就要进一步增加压力，因此由=F/A0得出的-曲线呈上翘趋势，故测不出压缩时的强度极限。 低碳钢压缩时的一些性能指标可通过拉伸试低碳钢压缩时的一些性能指标可通过拉伸试验测出，而不必再作压缩试验。一般塑性材料都存验测出，而不必再作压缩试验。一般塑性材料都存在上述情况。但有些塑

31、性材料压缩与拉伸时的屈服在上述情况。但有些塑性材料压缩与拉伸时的屈服极限不同，极限不同，如铬钢、硅合金钢，因此对这些材料还如铬钢、硅合金钢，因此对这些材料还要测定其压缩时的屈服极限。要测定其压缩时的屈服极限。（2）脆性材料在压缩时的力学性能）脆性材料在压缩时的力学性能 1）图示为铸铁压缩时的）图示为铸铁压缩时的应力应力-应变曲线（图中也大应变曲线（图中也大致画出了拉伸时的应力致画出了拉伸时的应力-应应变曲线）。变曲线）。铸铁拉、压时的应力-应变曲线都没有明显的屈服阶段，但压缩时塑性变形较明显。 铸铁的抗压强度抗压强度c远大于抗拉强度b，大约为抗拉强度的45倍。破坏时不同于拉伸时沿横截面，而是沿

32、与轴线约成4555的斜截面破坏，这说明铸铁的压缩破坏是由于超过了材料的抗剪能力而造成的。 2）混凝土是由水泥、石子、）混凝土是由水泥、石子、沙子三种材料用水拌和经过凝固沙子三种材料用水拌和经过凝固硬化后而成的人工石料。硬化后而成的人工石料。图1为混凝土拉、压时的-曲线，由图可知混凝土的抗压强度为抗拉强度的10倍左右。 图1 混凝土压缩时，破坏形式与端部摩擦有关。图2（a）是立方体试块端部未加润滑剂时的破坏情况。图2（b）是立方体试块端部加润滑剂时的破坏情况。两种破坏形式所对应的抗压强度不同 ，后者破坏荷载较小。工程中统一规定采用两端不加润滑剂的试验结果，来确定材料的抗压强度。图2 由于铸铁、混

33、凝土等由于铸铁、混凝土等脆性材料的抗压强度比抗脆性材料的抗压强度比抗拉强度高，宜用于制作承压构件拉强度高，宜用于制作承压构件，如底座、桥墩、基如底座、桥墩、基础等。础等。（1）极限应力）极限应力 通过拉压试验可以测出反映材料强度的两个性能指标，即s和b。 对低碳钢等塑性材料，当应力达到屈服极限s(0.2)时，会产生显著的塑性变形，影响构件正常工作；而对铸铁等脆性材料，当应力达到抗拉强度b或抗压强度c时，会发生断裂，丧失工作能力。 工程中将塑性材料的屈服极限s(0.2)和脆性材料的抗拉强度b（抗压强度c）统称为极限应力极限应力，用0表示。（2）安全因数与许用应力）安全因数与许用应力 构件工作时的

34、最大应力称为最大工作应力最大工作应力。 要求构件内最大工作应力小于极限应力0。 构件内的最大工作应力限制在极限应力范围内还是不够的，这是因为： 计算简图与实际结构之间存在着差异。计算简图与实际结构之间存在着差异。 材料的不均匀性。材料的不均匀性。 荷载值的偏差。荷载值的偏差。 构件需要有必要的强度储备。构件需要有必要的强度储备。 为了保证构件能安全正常地工作，必须将材料的极限应力打一个折扣，除以一个大于1的因数n以后，作为构件最大工作应力所不允许超过的数值，这个应力值称为许用应力许用应力，用表示，即=0/n 对于塑性材料 =s/ns 或或 =0.2/ns 对于脆性材料 =b/nb 或或 =c/

35、nb 式中：ns和nb塑性材料和脆性材料的安全因数安全因数。 安全因数的确定是一件复杂的工作，一般情况安全因数的确定是一件复杂的工作，一般情况下，在工业的各个部门都指定有自己的安全因数规范下，在工业的各个部门都指定有自己的安全因数规范供设计人员查用。如无规范，则对塑性材料一般取供设计人员查用。如无规范，则对塑性材料一般取ns=1.41.7，对脆性材料一般取，对脆性材料一般取nb=2.55。 4.1.6 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算 要保证拉压杆不致因强度不足而破坏，应使杆的最大正应力max不超过材料的许用应力，即 max （a） AFmax Nmax这就是拉压杆的强度条件拉压杆的强度条件。

