数学23大冲刺必会考点全部讲义

1、人2019数学 23 个冲刺必会考点精讲前言本课程是张宇根据以及 2019 最新大纲钦点的 23 个冲刺必会考点精讲课。课程讲解包含：考点的概念和理论+基本题型总结+解题套路总结+常用结论，内容精炼，适用于冲刺阶段。复习程度不同的同学均可通过此课程，掌握每个必会考点的概念、题型、一般解题套路，高效提分，直击！请同学们根据更新进度，合理安排复习计划，认真利用此课程，必有所收获和提高。人考点 1 用经典工具计算函数、数列极限题型 1：函数极限计算考频统计套路：类型® 转化® 代入关键点：七种未定式转化方法¬ ：极限计算三步曲¬ ：刚哥极限计算秘籍¥

2、¥00通分¥ - ¥ ®放分母¬0×¥或倒代换­­­1¥ ,00，¥0对数恒等变形等价泰勒抓大头洛必达洛必达注意：整个过程中，常用化简技巧有：有理化，三角函数公式，极限四则运算法则. 记忆：(1) 等价无穷小替换原则：整个函数的乘除因子；(2) 等价无穷小替换公式： x ® 0 时，-1 : ln(1+ x) ；换成“狗® 0 ”也成立.(3) 等价无穷小替换进阶：泰勒公式2+ o(x 2 )2+ o( x 2)2sin2arcsin x = x +63a

3、(a-1)4+ o(+x + o( x )22cos!20¥(4) 洛必达法则：大家最爱，一般先化简再处理 或 型极限;0¥注意：极限式中如果出现变上限函数，一般用洛必达.分年值份科 目2009201020112012201320142015201620172018数一41410410144104数二18101814数三8241414141818182020人(5) 抓大头：抓主要，擒贼先擒王先类型：® +¥)再高次：同一类型比较次数高低，例如(6) 对数恒等变形： u(x)v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x ) （幂指函数求极限常用

4、此变形）注：对于1¥ 型极限，常变形为lim u(x)v ( x )1(7) 常用极限： lim= elim v ( x )v ( x ) -1 ，此公式可直接套用.ln x = 0 （结论直接记住用）题目n 1+ sin x -1lim(1)tan xx®01+ tan x - 1+ sin xlim(2)x(1- cos x)x®0lim sin(3)sin3 xx®011-lim(4)sin2 xò0ln(1 + t)dtlim(5)x®0 ( 3 1 + x3 -1) ×sin x+14lim(6)x®-&

5、#165;x2 + sin x1lim( x + ex ) x(7)x®0lim (sin x)tan x(8)x®0+1lim ( x + 1 + x2 ) x(9)x®+¥ex(10) limx®+¥1 2(1+)xx人题型 2：数列极限考频套路：利用单调有界收敛定理证明极限存在并求极限猜出界与单调性® 一般先证有界（方法：数学归纳法、不等式）；再证单调性（方法：n+1 ） ® 两边取极限，求出极限.xn记忆：(1) 数列xn 单调有界必收敛；数列xn 收敛必有界但不一定单调.(2) 假若 xn+1 = f (

6、xn ) ，当< 1时，数列xn 必收敛。特别的，当0 < f '( x) < 1 时，f '(x)可以用单调有界定理证明数列xn 收敛.(分析：因为 xn+1 - xn = f (xn ) - f (xn-1 ) = f '(x)(xn - xn-1 ) ，当 f '(x) < 0 时，xn 非单调，只能用极限定义证明极限存在)(3) 常用不等式a1 + a2 +Lann£ n a a La £(i)均值不等式：111an1 2nn+L+a1a2(ii) 绝对值不等式： a - b£a ± b&#

7、163;a + bxp时， sin(iii) 当0；21< ln(1 + 1) <1当 x > 0 ， ln(1 +准则-1;1+(iv)常用结论：有界量乘以无穷小量=无穷小量；lim n an + an +Lan = maxa , a ,L, a ，其中 a , a ,L, a ³ 0 ；12k12k12kn®¥(v) 海涅定理分年值 份考点2009201020112012201320142015201620172018数一1010数二10141111数三1010人设 f (x) 在 U 0 (x ,d) 内有定义， 则 lim f ( x)=

