2012届高考数学考前回归基础训练题——圆锥曲线

1、2012届高考数学考前回归基础训练题圆锥曲线1.平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .()求动点的轨迹的方程；() 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为求证：直线必过定点2. 过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,（1）求点P的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。3. 抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，（）求定点N的坐标；（）是否存在一条直线同时满足下列条件： 分别与直线交于A、B两点，且

2、AB中点为； 被圆N截得的弦长为4. 如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）,且BPy轴，APB的面积为.（1）求椭圆C的方程；ABPxyO（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程.5. 已知中心在原点，其中一个焦点为F（1，0）的椭圆，经过点，椭圆的右顶点为A，经过点F的直线l与椭圆交于两点B、C. （）求椭圆的方程； （）若ABC的面积为，求直线l的方程.6. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，向量e = (0，1)，点B为直线 上的动点，点C满足，点M满足，(1)试

3、求动点M的轨迹E的方程；(2)试证直线CM为轨迹E的切线7. 无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点 （1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程。8. 在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点(I)求直线的方程；(II)如果一个椭圆经过点,且以点为它的一个焦点,求椭圆的标准方程;(III)若在(I)、（II）、情形下，设直线与椭圆的另一个交点为，且，当 最小时，求对应的值。9. 已知双曲线，求以双曲线的顶点为焦点的抛物线的标准方程。10. 如图：点A是椭圆： 短轴的下端点过A作斜率为1的直线交

4、椭圆于P，点B在y轴上，且BP/轴，（1） 若B点坐标为（0，1），求椭圆方程；（2） 若B点坐标为（0，t），求t的取范围11. 已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.12. 已知圆C ，,切点为A，B（1）求直线PA,PB的方程 （2）求过P点的圆的切线长13. 已知在第一象限.，.求（1）AC和BC所在直线方程； （2）AC,BC分别与y轴交点之间的距离.14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P（）设

5、P点的坐标为，证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值15. 过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,（1）求点P的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。16. 设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线。（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？17. 已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设过点N的直线l交轨迹C于A、B两点，若，求直线l的斜率的取值范围。18. 椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2

6、，已知F1、F2、B1、B2四点共圆 ，且点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.19. 已知点的坐标分别是，直线相交于点M，且它们的斜率之积为（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）20. 已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程答案：1.

7、 解：()依题意知，直线的方程为：点是线段的中点，且，是线段的垂直平分线是点到直线的距离点在线段的垂直平分线，故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：() 设，直线AB的方程为则（1）（2）得，即，代入方程，解得所以点的坐标为同理可得：的坐标为 直线的斜率为，方程为，整理得，显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点2. 解：（1）由于 得：（定值）所以得动点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，由M（-3，0）N（3，0）知且中心在原点对称轴为坐标轴，得Q点的轨迹方程是： （2）假设存在这样的直线，当斜率不存在时，A,O ,B 共线，显然不满足条件，从而知直线的斜率存在，设为：，得直

8、线的方程为：即：与椭圆联立有： 整理得： 两边同时除以： 得： （A） 设直线交曲线C的坐标为：A（，B由于得：从而有： 又因为 和是方程（A）的两个实根，由根与系数的关系得： ，得：，故：存在这样的直线，其方程是： 3. 解：（1）因为抛物线的准线的方程为所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点， 所以定点N的坐标为 （2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， 设的方程为， 以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， 方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， 即，解得， 当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！ 当时，的方程为 由，解得点A坐标为， 由，解得点B

9、坐标为， 显然AB中点不是，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线 方法2：由，解得点A坐标为， 由，解得点B坐标为， 因为AB中点为，所以，解得， 所以的方程为，圆心N到直线的距离， 因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线 方法3：假设A点的坐标为，因为AB中点为，所以B点的坐标为， 又点B 在直线上，所以， 所以A点的坐标为，直线的斜率为4，所以的方程为， 圆心N到直线的距离， 因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线4. (1) 又PAB45°，APPB，故APBP3.P（1,0），A（2,