36、对于等直杆，由于 ，所以强度条件可写为AFmax Nmax （b） 1）强度校核。）强度校核。 已知杆的材料、尺寸和承受的荷载（即已知、A和F），要求校核杆的强度是否足够。此时只要检查式（b）是否成立。 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸。 已知杆的材料、承受的荷载（即已知、F），要求确定横截面面积或尺寸。为此，将式（b）改写为据此可算出必须的横截面面积。根据已知的横截面形状再确定横截面尺寸。 max NFA 当采用工程中规定的标准截面（例如型钢）时，当采用工程中规定的标准截面（例如型钢）时，可能会遇到为了满足强度条件而须选用过大截面的情况。可能会遇到为了满足强度条件而须选用过大截面的情况。为经济

37、起见，此时可以考虑选用小一号的截面，但由此为经济起见，此时可以考虑选用小一号的截面，但由此而引起的杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限而引起的杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限制在制在5%以内，即以内，即 %5%100max 3）确定许用荷载。）确定许用荷载。 已知杆的材料和尺寸（即已知和A），要求确定杆所能承受的最大荷载。为此，将式（b）改写为FNmaxA 先计算出杆所能承受的最大轴力，再由荷载与轴力的关系，计算出杆所能承受的最大荷载。 【例【例4.4】 图（图（a）所示三铰屋架的拉杆采用）所示三铰屋架的拉杆采用16锰圆锰圆钢，直径钢，直径d=20mm。已知材料的许用应力。已知材料

38、的许用应力=200MPa，试校核钢拉杆的强度。试校核钢拉杆的强度。【解解】 1）求支座反力。）求支座反力。取整个屋架为研究对象，利用对称性，得取整个屋架为研究对象，利用对称性，得21FAFB (20m) q (20m) (4kN/m) 40kN 21取半个屋架为研取半个屋架为研究对象。究对象。 2）求拉杆的轴力。求拉杆的轴力。由平衡方程由平衡方程5mm10m10m5 . 31NqFFAM0 (3.5m) FN(10m)q(5m)(10m)FA0得得kN1 .57)m5kN/m4m10kN40m10(3.5m1 钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相同，故杆钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相同，故杆的最

39、大正应力为的最大正应力为182MPaPa10182m10204N1057.14626232NNmaxdFAF 3）求拉杆的最大正应力。）求拉杆的最大正应力。因为因为max182 MPa 200 MPa所以钢拉杆的强度是足够的。所以钢拉杆的强度是足够的。 4）校核拉杆的强度。）校核拉杆的强度。 【例【例4.5】 图（图（a）所示钢桁架的所有各杆都是由）所示钢桁架的所有各杆都是由两个等边角钢组成。已知角钢的材料为两个等边角钢组成。已知角钢的材料为Q235钢，其钢，其许用应力许用应力170 MPa，试为杆，试为杆EH选择所需角钢的选择所需角钢的型号。型号。【解】【解】 1）求支座反力。求支座反力。取

40、整个桁架为研究对象，由对称性，得取整个桁架为研究对象，由对称性，得FA=FB=F=220 kN 假想用截面m m将桁架截开，取左边部分为研究对象图b，由平衡方程MC0 (3m) FNEH(4m)FA0得得FNEH293 kN 2）求杆）求杆EH的轴力。的轴力。 3）计算杆）计算杆EH的横截面积。的横截面积。杆杆EH所需的横截面积为所需的横截面积为 22363Nmm1720m1072. 1Pa10170N10293 EHFA 4）选择等边角钢的型号。）选择等边角钢的型号。 由型钢表查得，厚度为由型钢表查得，厚度为6mm的的7.5号等边角钢的横截号等边角钢的横截面面积为面面积为8.797102mm

41、2879.7mm2，用两个这样的等边，用两个这样的等边角钢组成的杆的横截面面积为角钢组成的杆的横截面面积为879.7mm221759.4mm2，稍大于稍大于1720mm2。因此，选用。因此，选用 756。 型钢是工程中常用的标准截面（见附录一）。型钢是工程中常用的标准截面（见附录一）。等边角钢是型钢的一种。它的型号用边长的厘米数表等边角钢是型钢的一种。它的型号用边长的厘米数表示，在设计图上则常用边长和厚度的毫米数来表示。示，在设计图上则常用边长和厚度的毫米数来表示。例如符号例如符号 807表示表示8号角钢，其边长为号角钢，其边长为80mm，厚度为厚度为7mm。 【例【例4.6】 如图如图(a)