8、A 存在 Û 对任意以 x 为极限的数列00x®x00 ) ，极限lim f ( xn )=A 存在.n®¥题目n (n = 1, 2, L) ，求lim x(1) 设nxn®¥n1(2) 设 x = 1, x= 2 +(n = 1, 2, L) ，求lim xn+11nxn®¥n+ a )(n = 1, 2, L) ，求lim x(3) 设 a > 0,nnx 3n®¥n1< ln(1+ 1 ) < 1(4) (i)证明对任意正整数 n ，都有n +1nn(ii)设 a =

9、1+ 1 +L+ 1 - ln n (n = 1, 2,L) ，证明数列a 收敛.nn2n人考点 2 无穷小无穷大比阶考频概念：无穷小无穷大比阶(1) 实质：无穷小比阶比的是趋于 0 的速度；无穷大比阶比的是趋于无穷的速度.故泰勒公式展开选取的是趋于 0 更慢的；“抓大头”选取的是趋于无穷更快的.(2) 如何化：ìïïï多项式：次数越高趋于0速度越快(i) 无穷小比阶í非多项式：等价无穷小替换、泰勒公式ïïìc(c ¹ 0),ï同一级别u(x)是v(x)的高阶无穷小ïu(x)ï

10、;终极PK：lim= í0，ïïîìïx®W v(x)ï¥，u(x)是v(x)的低阶无穷小îïï多项式：次数越高趋于¥速度越快(ii) 无穷大比阶í非多项式：对数函数= 幂函数= 指数函数= 幂指函数ïïìc(c ¹ 0),u(x)ï同一级别u(x)比v(x) 趋于¥速度慢ïï终极PK：lim= í0，ïïîx®W v(x)&#

11、239;¥¥速度快u(x)v(x)趋于，比î记忆：(1) 若 x ® 0, f (x) : axm , g (x) : bxn 且f (x), g(x), a,b 均不为0，则f (g (x) : abmxmn ;g ( x )ò(2) 若 x ® 0, f (x)是x的m阶无穷小，g (x) 是x的n阶无穷小 则f (t)dt是x的0(m +1)n 阶无穷小；(3) 无穷区间反常的敛散性判别ì p > 1, 收敛í1+¥实质：无穷小比阶，经常和 ò1dx =比较.xpp £ 1

12、, 发散î分年值 份考点2009201020112012201320142015201620172018数一4410数二4410148104数三441441010人原则：同一级别，同敛散；不同级别，大收敛得小收敛；小发散得大发散.(4)函数反常敛散性判别实质：无穷大比阶.ì p < 1, 收敛íì p < 1, 收敛í111bòpòdx =dx =常和或作比较.(x - a)p ³ 1, 发散pp ³ 1, 发散x0aîî原则：同一级别，同敛散；不同级别，大收敛得小收敛；小

13、发散得大发散.(5) 正项级数比较判别法实质：无穷小比阶.ìa< 1ì p > 1,¥¥1收敛发散ï1-ån=1ån-1= íp £ 1,或aq= í常和相比较.pnîï发散，qn=1³ 1î原则：同一级别，同敛散；不同级别，大收敛得小收敛；小发散得大发散.题目(1) 讨论当 x ® 0 时，下面哪个无穷小是阶数最高的，并说明理由.(A)1+2x - 3 1 - 3x(B) x - ln(1+ tan x)arcsin x 1- co

14、s t 23x2(D) ò0(C) e- cos 2xdtt(2) 判别下列反常的敛散性2+¥ sin2 x+¥ò1ò0dxx23p ln(sin x)11òòdxdx2 0 ln x0x(3) 判别下列级数的敛散性2n2 - 3n +1¥ån=13n7 + n2 + 2p¥å3 tan 2nnn=1人考点 3 导数的定义考频统计概念：导数的定义(1)实质：瞬时变化率，几何上表示曲线上某一点处切线的斜率，物理上表示某一时刻的速 率；-f (x0 + Dx) - f (x0 )(x0 )

