第四讲关于线性拟合法的进一步讨论

1、关于线性拟合法的进一步讨论有扰动项l一、建立模型l一元线性回归：l残差项或称随机扰动项二、估计参数二、估计参数l用最小二乘法进行参数估计，得到的估计表达式为：三、进行检验l标准误差标准误差：估计值与应变量值间的平均平方误差。三、进行检验l可决系数可决系数:衡量自变量与因变量关系密切程度的指标，表示自变量解释了因变量变动的百分比。可见，可决系数取值于0与1之间，并取决于回归模型所解释的Y方差的百分比。三、进行检验l相关系数相关系数l由公式可见，可决系数是相关系数的平方。相关系数越接近+1或-1，因变量与自变量的拟合程度就越好。三、进行检验l相关系数与可决系数的主要区别：l相关系数测定变量之间的密

2、切程度，可决系数测定自变量对因变量的解释程度。相关系数有正负，可决系数只有正号。l正相关系数意味着因变量与自变量以相同的方向增减。l如果直线从左至右上升，则相关系数为正l如果直线从左至右下降，则相关系数为负三、进行检验l回归系数显著性检验回归系数显著性检验l检验回归系数检验回归系数b在显著性水平在显著性水平上是否为零，进而判断上是否为零，进而判断自变量的变化能否解释因变量的变化自变量的变化能否解释因变量的变化三、进行检验l回归模型的显著性检验回归模型的显著性检验三、进行检验l德宾德宾沃森统计量（沃森统计量（DW）三、进行检验l检验法则：l在DW小于等于2时，DW检验法则规定：l在DW大于2时,

3、 DW检验法则规定:四、进行预测l小样本情况下,近似的置信区间的常用公式为：例题分析l已知身高与体重的资料如下表：l试计算：l（1）拟合适当的回归方程；l（2）判断拟合优度情况；l（3）对模型进行显著性检验；（=0.05）l（4）当体重为75公斤时，求其身高平均值的95%的置信区间。身高（米）1.55 1.60 1.65 1.67 1.7 1.75 1.80 1.82体重（公斤）5052575660656270例题分析l解答：（1）n=8，经计算得：因此：例题分析l因此，建立的一元线性回归方程为：l回归直线的拟合优度不是很理想。例题分析认为所建立的线性回归模型是显著的。例题分析预测思路一、模型

4、的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征l1. 线性曲线线性曲线l特征：l若增长曲线为一次曲线，则其一阶差分为常数。若增长曲线为一次曲线，则其一阶差分为常数。l适用于时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。一、模型的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征l2.多项式非线性曲线多项式非线性曲线l特征：l若增长曲线为二次抛物线，则其二阶差分为常若增长曲线为二次抛物线，则其二阶差分为常数。数。适用于时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由高到低适用于时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由高到低再到高（或由低到高再到低）趋势变化再到高（或由低到高再到低）趋势变化一、模型的基本类型和特征一、模型的基本

5、类型和特征l3. 简单指数曲线简单指数曲线若对象增长速度越来越快，其趋势近似指数函数曲线，且判断他在预测期若对象增长速度越来越快，其趋势近似指数函数曲线，且判断他在预测期限内不会出现突然变化，可考虑采用。限内不会出现突然变化，可考虑采用。一、模型的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征l4. 修正指数型增长曲线修正指数型增长曲线l描述对象在发展的初期和中期增长速度较快，随后增长速度逐渐下降，其图形接近于渐近线。其中k为饱和值。一、模型的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征y=k是一、模型的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征l5. 双指数曲线模型双指数曲线模型一、模型的基本类型和特征一、模

6、型的基本类型和特征l6. 龚帕兹（龚帕兹（Compertz）模型）模型一、模型的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征一、模型的基本类型和特征l7. 逻辑（逻辑（Logistic）增长型曲线模型）增长型曲线模型l企业集团形l成发展行为，l技术创新扩l散的基本规l律，手机普l及率等。二、模型识别二、模型识别l绘制坐标数据点，观察、选择模型。l 选择样本序列的变化规律与增长曲线的变化规律在理论上最接近的一种曲线。三、参数估计三、参数估计l1. 对于线性模型，用最小二乘法处理。l2. 一些非线性模型，可化为线性模型处理。l3. 其他类型，有一些特殊方法处理。线性化方法l简单指

7、数曲线、双指数曲线等等，可化为线性曲线，从而应用拟合曲线法拟合。线性化方法线性化方法l以上求解方法称为对数趋势法（又称指数趋势法）。它是指时间序列观察值的长期趋势呈指数曲线变化时，运用观察值的对数与最小二乘法原理求得预测模型的方法。l对数趋势法用于时间序列数据按指数曲线规律增减变化的场合。二次曲线趋势外推法二次曲线趋势外推法l假设曲线趋势外推预测模型为二次曲线趋势外推法二次曲线趋势外推法l选取参数的准则：选取参数的准则：使离差的平方和最小。l对三个参量求偏导，令其为0，可得方程组二次曲线趋势外推法二次曲线趋势外推法l若采用正负对称编号法需计算l可求出参数算例l例例：某公司19952003年的商