42、所示三角形托架，所示三角形托架，AB为钢杆，其为钢杆，其横截面面积为横截面面积为A400mm2，许用应力，许用应力170MPa；BC为木杆，其横截面面积为为木杆，其横截面面积为A10000 mm2，许用压应，许用压应力为力为10 MPa。求荷载。求荷载F的最大值的最大值Fmax。 【解】【解】 1）求两杆的轴力与荷）求两杆的轴力与荷载的关系。载的关系。 取结点取结点B为研究对象为研究对象图图(b)，由平衡方程由平衡方程N2sin30oFFFF2sin300N2X FN2cos300FN1得得 得得 FN1FN2cos300 F（拉）（拉）3 2）计算许用荷载。）计算许用荷载。AB杆的许用轴力为

43、杆的许用轴力为FN1 FA13所以对于所以对于AB杆，许用荷载为杆，许用荷载为 kN3 .39N39300 3Pa10170m1040036261 AF同样，对于同样，对于BC杆，许用轴力为杆，许用轴力为FN2FA2c 许用荷载为许用荷载为 kN50N50000 2Pa1010m1010000262-6c2AF为了保证两杆都能安全地工作，荷载为了保证两杆都能安全地工作，荷载F的最大值为的最大值为Fmax39.3 kN 【例【例4.7】 图图(a)表示一等直杆，表示一等直杆，其顶部受轴向荷载其顶部受轴向荷载F的作用。已知的作用。已知杆的长度为杆的长度为l，横截面面积为，横截面面积为A，材，材料的

44、容重为料的容重为 ，许用应力为，许用应力为，试，试写出考虑杆自重时的强度条件（杆写出考虑杆自重时的强度条件（杆的自重可看作沿轴线均匀分布的荷的自重可看作沿轴线均匀分布的荷载）。载）。 【解】【解】 应用截面法应用截面法图图(b)，杆的任一横截面，杆的任一横截面m m上的轴力为上的轴力为)()(NAxFxF 负号表示轴力为压力。由负号表示轴力为压力。由此作出杆的轴力图如图此作出杆的轴力图如图(c)所示。根部横截面上的轴所示。根部横截面上的轴力最大，其值为力最大，其值为由拉压杆的强度条件，得由拉压杆的强度条件，得 lAFFAmax Nmax lAF 或或 FFNmax Al(压压 ) 由此例可知，

45、当考虑杆的自重时，相当于材料由此例可知，当考虑杆的自重时，相当于材料的许用应力减小了的许用应力减小了 l。若。若 ，则自重对杆的影响，则自重对杆的影响很小，可以忽略；若很小，可以忽略；若 有一定数量的值，则自重有一定数量的值，则自重对强度的影响应加以考虑。例如，有一长对强度的影响应加以考虑。例如，有一长l10m的的等直钢杆，钢的容重等直钢杆，钢的容重 76440N/m3，许用应力，许用应力170MPa，则，则 0.45%1；若有同样长度的砖柱，；若有同样长度的砖柱，砖的容重砖的容重 17640N/m3，许用应力，许用应力1.2MPa，而，而 15%。1 l l l l 因此一般地，金属材料制成

46、的拉压杆在强度计因此一般地，金属材料制成的拉压杆在强度计算中可以不考虑自重的影响（有些很长的杆件，如算中可以不考虑自重的影响（有些很长的杆件，如起重机的吊缆、钻探机的钻杆等除外）；但对砖、起重机的吊缆、钻探机的钻杆等除外）；但对砖、石、混凝土制成的柱（压杆），石、混凝土制成的柱（压杆），在强度计算中应该在强度计算中应该考虑自重的影响。考虑自重的影响。 当考虑杆的自重时，如果按杆根部横截面上当考虑杆的自重时，如果按杆根部横截面上的正应力的正应力max来设计截面，把杆制成等直杆，那么来设计截面，把杆制成等直杆，那么只有根部横截面上的应力达到材料的许用应力只有根部横截面上的应力达到材料的许用应力，其

47、他横截面上的应力都比其他横截面上的应力都比小，显然造成了材料的小，显然造成了材料的浪费。浪费。 4.2.1 工程实例和计算简图工程实例和计算简图工程中承受扭转的杆件：工程中承受扭转的杆件：汽车方向盘的操纵杆图汽车方向盘的操纵杆图(a)(a)机器中的传动轴图机器中的传动轴图(b)钻机的钻杆图钻机的钻杆图(c)(c)(b)房屋中的雨篷梁和边梁图房屋中的雨篷梁和边梁图(d，e)(d) 工程中常把以扭转为主要变形的杆件称为工程中常把以扭转为主要变形的杆件称为轴轴。本书主要研究本书主要研究圆轴圆轴的扭转。的扭转。 扭转杆件的受力特点扭转杆件的受力特点：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆轴线的力偶的作用，两