15、 或lim(2) 数学表达式： f '(Dx® 0f (x) - f (x0 ) 存在（(3) f (x) 在 x 处可导Û limf (x) 可导说明 y = f (x) 这条曲线是光0x - xx®x00滑的，没有尖点.）记忆f (x0 +W) - f (x0 ) 存在(1) f (x) 在 x 处可导Û lim0D口诀：一定一动； W与D 是同阶无穷小； W 可正可负.ì1ax ¹ 0，当a> 1 时， f (x) 在 x = 0 处可导；a> 2 时， f (x) 在x = 0(2) 例题 f (x) =

16、ïxsin,xíïî0,x = 0 处一阶导函数连续；a> 3 时， f (x) 在 x = 0 处二阶可导.不可导点为 x = x0 满足： f (x0 ) = 0且f '(x0 ) ¹ 0(3) f (x) 可导,则f (x)在 x = x0 处连续但不可导， g(x) 在 x = x0 处可导，f (x)(4)f (x) g(x) 在 x = x0 处可导Û g(x0 ) = 0 .则f (x) g(x) 不可导点为 x = x0 满足： f (x0 ) = 0，f '(x0 ) ¹ 0 且 g(

17、x0 ) ¹ 0 .(5) 可导Þ 连续，可导Û 可微分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一44810844数二812412128128423数三412228人题目ì51ïx sin, x ¹ 0，则3(1) 设函数 f (x) =f (x) 在 x = 0 处(íx)ïî0,x = 0(B)连续但不可导 (D)可导且导函数连续(A)不连续(C)可导但导数不连续(2) 设 f (0) = 0 ，则 f (x) 在点 x = 0 处可导的充要条件为(

18、)f (1- cos h)f (1- eh )(A) lim(B) lim存在存在2hhh®0h®0f (h - sin h)存在f (2h) - f (h)存在(C) lim(D) limh2hh®0h®0在(- 1 , ) 区间上不可导点的个数是(3- 2) sin 2px(3) 函数 f ()2 2(A)3(B)2(C)1(D)0题型 高阶导数的计算方法：归纳法，常见函数的 n 阶导数公式、分解法、莱布尼茨公式、泰勒级数与幂级数; 记忆：(1)常用函数 n 阶导数公式(eax+b )(n ) = aneax+bpnsin(ax + b)= a si

19、n(ax + b +)(n)n2pncos(ax + b)= a cos(ax + b +)(n)n2(-1)n ann!1()=ax + b(ax + b)n+1(n)1ln(ax + b)(n) = (-1)n -1 an (n -1)!(ax + b)nnå(2)莱布尼茨公式：u(x)v(x)(n) =C u(x)v(x)k (k )(n-k )nk =0¥f (x) = åa (x - x)nf (x)(3)展开成幂 级 数， 展 开 成 泰 勒 级 数n0n=0¥(n) n ,则 f (n) (x ) = n!a .f (00nn=0人题目(1

20、) 设函数 f (x) 有任意阶导数且 f '(x) = f 2 (x) ，则 f (n) (x) =. ( n > 2 )1(2) 设 y =， a, b, c 是三个互不相等的常数，求 y( n) .(x - a)(x - b)(x - c) ，求 f (n) (0)(n ³ 3) .(3) 设 f (人考点 4 三大逻辑证明题考频题型 1：中值定理证明套路ìì介值定理：f (x) = Aï没有求导íî零点定理：g(x) = h(x)ïïïïïïì

21、ì直接法：找点相等ï单中值(x)íî间接法：构造函数ïï(罗尔定理)ïïï看所证式子íïì拉格朗日(x¹h)ïïï有求导í双中值(x,h) í柯西中值定理îïïïïïïïïïîïï高阶导数：泰勒中值定理ï(二阶以上)ïïî记忆(1) 介值定理：x&#

22、206;a, b，所证式子可以写成 f (x) = A零点定理： xÎ(a, b) ，一般所证式子为 g(x) = h(x)ìa, b上连续í(a, b)上可导Þ 存在xÎ (a, b), 使得f '(x) = 0(2) 罗尔定理： f (x) = ïï f (a) = f (b)î直接证明：证明 f '(x) = 0 ，找两点使得 f (x) 相等；证明 f ''(x) = 0 ，找三个点使 f (x) 相等或者两个点使 f '(x) 相等.分年值份考点2009201020

