概率论与数理统计(第4版) ：7-5 正态总体均值与方差的区间估计

1、第五节第五节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的区间估计区间估计一、单个总体的情况一、单个总体的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况三、小结三、小结一、单个总体一、单个总体 的情况的情况),(2 N ,)1(2为已知为已知 由上节例由上节例1 1可知可知: : 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .2/ znX 的置信区间的置信区间均值均值 1.,1 设给定置信水平为设给定置信水平为 , 21nXXX并设并设,),(2的样本的样本为总体为总体 N分别是样本均值和分别是样本均值和2,SX.样本方差样本方差 ,)2(2为未知为未知 2SS 可用可用的置信区间的置信区

2、间的置信度为的置信度为 1 .)1(2/ ntnSX 推导过程如下推导过程如下: : , 2/ 中含有未知参数中含有未知参数由于区间由于区间 znX ,不能直接使用此区间不能直接使用此区间 , 22的无偏估计的无偏估计是是但因为但因为 S , 替换替换 )1()1(2/2/ntnSXntnSXP 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 ),1(/ ntnSX )1(/)1(2/2/ntnSXntP 又根据第六章定理三知又根据第六章定理三知则则即即 ,1 ,1 .)1(2/ ntnSX 解解)15(025. 0t . 0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 ,131

3、5. 2 例例1 有一大批糖果有一大批糖果, 现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称得重量称得重量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值试求总体均值 1 0.95, 1 n,15 2 025. 0 ,2022. 6 计算得计算得x,75.503 s 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%.即即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在50

4、0.4克与克与507.1 克之间克之间, , 的近似值的近似值为为若依此区间内任一值作若依此区间内任一值作 其误差不大于其误差不大于这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%. 21315. 2162022. 6 ).( 61. 6克克的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得5%9 解解 0.025,2 : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s计算得计算得)15(2975. 0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间).60. 9,58. 4(续例续例) 求补充求补充1中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为 ,488.2

5、7,262. 6例例2,151 n 0.975,21 0.95的置信区间的置信区间. 附表附表2-1附表附表2-2推导过程如下推导过程如下: : 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn . 未知的情况未知的情况只介绍只介绍 2的置信区间的置信区间方差方差 2. ,根据实际需要根据实际需要 , 22的无偏估计的无偏估计是是因为因为 S),1()1(222 nSn 根据第六章第二节定理二知根据第六章第二节定理二知 )1()1()1(22/2222/1nSnnP )1()1()1()1(22/12222/2nSnnSnP

6、则则即即 ,1 ,1 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 1 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为标准差标准差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn 进一步可得进一步可得: :在密度函数不对称时在密度函数不对称时, , , 2分布分布分布和分布和如如F 注意注意: :习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间( (如图如图).).体的样本方差体的样本方差二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN ,1 设给定置信水平为设给

7、定置信水平为1, 21nXXX并设并设,),(211的样本的样本为第一个总体为第一个总体 N为第为第2,21nYYY ,),(222的样本的样本二个总体二个总体 N分别是第一、二分别是第一、二YX, ,个总体的样本均值个总体的样本均值分别是第一、二个总分别是第一、二个总2221, SS 21的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 1.均为已知均为已知和和2221)1( 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .2221212/ nnzYX , , , 21的无偏估计的无偏估计分别是分别是因为因为 YX , 21的无偏估计的无偏估计是是 YX推导过程如下推导过程如下:

8、所以所以的独立性及的独立性及由由 , YX,1211 nNX ,2222 nNY ,22212121 nnNYX ,1, 022212121NnnYX 可知可知或或 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 .2221212/ nnzYX , )50(21则有则有即可即可实际上实际上都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的近似置信区间的近似置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .2221212/ nSnSzYX ,2221均为未知均为未知和和 (2),)3(22221 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 , 2为未知为未知但但 .11)2(2

9、1212/ nnSnntYXw 其中其中2wS,2)1()1(21222211 nnSnSnwS.2wS 例例3为比较为比较, 两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度, ,),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s标准差标准差随机地取随机地取得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s标准差标准差假设两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们的方差 .950 21的置的置的置信度为的置信度为 信区间信区间.随机地取随机地取型子弹型子弹10发发, 得到枪口速度的平均值为得到枪口