48、力偶大小相等、转向相反。 扭转杆件变形特点扭转杆件变形特点：杆件任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动，两横截面之间的相对角位移称为扭扭转角转角，用表示。受扭轴的计算简图受扭轴的计算简图4.2.2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 工程中作用于轴上的外力偶矩一般不直接给出，而是由轴的转速和轴所传递的功率进行计算。 若轴的转速为n（单位为rmin），轴的功率为P（单位为kW），则外力偶矩外力偶矩为式中：Me轴上某处的外力偶矩，单位为Nm； P轴上某处输入或输出的功率，单位为kW； n轴的转速，单位为r/min。 nPM9549e 由于左端有外力偶作用，为使其保持平衡，mm截面上必存在一个内力偶矩。它是截面上

49、分布内力的合力偶矩，称为，用T来表示。 TMe=0 得 TMe 若取右段右段为研究对象，也可得到相同的结果，但扭矩的转向相反。TMe 为了使同一截面上扭矩不仅数值相等，而且符号为了使同一截面上扭矩不仅数值相等，而且符号相同，对扭矩相同，对扭矩T的正负号作如下规定：的正负号作如下规定： 使右手四指的握向与扭矩的转向一致，若拇指指向截面外法线，则扭矩T为正，反之为负。 为了直观地表示出轴的各个截面上扭矩的变化规律，与轴力图一样用平行于轴线的横坐标表示各横截面的位置，垂直于轴线的纵坐标表示各横截面上扭矩的数值，选择适当的比例尺，将扭矩随截面位置的变化规律绘制成图，称为扭矩图扭矩图。 在扭矩图中，把正

50、扭矩画在横坐标轴的上方，负扭矩画在下方。 【例【例4.8】已知传动轴的转速】已知传动轴的转速n300rmin，主，主动轮动轮A的输入功率的输入功率PA29kW，从动轮，从动轮B、C、D的输出的输出功率分别为功率分别为PB7 kW，PCPD11kW。试绘制该轴。试绘制该轴的扭矩图。的扭矩图。【解】解】 1) 计算外力偶矩。计算外力偶矩。轴上的外力偶矩为轴上的外力偶矩为mN923r/min300kW2995499545enPMAAmN223r/min300kW795499549enPMBBmN350r/min300kW1195499549eenPMMCDC 2) 计算各段轴内横截面上的扭矩。计算各

51、段轴内横截面上的扭矩。0e1BMT 得得 mN223e1BMTT1为负值为负值，表示假设的扭矩方向与实际方向相反，表示假设的扭矩方向与实际方向相反。0ee2BCMMT 得得mN573(ee2)MMTBC0e3DMT得得 mN350e3DMT 3) 绘制扭矩图。绘制扭矩图。最大扭矩发生在最大扭矩发生在CA段轴的各个截面上，其值为段轴的各个截面上，其值为|Tmax| =573Nm。4.2.3 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算 图（图（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线，形成矩形网格。扭转变形后线和圆周线，形成矩形网格。扭转变

52、形后图（图（b），在弹性范围内，可以观察到以下现象：在弹性范围内，可以观察到以下现象： 1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形网格变成了平行四边形。网格变成了平行四边形。 2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转动了不同的角度。但它们都绕轴线转动了不同的角度。根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断：根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断： 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截可以假设圆轴的横截面

53、在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的轴扭转时的平面假设平面假设。 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。有正应力。 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对转动，故可推断横截面上必有切应力截面发生了相对转动，故可推断横截面上必有切应力，且切应力的方向垂直于半径。，且切应力的方向垂直于半径。 由于各纵向线都倾斜了一个由于各纵向线都倾斜了一个 角度角度 ，故各矩形，故各矩形网格的直角都改变了网

54、格的直角都改变了 角，直角的改变量称为角，直角的改变量称为切应变切应变。切应变切应变 是切应力是切应力引起的。引起的。 （1）切应力的计算公式）切应力的计算公式 圆轴扭转时横截面上的切应力的计算公式为（推导从略）pIT式中：T横截面上的扭矩，以绝对 值代入； 横截面上欲求应力的点处 到圆心的距离；Ip横截面对圆心的极惯性矩。 切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，切应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致。pmaxITR 由切应力的计算公式可知，当 =R时，切应力最大，最大切应力为（2）最大切应力）最大切应力则有pmaxWT式中：Wp扭转截面系数扭转截面系数，单位为mm3或m3。 扭转时横截