10、0），B（1,3）b=2，将B（1，3）代入椭圆得：得，所求椭圆方程为. （2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则易知F1（0,）F2（0，），直线的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须MF1MF2最大，设F1（0，）关于直线的对称点为（2，2），则直线与直线的交点为所求M， 因为的方程为：,联立得M（） 分又=MF1-MF2=MMF22，故，故所求双曲线方程为： 5. 解：（）设椭圆的方程为： 由题设知 因此，椭圆的方程为： （）若直线轴，则l的方程为：x =1，此时B、C的坐标为、 由于点A的坐标为（2，0），则ABC的面积为不合题意，舍去： 若直线l不与x轴垂直，可设l的

11、方程为： 由，得： 记、，则有， 由于 点A到直线l的距离为， 将上面两式代入ABC的面积公式可得：， 整理得： 解得：（舍去），k2 = 1 故，从而，直线l的方程为：6. (1)解：设B (，m)，C(x1，y1)），由，得：2(x1，y1) = (1，0) + (1，m)，解得x1 = 0， 设M(x，y)，由，得， 消去m得E的轨迹方程(2)解：由题设知C为AB中点，MCAB，故MC为AB的中垂线，MBx轴，设M()，则B(1，y0)，C(0，)， 当y00时，MC的方程8分将MC方程与联立消x，整理得：，它有唯一解，即MC与只有一个公共点，又，所以MC为的切线11分当y0 = 0时，

12、显然MC方程x = 0为轨迹E的切线综上知，MC为轨迹E的切线7. （1）联立，得当时，直线与双曲线无交点，矛盾直线与双曲线恒有交点，恒成立 （2），则直线l的方程联立得 整理得：所求的双曲线方程为8. (1) 根据两点式得，所求直线的方程为 即 。 直线的方程是 （2）解：设所求椭圆的标准方程为 一个焦点为 即 点在椭圆上， 由解得 所以所求椭圆的标准方程为 （3）由题意得方程组 解得 或 当时，最小。9. 解： 由得 所求的抛物线方程为： 所求的抛物线方程为：10. 解：（1）直线，由得所以，即将P（3，1）代入椭圆方程得：故椭圆方程为： -6分（2） 由得，又，所以，由得所以P的坐标为，

13、将P代入椭圆方程得：，即因为，所以，又，所以11. 解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 （）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是 ， 即， 又， 由已知，直线m /ox轴，所以，点的轨迹方程是，轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。12. 解：13. 解：（1） 14. 证明：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为所以，四

14、边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为15. 解：（1）令，因为,所以 设过A所作的直线方程为，（显然存在）又由得 代入，得 消去k，得所求轨迹为，（在圆M内部） （2）上述轨迹过为定点（）的直线在圆M内部分,由得 则 令，则，而函数在时递增， ，此时，（1）中P的轨迹为 16. 解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线 曲线方程是4分（2）设圆的圆心为，圆过，圆的方程为令得：设圆与轴的两交点分别为，方法1：不妨设，由求根公式得，又点在抛物线上，即4当运动时，弦长为定值4方法2：，又点在抛物

15、线上， 当运动时，弦长为定值417. 解答：（1）设动点P（x，y），则由已知得，化简得点P的轨迹是椭圆 （）设过N的直线l的方程为由18. 解:（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，故该椭圆中a=b=c,即椭圆方程可为x2+2y2=2b2设H（x，y）为椭圆上一点，则若0由（舍去）若b3，当y=3时，|HN|2有最大值2b2+18由2b2+18=50得b2=16 所求椭圆方程为（ii）设E（x1，y1），F(x2，y2），Q（x0，y0），则由 又直线PQ直线m 直线PQ方程为将点Q（x0，y0）代入上式得， 由得Q而Q点必在椭圆内部 由此得故当时E、F两点关于点P、Q的直线对称.19. 解：（1）设点的坐标为， 整理，得（），这就是动点M的轨迹方程（2）方法1：如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为（） 将代入，