10、速度的平均值为型子弹型子弹20发发,地服从正态分布地服从正态分布,相等相等, 求两总体均值差求两总体均值差解解两总体样本是相互独立的两总体样本是相互独立的.由题意由题意,但数值未知但数值未知,又因为假设两总体的方差相等，又因为假设两总体的方差相等，)28(025. 0t.048. 2 1 0.95, 2 ,025. 0 由于由于1n,10 2n,20 221 nn,28 ,28)20. 11910. 19(22 ,1688. 12 wsws2wS .950 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为故所求的两总体均值差故所求的两总体均值差21 201101)28(025. 021tSxx

11、w),93. 04( ).93. 4,07. 3( 即即例例4试图采用试图采用为提高某一化学生产过程的得率为提高某一化学生产过程的得率,一种新的催化剂一种新的催化剂, 为慎重起见为慎重起见, 在试验工厂先进行在试验工厂先进行试验试验.,81次试验次试验行了行了设采用原来的催化剂进设采用原来的催化剂进 n.73.911 x得到得率的平均值得到得率的平均值,89. 321 s样本方差样本方差次试验，次试验，又采用新的催化剂进行又采用新的催化剂进行82 n,75.932 x的平均值的平均值得到得率得到得率,02. 422 s样本方差样本方差假设两假设两总体都可认为近似地服从正态分布总体都可认为近似地

12、服从正态分布, 且方差相等且方差相等,的置信的置信的置信水平为的置信水平为求两总体均值差求两总体均值差95. 021 .区间区间解解因为因为 2ws2)1()1(21222211 nnSnSn ,3.96 .950 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得 8181)14(025. 021tsxxw, )13. 202. 2( ).11. 0,15. 4( 所求置信区间为所求置信区间为即即 . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 2.22212221 SS ),1, 1(21 nnF

13、由第六章第三节定理四由第六章第三节定理四 .)1, 1(21不依赖任何未知参数不依赖任何未知参数并且分布并且分布 nnF为枢轴量得为枢轴量得取取22212221 SS )1, 1()1, 1(212/22222121212/1nnFSSnnFP ,1 即即 )1, 1(1)1, 1(1212/122212221212/2221nnFSSnnFSSP ,1 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 例例5设两样本相互独设两样本相互独; )mm(34. 0221 s为为).mm

14、(29. 0 222 s测得样本方差测得样本方差研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径生产的钢管内径, 随机抽取机器随机抽取机器 A 生产的管子生产的管子 18 只只, 测得样本方差测得样本方差抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子 13 只只,区间区间. .且设由机器且设由机器A和机器和机器B生产的钢管内径分别生产的钢管内径分别服服),(),(222211 NN从正态分布从正态分布)2 , 1(,2 iii 的置信的置信的置信度为的置信度为求方差比求方差比90. 02221 立立,均未知均未知,解解 1n 2n),mm(34. 02),mm(29. 02)1, 1(212

15、/ nnF )12,17(05. 0F ,59. 2)12,17(95. 0F,38. 21)12,17(2/1 F )17,12(105. 0F ,18 21 s,13 22 s,10. 0 .900 2221的置信区间为的置信区间为的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 补充例题补充例题 )1(的置信区间的置信区间单个总体均值单个总体均值 ,2为已知为已知 .2/ znX ,2为未知为未知 .)1(2/ ntnSX )2(2的置信区间的置信区间单个总体方差单个总体方差 .)1()1(,)1()1(

16、22/1222/2 nSnnSn 三、小结三、小结 )3(21的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,2221均为已知均为已知和和 .2221212/ nnzYX ,2221均为未知均为未知和和 .2221212/ nSnSzYX , ,222221为未知为未知但但 .11)2(21212/ nnSnntYXw )4(2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 , 21为未知为未知总体均值总体均值 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS附表附表2-12-1=0.250.100.050.0250.010.00512345

17、6789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.378

18、9.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表27.488返回返回附表附表2-22-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.70