8、品销售收入如下表所示，试预测该公司2004年的销售收入为多少万元？解：解：1）绘制散点图。（采用正负对称编号法）算例l2）根据散点图确定其变化趋势（二次曲线），计算所需数据。l3）计算待定参数，建立预测模型，并计算预测值。l（三元非齐线性方程组）算例l二次曲线的趋势外推预测模型为：算例其他一些模型的处理其他一些模型的处理l双指数曲线模型双指数曲线模型l取对数，可化为二次曲线模型修正指数型增长曲线可化为简单指数曲线其他一些模型的处理其他一些模型的处理l龚帕兹（龚帕兹（B.Gompertz）模型）模型l三和法l取对数，可化为修正指数型增长曲线。l逻辑（逻辑（Logistic）增长型曲线模型）增长型

9、曲线模型l取倒数，亦可化为线性曲线。l三点法三点法l假设曲线通过增长曲线的始点、中间点和终点，带入曲线方程，得方程组，求出其三个参数值。l缺点：只用了三个值，一部分信息，难免有误差。三和法l三和法又称三段和值法：l确定待定参数的思路是，在二次曲线模型上选取远、中、近期三点坐标作为预测模型待定参数a 、b、c的估计值。其具体作法为，使时间序列的总项数n为奇数（若为偶数，可删去最初的一个观察期数据）；如果n15时，则在时间序列的远、中、近三期各取5个数据项，用权数w=1，2，3，4，5由远及近分别赋权并进行加权平均；同理，如果9n 15时，则在时间序列的远、中、近三期各取3个数据项，用权数w=1，

10、2，3由远及近分别赋权并进行加权平均。 关于三点（和）法的几点说明l三点法的特点是不需要数列的全部数据，计算相对而言比较简单。l对选取的数据比较敏感，即便是取加权平均值，也会受到一定的影响。l一般而言，每一组里的数据相对较多时，则模型可能越接近于实际。l每一组的里数据要求是奇数，是从方便计算的角度而言的。三和法解龚帕兹模型三和法解龚帕兹模型l将整个序列分成三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和以估计参数。l设数据来自Gompertz模型，即三和法解龚帕兹模型三和法解龚帕兹模型l得方程组l求解上述方程组，可得k, a, b.三和法解龚帕兹模型三和法解龚帕兹模型l解得参数l由 推导得练习

11、l某企业的产品销售额，实绩有如下记录。假定数据满足Gomperzt模型，用三和法估计参数。三和法解二次曲线 l假设远、中、近三期的坐标分别为；l时间序列总项数为奇数，且中间项为d = ，则当15时，取远期5个观察值，其加权平均值为：lR= lS=lT= 112233( , ),( , ),( , )M t R Mt SM t T12n12,y y345,yyy， 1234523451 2345yyyyy 211223451 2345dddddyyyyy 4321234512345nnnnnyyyyy 三和法解二次曲线l注意：11 12 23 34 45 511123453x 2(2)2(1)3

12、4(1)5(2)21 23453dddddxd 12nd2376nx3(4)2(3)3(2)4(1)54123453nnnnnxn三和法解二次曲线将以上三点代入二次曲线预测模型中，有联立方程组：联立求解，则有： 2tttyabxcx2221111()333737()663434()33RabcnnSabcnnTabc2111213937532(2 )(5)aRbcTRnbcnRTScn三和法解二次曲线l依此类推，如果是用三项数进行加权平均，且权数由远及近取1，2，3，那么，联立求解，则有 27493935332(2 )(3)aRbcTRnbcnRTScn例题l例：例：某公司19952003年的

13、商品销售收入如表所示，试按三点法预测该公司2004年销售收入为多少万元？l某公司19952003年商品销售收入数据表 (单位：万元)l解：l描绘散点图。观察其变化趋势，选择二次抛物线预测模型。l列表计算待定参数所需数据，建立数学模型并进行预测。年份199519961997199819992000200120022003销售收入54564176492311071322156818362140例题txtywtwyty 2)(ttyy 权重年份199515451545549.6821.901996264121282647.4441.471997376432292774.34106.921998492

14、31923930.3854.46199951107222141115.5673.27200061322339661329.8862.09200171568115681573.3428.52200281836236721845.9498.80200392140364202147.6858.98546.41销售收入例题l推得：l用三点法建立的二次曲线预测模型为：545 12822292686.56923221439661183.86S1568367264201943.36TR = 22 (686.5 1943.32 1183.8)14.57(93)c 1943.3686.53 9514.5754.05933749