23、112012201320142015201620172018数一1110101014数二41014数三111010104人f (x)e ò p ( x )dx间接证明：证明 f ¢(x) + p(x) f (x) = 0, 令F (x) =中值定理处理. f (x) 在a, b 上连续，则存在xÎa, b，(3) 条件中有式，一般会用bò使得f (x)dx = f (x)(b - a) ,只是闭区间，开区间使用要证明.aìa, b上连续且g '(x) ¹ 0, x Î(a, b) Þ 存在xÎ (

24、a, b) ，(4) 拉格朗日中值定理： f (x)在íî(a, b)上可导f (b) - f (a)f '(x)=(参数形式下拉格朗日定理) .使得g(b) - g(a)g '(x)拉格朗日中值定理找中间点；柯西中值定理找函数g(x), h(x) .(5) f (x) 在 x0 的某领域U (x0 ) 内具有 n +1阶导数，则对任意 x0 ÎU (x0 ) ，有：(n)f ''(x )f (x) = f (x ) + f '() +0 (2!- x ) n +000f (n+1) (x)- x0 ), 0 < q&

25、lt; 1.(0与(n +1)!题目f (x) 在上连续，且 g(x) > 0 ，证明：存在一点xÎa ， b，使a ， b(1)设bbòòf (x)g(x)dx = f (x)g(x)dx .aaf (x) 在 上连续，在（0,3）内可导，且f (0) + f (1) + f (2) = 3 ，f (3) = 1 .0 ，3(2) 设函数试证：存在xÎ（0,3），使 f ¢(x) = 0 .f (x) 在闭区间 上连续，在（0,1）内可导，且满足10 ，1(3) 设2òf (1) = 3ef (x)dx ,1- x30证明：存

26、在xÎ(0,1) ，使得 f ¢(x) = 2xf (x) .f (x) 在 上连续， 在 (a,b) 上可导且f (a) ¹ f (b) . 证明： 存在a ， b(4) 设函数f ¢(x) = f ¢(h) .x,hÎ (a, b) ，使得2xb + a(5) 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：人（I）存在xÎ (0,1), 使得 f (x) = 1 -x；（II）存在两个不同的点h,zÎ (0,1) ，使得 f ¢(h) f ¢(

27、z) = 1.f (x) 在 上二阶可导，且f (0) = f ¢(0) = f ¢(1) = 0 ， f (1) = 1 .0 ，1(6) 设函数求证：存在xÎ(0,1) ，使f ¢(x)³ 4题型 2：不等式的证明套路：(1) 函数不等式：构造函数(化简) ® 带端点(猜属于何种类型) ® 通过单调性、凹凸性说明ì出现f (b) - f (a), 考虑拉格朗日中值定理î常数变易法-变为函数不等式，回到(1)ì常数变易法-变成函数不等式，回到(1)(2) 常数不等式íï不等

28、式 柯西-施瓦茨不等式í(3)ï泰勒公式î记忆：a + ba 2 + b2ab ££(a,b > 0) ；均值不等式：22绝对值不等式： a - b当0 < x < p时， sin 2当0 £ x £ 1时， arctan£a - b£a + b；;对"x, ex ³ x +1当 x > 0 时，柯西-施瓦茨不等式：;ì(a b + a b +L+ a b ) 2 £ (a 2 + a 2 +L+ a 2)(b 2 + b 2 +L+ b2)

29、ï1 12 2n n12n12ní2bbbï(ò f (x) g(x)dx) £ ò f ( x)dx ×g 2( x)dxò2î aaa题目(1) 证明:不等式1+2 ) ³ 1+ x 2 ， -¥ < x < +¥ .(2) 求证：当 x > 0 时，不等式(1+2设b > a > e ，证明: ab > ba .(3)人f (x) 在上具有二阶导数，且f ¢(x) > 0 ，证明:a ， b(4) 设+ a b1 1b

30、òf () <2f (t)dt <f (a) + f (b) .b - a2a题型 3：方程根的个数套路：构造函数(化简) ® 求单调区间® 在单调区间内代端点，统计零点个数题目) - x + k 在它的定义域内的零点个数.（1）设k 是常数，讨论函数 f (（2）设 fn (x) = 1- (1- cos x) ，求证：np（I）对于任意正整数 n ， f (x) = 1 在(0,) 中仅有一根；2n2pp1（II）设有 x Î(0,) ，满足 fn (xn ) =，则lim xn =.n222n®¥人考点 5 导数的几

