人教版 选修4-5 第5讲-绝对值三角不等式

1、课前热身：课前热身：._2y, 0. 12的最小值是则设xxx3._)20)(2(. 224的最大值为函数xxxy32/27.)1 (, 10.32的最大值求函数已知xxyx923答案：高中新课程数学选修高中新课程数学选修4-54-5a b ab a b ab 1.1.绝对值三角不等式绝对值三角不等式.|4|3|2-1的取值范围空集，求的解集为的不等式若关于变式aaxxx答案：答案：a1.a1.例例 1 1 已已 知知 0 0 , , | | x x - - a a | | , , | | y y - - b b | | , , 求求 | | 2 2 x x + + 3 3 y y - - 2

2、 2 a a - - 3 3 b b | | 5 5 证证: :变式变式1-1典例分析典例分析推论推论1 1 如果如果a a、b b、c c是实数是实数, , 那么那么 |a-c|a-c|a-b|+|b-c|a-b|+|b-c| | 当且仅当当且仅当(a-b)(b-c(a-b)(b-c) ) 0 0时时, ,等号成立等号成立. .推论推论2 2 如果如果a a、b b是实数是实数, , 那么那么 |a|-|b|a|-|b|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b| | 当且仅当当且仅当abab 0 0时时, ,等号成立等号成立. .当且仅当当且仅当abab 0 0时时, ,等号成立等号成立. .

3、2.2.绝对值三角不等式的绝对值三角不等式的3 3个推论个推论推论推论3 3 如果如果a a、b b是实数是实数, , 那么那么 |a|-|b|a|-|b|a-b|a-b|a|+|b|a|+|b| | .| 1|3|2的最大值和最小值求函数例xxy. aRxa|3-x| - |4-x|1-2的取值范围求恒成立，对一切若不等式变式答案：答案：-4y-4y44. .答案：答案：a a11. .|)., 0(,|2|0 ,2|2-2abxyMyabyMax求证：已知变式典例分析典例分析 yxDyxCyxBmymx. 2. 2. y-xA.) (,:的的是是下下列列不不等等式式中中一一定定成成立立若若

4、例例B,0,22mxaybam ymxyabm练习：1、设求证：:12, , ,)A BD1,1,2A2B2C2DAxamxamxymx y a mRCabababababababababa补充练习、“且”是“”（的、充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件 、既不充分也不必要条件2、设则与 的大小关系是、 、 、不可能比较大小3、如果a,b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是、B(0)C+D2bababab abbaababab 、2、 、:4ab ,( )A.mn B.mn C.mn D.mnababmnm nabab补充练习、已知则之间的大小关系是D25,coscoscoscos,(,

5、 ),2(coscos )( )A.cosx-cosy B. cosxcos .coscos . coscosx yxyxyxxyyCyxDyx、如果实数满足且则可写成D2612.mabxmabxx、设 等于、 和 中最大的一个，当时，求证： 例例3 3 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c，当，当| |x x|1|1时，总有时，总有 | |f f( (x x)|1,)|1,求证：求证：| |f f（2 2）|7.|7. 典例分析典例分析例例4 4 已知二次函数已知二次函数f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +b b( (a a，b bR

6、R）的）的定义域为定义域为-1-1，1 1，且，且| |f f( (x x)|)|的最大值为的最大值为M M. .(1)(1)证明证明： |1+|1+b b|M M; ;(3)(3)当当 时，试求出时，试求出f f（x x）的解析式）的解析式. .;21:)2(M证明21M典例分析典例分析（1 1）证明证明 M M|f f（-1-1）|=|1-|=|1-a a+ +b b| |，M M|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+ +b b| |，2 2M M|1-|1-a a+ +b b|+|1+|+|1+a a+ +b b| |（1-1-a a+ +b b）+ +（1+1+a a+ +b

7、b）|=2|1+|=2|1+b b| |，M M|1+|1+b b|.|.（2 2）证明证明 依题意，依题意，M M|f f（-1-1）| |，M M|f f（0 0）| |，M M|f f（1 1）| |，又又f f（-1-1）=|1-=|1-a a+ +b b| |，| |f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+ +b b| |，| |f f（0 0）|=|=|b b| |，4 4M M|f f（-1-1）|+2|+2|f f（0 0）|+|+|f f（1 1）| |=|1-=|1-a a+ +b b|+2|+2|b b|+|1+|+|1+a a+ +b b| |（1-1-a a+ +

8、b b）-2-2b b+ +（1+1+a a+ +b b）|=2|=2，.21M（3 3）解解,21| )0(| ,21bfM时当.21)(, 01001,21,212123211212112121212xxfaaabbbbabab因此得分别代入时当得由得同理 例例3 3 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c，当，当| |x x|1|1时，总有时，总有 | |f f( (x x)|1,)|1,求证：求证：| |f f（2 2）|7.|7. 证明证明 方法一方法一 当当| |x x|1|1时时,|,|f f（x x）|1|1， | |f f（0 0）|1|1，即

9、，即| |c c|1.|1. 又又| |f f（1 1）|1|1，| |f f（-1-1）|1|1， | |a a+ +b b+ +c c|1|1，| |a a- -b b+ +c c|1.|1. 又又| |a a+ +b b+ +c c|+|+|a a- -b b+ +c c|+2|+2|c c| | | |a a+ +b b+ +c c+ +a a- -b b+ +c c-2-2c c|=|2|=|2a a| |， 且且| |a a+ +b b+ +c c|+|+|a a- -b b+ +c c|+2|+2|c c|4|4， | |a a|2.|2.典例分析典例分析|2|2b b|=|=|

10、a a+ +b b+ +c c- -（a a- -b b+ +c c）| |a a+ +b b+ +c c|+|+|a a- -b b+ +c c|2|2，| |b b|1|1，| |f f（2 2）|=|4|=|4a a+2+2b b+ +c c|=|=|f f（1 1）+3+3a a+ +b b| |f f（1 1）|+3|+3|a a|+|+|b b|1+6+1=8|1+6+1=8，即即| |f f（2 2）|8.|8.方法二方法二 当当| |x x|1|1时，时，| |f f（x x）|1|1，| |f f（0 0）|1|1，| f f（1 1）| 11，| |f f（-1-1）|1.