55、面上切应力的计算公式只适用于圆扭转时横截面上切应力的计算公式只适用于圆轴。轴。 令 RIWpp （3）极惯性矩和扭转截面系数的计算）极惯性矩和扭转截面系数的计算 极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp是只与横截面形状、尺寸有关的几何量。 直径为D的圆截面和外径为D、内径为d的圆环形截面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数分别为圆截面： 16323p4pDWDI圆环形截面： 43p44p116132DWDIDd式中： 内、外径的比值。 【例【例4.9】 空心圆轴的横截面外径空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径，内径d=85mm，横截面上的扭矩，横截面上的扭矩T=1.5kNm。求横截面上。求横截面上内外

56、边缘处的切应力，并绘制横截面上切应力的分内外边缘处的切应力，并绘制横截面上切应力的分布图。布图。【解】【解】 1）计算极惯性矩。极惯性矩为）计算极惯性矩。极惯性矩为 4644444pmm1032. 1mm)8090(32)(32dDI 2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为48.3MPaPa103 .48Pa101032. 110285105 . 12612633pA内dIT51.1PaPa101 .51Pa101032. 110290105 . 12612633p外DITB横截面上切应力的分布如图所示。横截面上切应力的分布如图所示。 为使圆轴扭转时能正

57、常工作，必须要求轴内的最大切应力max不超过材料的许用切应力，若用Tmax表示危险截面上的扭矩，则圆轴扭转时的强度条件则圆轴扭转时的强度条件为为 pmaxmaxWT式中：材料的许用切应力，通过试验测得。 它与许用拉应力之间有如下关系：塑性材料： =（0.50.6）脆性材料： =（0.81.0） 利用强度条件可以对圆轴进行强度校核、设计截利用强度条件可以对圆轴进行强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载等三类强度计算问题。面尺寸和确定许用荷载等三类强度计算问题。 【例【例4.10】 如图（如图（a）所示的空心圆轴，外径）所示的空心圆轴，外径D=100mm ,内径内径d=80mm，外力偶矩，外力偶矩M

58、e1 =6kN m 、Me2 =4kNm 。材料的许用切应力。材料的许用切应力=50MPa ，试进，试进行强度校核。行强度校核。 【解】【解】 1）求危险截面上的扭矩。绘出轴的扭矩）求危险截面上的扭矩。绘出轴的扭矩图如图（图如图（b）所示，）所示，BC段各横截面为危险截面，其上段各横截面为危险截面，其上的扭矩为的扭矩为 Tmax =4kNm 2）校核轴的扭转强度。截面的扭转截面系数为）校核轴的扭转强度。截面的扭转截面系数为34343pm1016. 1m)8 . 01 (1 . 016W轴的最大切应力为轴的最大切应力为Pa105 .34m1016. 1mN1046343pmaxmaxWT=34.

59、5MPaWz2。显然，竖置比横置合理。 由于梁横截面上的正应力沿截面高度线性分布，由于梁横截面上的正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近应力很小，该处材料远未发挥作用，若将中性轴附近应力很小，该处材料远未发挥作用，若将这些材料移置到离中性轴较远处，可使它们得到充分这些材料移置到离中性轴较远处，可使它们得到充分利用，形成合理截面。因此，工程中常采用工字形、利用，形成合理截面。因此，工程中常采用工字形、箱形截面。箱形截面。 在讨论合理截面时，还应考虑材料的力学性能。在讨论合理截面时，还应考虑材料的力学性能。对于抗压强度大于抗拉强度的脆性材料，如果采用对对于抗压强度大于抗拉强度的脆性材料，如果采用对称

60、于中性轴的横截面，则由于弯曲拉应力达到材料的称于中性轴的横截面，则由于弯曲拉应力达到材料的许用拉应力许用拉应力 t时，弯曲压应力没有达到许用压应力时，弯曲压应力没有达到许用压应力 c，受压一侧的材料没有充分利用。，受压一侧的材料没有充分利用。 因此，应采用不对称于中性轴的横截面图(a)，并使中性轴偏向受拉的一侧，如图(b)所示。tc21yy理想的情况是满足下式: （3）采用变截面梁）采用变截面梁 对于等截面梁，当梁危险截面上危险点处的应力值达到材料的许用应力时，其他截面的应力值均小于许用应力，材料没有充分利用。为提高材料的利用率、提高梁的强度，可以设计成各截面应力值均同时达到许用应力值，这种梁