31、何应用考频题型(1)求函数的单调性、凹凸性.(I) 写出函数定义域，考虑函数的奇偶性、周期性(II) 求一阶导(或者二阶导)，找到驻点（或者二阶导为零的点）以及导数不存在的点(III)分区间去讨论，确定单调性、凹凸性.求函数的极值、拐点、最值点(I)写出函数定义域；(II) 找到驻点(或者二阶导为零的点)以及导数（或二阶导）不存在的点；ì第一充分条件(III) 判别í(2)î第二充分条件(IV)求最值点需求出端点处函数值并且与极值作比较. 求渐近线(I)先求垂直渐近线，即找函数的无穷间断点；(3)(II)再求水平渐近线： lim f ( x)和lim f ( x)

32、 .x®+¥x®-¥(III)最后求斜渐近线:f (k = lim)记忆(1)极值点：局部最值，单调性改变的点； 拐点：连续曲线的凹凸性改变的点.一直可导的函数：取得极值点，就一定不是拐点；取得拐点，就一定不是极值点.(2)(3)(4)最值点在极值点或区间端点处取得.水平渐近线与斜渐近线总共最多两条.分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一4484数二4数三84844人题目ìx = 1 t 3 + t + 1ï33 确定，求函数 y = y(x) 的极值和曲线的凹13(1) 设函

33、数 y = y(x) 由参数方程í1ï y =t 3 - t +ïî3凸性及拐点.(2) 在数1， 2 ， 3 3 ，···， n n ，···中求出最大值.1(3) 求曲线 y = xe x2 的渐近线.人考点 6 不定与定存在定理考频概念：(1) 原函数： f (x) 定义在区间 I 上，若 F '(x) =f (x)，x Î I，则 F (x) 是 f (x) 在区间 I上的一个原函数.n(2) 可积： f (x) 在区间a, b 上可积（即：定存在） Û li

34、m å f (xk )Dxk 存在，其中l®0 k =1l= maxDxi记忆：(1) 函数在a, b 上连续，则必存在原函数；含有第一类间断点、无穷间断点的函数一定不存在原函数；含有震荡间断点的函数，可能存在原函数；原函数一定可导.(2) 函数在a, b 上连续，则必可积；函数在a, b 上有界且只有有限个间断点，则函数必可积；可积函数必有界.xxòò函数f (t)dt 一定连续，不一定可导；但是，当 f (x) 连续时，f (t)dt 一(3) 变上限aa定可导，且导函数为 f (x) .(4) f (x) 是奇函数Û 原函数 F (x)

35、是偶函数；¬f (x) 是偶函数原函数 F (x) 是奇函数；®F (0)=0¬f (x) 以T 为周期®原函数 F (x) 以T 为周期；Tò0 f ( x )dxf (x) 在a, b 上有界Þ F (x) 在a, b 上有界.分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一4数二444数三4人题目：(1) 在区间-1, 2 上，以下四个结论，x > 0ì2,f (x) = ïí1,x = 0 有原函数，但其定不存在；ï-1, x <

36、; 0îì2x sin- 2 cos112, x ¹ 0x = 0f (有原函数，其定也存在îï0,ì 1 ,x ¹ 0,x = 01 +f (x)= ï xíïî0,ì没有原函数，其定也不存在；1 , x ¹ 0x = 0)f (有原函数，其定也存在.ïî0,正确结论的个数为(A)1(B)2(C)3(D)4f (x) = ìsin x, x Î0,p)x， F (x) =f (t)dt 则òí(2) 设2

37、, x Îp,2pî0(A) x = p为 F (x) 的跳跃间断点(B) x = p为 F (x) 的可去间断点(C) F (x) 在 x = p连续但不可导(D) F (x) 在 x = p可导（3）函数 f (x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是()xxòò22f (t )dtf (t)dt(A)(B)；00xxòò(C)t f (t) - f (-t)dt ；(D)t f (t) + f (-t)dt 00f ( x ) 在区间-1, 3 上的图形为：(4) 设函数 y =f (x)O0x-2123-1人( )x(t )d

