高考数学圆锥曲线大题集大全

1、高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.2. () 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程()过点D且不与l1、l2垂直的直线l交()中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：ADMBNl2l1求点G的横坐标的取值范围2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双

2、曲线的一条渐近线方程为3x5y=0.（）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tg; （2）若2<tg<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆（ab0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为 （1）求椭圆的方程 （2）已知定点E（-1，0），若直线ykx

3、2（k0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 6. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，平面内两点同时满足下列条件：；（1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围7. 设，为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量，若，且（）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；（）设曲线C上两点AB，满足(1)直线AB过点（0，3），(2)若，则OAPB为矩形，试求AB方程8. 已知抛物线C：的焦点为原点，C的准线与直线的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）（）求抛物线C的方程；（

4、）求实数p的取值范围；（）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|AA1|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，求双曲线的离心率e的取值范围.10. 已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.11. 如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.(1) 设点分有向

5、线段所成的比为，证明:; (2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.12. 已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线； （3）设直线AP的倾斜角为，AP与l的夹角为，证明：或是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为 、，动点满足，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，ABO的面积为，（1）求曲线C的方程；（2）求的值。14.

6、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.（）若当点P的坐标为时,求双曲线的方程；（）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.15. 若F、F为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足；.（1）求该双曲线的离心率；（2）若该双曲线过N（2，），求双曲线的方程；（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B、B（B在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且时，直线AB的方程.16. 以O为原点，所在直线为轴，建立如 所示的坐标系。设，点F的坐标为，点G的坐标为。（1）求关于的函数的表达式，判断函数的单调性，并证明你的判断；（2）设OFG的

7、面积，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当取最小值时椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为，C、D是椭圆上的两点，且，求实数的取值范围。17. 已知点C为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且 （）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； （）若直线与（）中所求点Q的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，且，求FOH的面积的取值范围。 18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中。AOB（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）经

8、过点O的直线l与直线AB成60°角，当c2，a1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。19. 设O为坐标原点,曲线上有两点P、Q满足关于直线对称，又以PQ为直径的圆过O点.（1）求的值; （2）求直线PQ的方程.20. 在平面直角坐标系中，若，且，（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值。21. 已知双曲线（a>0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。（I）求

9、证：PF；（II）若PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且，求双曲线的方程；（III）延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。22. 已知又曲线 在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N都在此双曲线上。（I）求此双曲线的方程；（II）求直线MN的倾斜角。23. 如图，在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。设与x轴正方向的夹角分别为、，若。 （I）求点P的轨迹G的方程； （II）设过点C（0，-1）的直线与轨迹G交于不同两点M、N。问在

10、x轴上是否存在一点，使MNE为正三角形。若存在求出值；若不存在说明理由。24. 设椭圆过点，且焦点为。（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上。25. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，2），点C满足、（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：.26. 设，、分别为轴、轴上的点，且，动点满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过定点任意作一条直线与曲线交与不同的两点、，问在轴上是否存在一定点，使得直线、的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若

11、不存在，请说明理由.27. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，AB=2，AD=，BC=椭圆F以A、B为焦点，且经过点D， （）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；CBDA（）是否存在直线与两点，且线段，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.28. 如图所示，B（ c，0），C（c，0），AHBC，垂足为H，且 （1）若= 0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率； （2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当 5 时，求椭圆的离心率e的取值范围29. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，平面内两点同时满足下列条件：；（1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直

12、线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围答案：1.解：() 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），则N（x，0）. |BN|=2|DM|，|4x|=2,整理得3x2+4y2=12,动点M的轨迹方程为. ()A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又H点为线段EF的中点；又点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。 设l：y=k(x1)(k0)，代入3x2+4y2=12得(3+4k2)x28k2x+4k212=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点，l与椭圆必有两个交点，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点H的坐标为（x0，y0

13、），x1+x2= ，x1x2= ， x0= = ，y0=k(x01)= ， 线段EF的垂直平分线为y y0 = (xx0)，令y=0得，点G的横坐标xG = ky0+x0 = + = = ，k0，k2>0，3+4k2>3，0<<，<<0，xG= (0，）点G的横坐标的取值范围为(0，）. 2.解：， 由得 设椭圆的方程为（）即（）设是椭圆上任意一点，则 （）若即，则当时， 由已知有，得； 若即，则当时， 由已知有，得（舍去）. 综上所述，. 所以，椭圆的方程为. 3.解：（I）由已知椭圆的方程为，双曲线的方程.又 双曲线的离心率（）由（）A（5，0），B（5

14、，0） 设M得M为AP的中点P点坐标为 将M、p坐标代入c1、c2方程得消去y0得 解之得由此可得P（10，当P为（10， 时 PB： 即代入 MNx轴 即4.解：（1）由题意可知所以椭圆方程为 设，将其代入椭圆方程相减，将代入 可化得 （2）若2<tg<3，则5.解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab0 依题意解得椭圆方程为 （2）假若存在这样的k值，由得 设， ，则而 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CEDE时，则，即 将式代入整理解得 经验证，使成立 综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E 6.解：（1）设 ， 点在线段的中垂线上由已知；又，又 ，顶点