11、|1.由由f f（1 1）= =a a+ +b b+ +c c，f f（-1-1）= =a a- -b b+ +c c，f f（0 0）= =c c知知f f（2 2）=|4=|4a a+2+2b b+ +c c| |=|2=|2f f(1)+2(1)+2f f(-1)-4(-1)-4f f(0)+(0)+f f(1)-(1)-f f(-1)+(-1)+f f(0)|(0)|=|3=|3f f(1)+(1)+f f(-1)-3(-1)-3f f(0)|(0)|3|3|f f(1)|+|(1)|+|f f(-1)|+3|(-1)|+3|f f(0)|(0)|331+11+11+31+31=78.

12、1=78.,2)0(2) 1() 1 (fffa).0(,2) 1() 1 (fcffb研一题研一题答案答案(1)A(2)|a|b通一类通一类1(1)若若x5，nN，则下列不等式：，则下列不等式：答案：答案：(1)(2)D研一题研一题 精讲详析精讲详析本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定如果不等式右边非边为非负值，而不等式右边的符号不定如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有正，这时不等式显然成立；当不

13、等式右边为正值时，有|a|b|.所以本题应从讨论所以本题应从讨论|a|与与|b|的大小入手，结合作差比较法，的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决可以使问题得以解决 悟一法悟一法 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不

14、等式，往往可考虑一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明二次方程的根的分布等方法来证明 通一类通一类 2若若f(x)x2xc(c为常数为常数)，|xa|1，求证：求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：证明：|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)|x2xa2a|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)(2a1)|xa|2a1|xa|2a|1|b|a|b|1.1.若若x-ax-ah,h,y-ay-ak,k,则下列不等式一定成立的是

15、则下列不等式一定成立的是 ( )( )A.A.x-yx-y2h B.2h B.x-yx-y2k2kC.C.x-yx-yh+kh+k D. D.x-yx-yh-kh-k【解析【解析】选选C.C.x-yx-y= =(x-a)+(a-y(x-a)+(a-y) )x-ax-a+ +a-ya-yh+kh+k. .2.2.设设abab0 0，下面四个不等式中，正确的是，下面四个不等式中，正确的是 ( )( )a+ba+ba a; ;a+ba+b|b|;|b|;a+ba+ba-ba-b; ;a+ba+ba a- -b b. .A.A.和和 B. B.和和C.C.和和 D. D.和和【解析【解析】选选C.C.

16、因为因为abab0,0,所以所以a,ba,b同号，所以同号，所以a+ba+b= =a a+ +b b, ,所以所以正确正确. .4.4.已知已知|a+b|-c(a,b,cR|a+b|-c(a,b,cR),),给出下列不等式：给出下列不等式：a-b-c,a-b+c,a-b+c,ab-c,ab-c,|a|b|-c,|a|b|-c,|a|-|b|-c|a|-|b|-c, ,其其中一定成立的是中一定成立的是_.(_.(填上你认为一定成立的所有序号填上你认为一定成立的所有序号) )【解析【解析】因为因为|a+b|a+b|-c, |-c, 所以所以ca+bca+b-c,-c,即即c-ba-b-cc-ba-

17、b-c, ,所以所以正确，正确，错误错误; ;又又|a|-|b|a+b|a|-|b|a+b|-c, |-c, 所以所以|a|b|-c|a|0,|x-a|0,|x-a|,|y-b|.|.求证：求证：|x+3y-a-3b|4.|x+3y-a-3b|4.【证明【证明】1.1.x+3y-a-3bx+3y-a-3b= =(x-a)+(3y-3b)(x-a)+(3y-3b)= =(x-a)+3(y-b)(x-a)+3(y-b)x-ax-a+3+3y-by-b+3=4,+3=4,所以所以x+3y-a-3bx+3y-a-3b4.4.【易错误区【易错误区】对题意理解不到位导致求参数范围出错对题意理解不到位导致求

18、参数范围出错【典例【典例】如果关于如果关于x x的不等式的不等式|x|x3|+|x3|+|x4|4|a a的解集不是的解集不是R,R,则参数则参数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析】只要【解析】只要a a不小于不小于|x|x3|+|x3|+|x4|4|的最小值的最小值, ,则则|x|x3|+|x3|+|x4|4|a a的解集不是的解集不是R,R,而而|x|x3|+|x3|+|x4|=|x4|=|x3|+|43|+|4x|xx|x3+43+4x|=1,x|=1,当且仅当当且仅当(x(x3)(43)(4x)0,x)0,即即3x43x4时取得最小值时取得最小值1.1.所以所以a a的取值范围是的取值范围是1,+).1,+).答案：答案： 1,+)1,+)1设设a、b是满足是满足ab|ab|B|ab|ab| C|ab|a|b| D|ab|a|b| 解析：解析：ab0且且|ab|2a2b22ab， (ab)2a2b22aba恒成立，求恒成立，求a的的 取值范围取值范围解：解：a|x1|x2|对任意实数恒成立，对任意实数恒成立，a|x1|x2|min.|x1|x2|(x1)(x2)|3，3|x1|x2|3.|x1|x2|min3.aa|x-3|+|x-4|a的解集不是的解集不是R