38、t 的图形为(ò则函数 F x =f)0f (x)f (x)1100xx-2123-2123-1-1( A) .( B ) .f (x)f (x)1100xx-1123-2123-1(C ) .(5)以下四个命题中，正确的是( D) .)f ¢( x) 在(0,1) 内连续，则 f ( x) 在(0,1) 内有界f ( x) 在(0,1) 内连续，则 f '( x) 在(0,1) 内有界f ¢( x) 在(0,1) 内有界，则 f ( x) 在(0,1) 内有界（A）若（B）若（C）若（D）若 f ( x) 在(0,1) 内有界，则 f ¢( x

39、) 在(0,1) 内有界人考点 7考频计算：换元法，分部法，凑微分法，有理函数题型 1：不定的计算-总则（见）分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一4410444414数二104410数三1014444人记忆：(1) 熟记公式 20 个ò xadx = 1 xa+1 +C；(a ¹ 0)ò 1 dx = ln x + Ca +1xxò a+ C ;òsin xdx = -cos x + C;ò csc2 xdx = -cot x + C;ò csc x cot xdx

40、 = -csc x + C;ln aò cos xdx = sin x + C;òsec2 xdx = tan x + C;òsec x tan xdx = sec x + C;11òò 1+ x2dx = arcsin x + C;dx = arctan x + C;1- x2ò tan xdx = -ln cos x + C;òsec xdò cot xdx = ln sin x + C;ò csc xd+ C;+ C;dx= 1 arcsin ax + C;dx=arctan ax + C;1

41、42;ò b 2 + a 2x 2ababbb2 - a2 x2a + xdx1dxò a2 - x22aò=ln+ C;= lnx +x 2 ± a 2+ C.a - xx2 ± a2(2) 换元公式ax + b= t;e x = t（; 倒代换）x = 1ax + b = t;2 - x 2=a cost;a 2 + x 2=a sect; acx + dtx=a sin tx=a tan tx2 - a2=a tan t;x=a sect(3) 分部法ò uv ' dx = uv - ò vu 'dx

42、u :易求导v :易；选取原则：幂指三Pn (x)： òdx(4) 有理函数Qm (x)人ìAïQm (x)含一次因式(ax +b), 产生 ax + b;ïABïQ(x)含二重一次因式(ax +b)2 ,产生+;max + b(ax + b)2Ax + Bï分解原则íïQ(x)含二次单因式px 2 + qx + r, 产生ïmpx2 + qx + rïA x + BA x + BïQ(x)含二重二次因式(px 2 + qx + r )2, 产生11+22îïmpx

43、2 + qx + r(px2 + qx + r )2题目1 - x(1) 求òdx .29 - 4xòdx.(2) 求不定1 +1 - x2(3) òln xdx =.x 1 + ln xa + xòa - x dx .= （(4) 求不定sinò sin4 x(5)）11（A）arctan(cos 2 x) + C2（B） -arctan(cos 2 x) + C2sin 2 x -11（C） arctan(-cos 2x) + C+ C（D）ln 2sin 2 x +11ò1 + x3 dx(6)（）(1+ x)21+ C( A)

44、ln 6x2 - x +1( x +1)22 x -111+ arctan 3+ C(B)ln 6x2 - x +132 x -111x +1 +arctan 3+ C(C)ln 33人( x +1)22x -112+ arctan 3+ C(D)ln 6x2 - x +13arcsinx + ln xòdx(7)x题型 2 定记忆：计算f (-x) = - f ( x)f (-x) = f ( x)ìï0,aò(1)f (x)dx = í2aòf ( x)dx,- aïî0a+TT(2) f (x + T ) =

45、 f (x) Þ òaf (x)dx =f (x)dtò0ì(n -1)! ×p,n为偶数ppïn!2òò(3) “点火”公式：sin xdx =cos xdx =nn22íï(n -1)!,00n为奇数ïîn!p2p2pppòòf (cos x)dx, ò xf (sin x)dx =òf (sin x)dx =f (sin x)dx(4)20000bbòò(5) 区间再现公式：f (x)dx =f (a + b