15、的轨迹方程为 .(2)设直线方程为：，由 消去得： ， 而由方程知 ， .7.解：解：令 则 即 即 又 所求轨迹方程为（）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在 设AB方程为 则 OAPB为矩形，OAOB 得 所求直线方程为8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（n，0），又焦点为原点m0 准线方程且有m=4n. 准线与直线交点在x轴上，交点为 又与x轴交于（2，0），m=4，n=1 抛物线方程为y2=4（x+1） （II）由 1k1且k0 AB的中垂线方程为 得 p（2，+） （III）抛物线焦点F（0，0），准线x=2 x=2是Q的左准线 设Q的中心为O（x，0），则短轴端点

16、为（±x，y） 若F为左焦点，则c=x0，b=|y|a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有 即y2=2x （x0） 若F为右焦点，则x0，故c=x，b=|y|a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有即 化简得2x2+2x+y2=0即 （x0，y0） 9.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB的方程为由于点P在AB上，可设P点的坐标为 则长方形面积化简得易知，当（21）解：设A（c,0）,A1(c,0)，则（其中c为双曲线的半焦距，h为C、D到x轴的距离）即E点坐标为设双曲线的方程为，将代入方程，得将代入式，整理得消去由于10.解：1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2

17、,0)则有两式作差有 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得由得，代入（1）得直线BC的方程为2)由ABAC得 （2）设直线BC方程为，得， 代入（2）式得，解得或直线过定点（0，设D（x,y）则即所以所求点D的轨迹方程是。11.解：(1) 依题意，可设直线的方程为 代入抛物线方程得 设两点的坐标分别是 、是方程的两根.所以 由点分有向线段所成的比为，得又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而. 所以 (2) 由 得点的坐标分别是（6，9）、（4，4）, 由 得 所以抛物线 在点处切线的斜率为, 设圆的圆心为, 方程是则解得 则圆的方程是 (或)12.解：（1）直线l的方程是：，即，经过定

18、点（0，1）；又M（p，），设x= p，y=，消去p，得到的轨迹方程为：.由有，其中=4p2+16，所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点.（2）由，设A（），则=，又函数的导函数为，故A处的切线的斜率也是，从而AP是曲线C的切线.对于另一个解同样可证.（3）当A（）时，tan=，tan=，tantan=1，又易知与都是锐角，所以=90°；当A（）时，tan=，tan=， tantan=-1，又易知是钝角，都是锐角，所以=90°.总之或是定值.13.解：（1）设P点坐标为，则 ，化简得，所以曲线C的方程为；（2）曲线C是以为圆心，为半径的圆 ，曲线也应该是一个半径为

19、的圆，点关于直线的对称点的坐标为，所以曲线的方程为，该圆的圆心到直线的距离为 ，或，所以，或。14.解：（）(法一)由题意知, , （1分）解得 . 由双曲线定义得: , 所求双曲线的方程为: (法二) 因,由斜率之积为,可得解.（）设, (法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,， 的最大值为2,无最小值. 此时,此时双曲线的渐进线方程为 (法二)设,.(1)当时, , 此时 .(2)当,由余弦定理得:,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)15.解：（1）由知四边形PF为平行四边形，（OP平分，平行四边形PFOM 为菱形，又.（2）双曲线的方程为所求双曲线的方程为（3）依题意得、B、

20、B共线，不妨设直线AB为：y=kx-3,A(x则有，得，因为的渐进线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，不合题意，当，又，所求的直线AB的方程为.16.解：（1）由题意知，则函数在是单调递增函数。（证明略）（4分）（2）由，点G，因在上是增函数，当时，取最小值，此时，依题意椭圆的中心在原点，一个焦点F（3，0），设椭圆方程为，由G点坐标代入与焦点F（3，0），可得椭圆方程为： （9分）（3）设，则，由，因点C、D在椭圆上，代入椭圆方程得，消去，得，又，则实数的取值范围为。17.解：（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=

21、2，于是点 Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，短半轴点Q的轨迹E方程是：. （2）设（x1，y1）H（x2，y2），则由， 消去y得 又点O到直线FH的距离d=1， 18.解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（c，0），B（c，0）依题意：点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为a，虚半轴为的双曲线右支轨迹方程为：。（2）法一：设M（，），N（，）依题意知曲线E的方程为，l的方程为设直线m的方程为由方程组，消去y得 直线与双曲线右支交于不同的两点及，从而由得解得且当x2时，直线m垂直于x轴，符合条件，又设M到l的距离为d，则设，由于函

22、数与均为区间的增函数在单调递减的最大值又而M的横坐标，法二：为一条渐近线m位于时，m在无穷远，此时m位于时，d较大由点M 故 19.解：(1) 曲线表示以为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得 (2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为,.将直线与圆的方程联立得由解得.又以PQ为直径的圆过O点解得故所求直线方程为20.解：（1），且，动点到两个定点的距离的和为4，轨迹是以为焦点的椭圆，方程为 （2）设，直线的方程为，代入， 消去得 ， 由得 ， 且， 设点，由可得 点在上， ，又因为的任意性， ，又， 得 ， 代入检验，满足条件，故的值是。21.解：(1) 不妨设., F.(c,0)设k2= k1k2=1.即PF. （2）由题. x2bxb2=0, a=1, 双曲线方程为（3） y= M( N（）.又N在双曲线上。e= 22.解：（I）点A、B的坐标为A（-3，0），B（3，0），设点P、M、N的坐标依次为 则有 4-得 ，解得c=5 故所求方程是 （II）由得， 所以，M、N的坐