46、- x)dx注：(4)、(5)实质是换元法.aa(6) 含有导函数和变限(7) 函数中含有定函数：定要用分部法.，用回归题法.题目-p(òdx2p2(1)-p2ò=.设 n 是正整数，则(2)nsin0计算 I =f (x)dx ，其中 f (x) = òe-t dtx2.1ò(3)x01f (x)eòdx ，则 f (x) = （设 f (4)）x1x2ex2e（A）ln x -（B）ln x +（C）ln x - 2ex（D）ln x + 2ex人考点 8的几何应用考频题型：求平面图形的面积、旋转体体积、曲线弧长和旋转体表面积（仅数一、二要

47、求）.套路： 找微分® 写公式® 计算记忆：(1) 平面图形面积公式：1bbòòS (x) =f (x)dx(直角坐标下); S (x) =r 2 q)dq( 极坐标下)(2aa(2) 旋转体体积公式bbòò绕 x 轴：V =p2pxf (x)dx( 柱壳法）f (x)dx(圆柱法)；绕y 轴，Vy =2xaabòò(3) 曲线弧长： dL =(dx)2 + (dy)2 Þ L = dL =1+ ( f '(x)2 dxabbpydl =2pf (x) 1+(f '(x) 2dxò

48、;ò(4) 旋转体表面积： dS= 2pydl Þ S =2表表aa题目：(1) 计算双纽线(x2 +y2 )2 = x2 - y2 所围成的区域面积.(2) 计算由摆线 x = a(t - sin t), y = a(1- cos t) 相当于 0 £ t £ 2p的一拱与直线 y = 0 所围成的图形分别绕 x轴和y轴旋转而成的旋转体体积.(3) 计算星形线 x = a cos3 t, y = a sin3 t 全长.(4) 设有曲线 y =x - 1 ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.

49、分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一4数二10114数三444104人考点 9 多元函数的概念、计算、极值与最值考频概念：二元函数连续、偏导数、可微、偏导函数连续(1) z = f (x, y)在(x0 , y0 ) 处连续Û lim f ( x, y) = f ( x0, y0 )x®x0 y® y0注：直观上看，曲面没有洞.f (x, y0 ) - f (x0 , y0 )ìlimïx®xx - x0ï0(2) z = f (x, y) 在(x , y ) 处关

50、于(x, y) 偏导数存在Ûí存在.00f (x , y) - f (x , y )ïlim 000 y - y0ïî y® y0注：直观上看，曲面上过点(x0 , y0 ) 沿 x, y 轴方向上曲线光滑.(3) z = f (x, y) 在(x0 , y0 ) 处可微Û Dz = ADx + BDy + o( (Dx) + (Dy ) ) ，其中 A, B 只22与(x0 , y0 ) 有关.注：直观上看是曲面如果切的足够小，可以看成是平面.ì'' ( x , y )00ï(4) 偏导

51、函数连续： f '(x, y), f '(x, y)在(x , y ) 处连续Û ï y® y0ílim f ' ( x, y) = f ' ( x , y )xy00ïyy00x®x0ï y® yî0记忆：(1) 连续、偏导数、可微、偏导数连续的关系（见）分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一1441010数二14151318141819141814数三48810人) = f ' (x, y ); f &#

52、39; (x , y ) = f ' (x , y)(2) f ' (x , yx= x0y00y = y0x0000ì求出f ' (x , y ), f ' (x , y )ïïx00y00ßïïf (x, y) - f (x , y ) - ADx - BDyí看lim 00(Dx)2 + (Dy)2ß可微是否为零？(3) 判别可微x® x0 y® y0ïïïïî题目(1) 设ìx2 y2,( x,

53、y) ¹ (0, 0),ïf (x, y) = (x + y )223 2íï( x, y) = (0, 0);0,îì(x2 + y2 ) sin1, (x, y) ¹ (0, 0),g(x, y) = ïx2 + y2íïî( x, y) = (0, 0).0,讨论它们在点（0,0）处的偏导数的存在性函数的连续性方向导数的存在性（数一）函数的可微性ì 1sin(x2 y), xy ¹ 0f (x, y) = ï xy则 f ¢(0,1) =(2)设í.x ïîxy = 00,如果函数 f (x, y) 在点(0,0) 处连续，那么下列命题正确的是(3)f (x, y)存在，则若极限limf (x, y) 在点(0,0) 处可微(A)x