高中数学复习学(教)案(第52讲)空间直线

1、题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间直线高考要求 1能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形 能够根据图形想像它们的位置关系 2会用几何法或向量法计算两异面直线的夹角和距离知识点归纳 1 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：3等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法6异

2、面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线7异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：8异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作9求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公

3、式10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离两条异面直线的公垂线有且只有一条 计算方法：几何法；向量法题型讲解 例1 A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角（1）证明：用反证法假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C

4、、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，求得FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°点评： 证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”注意，异面直线所成角的范围是（0，例2 长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a

5、>b，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值（1）解：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为bAA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c过B作BEB1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE=，即AB与B1C的距离为（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OFD1B，AOF就是异面直线D1B与AC所成的角AO=，OF= BD1=，AF=，在AOF中，cosAOF=解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，

6、连结BG、D1G，则ACBG，D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角BD1=，BG=，D1G=，在D1BG中，cosD1BG=，故所求的余弦值为解法三：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算例3 设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是（0°90°）的直线l有且仅有几条?解：过点O作a1a，b1b，则相交直线a1、b1确定一平面a1与b1夹角为50°或130°，设直线OA与a1、b1均为角，作AB面于点B，BCa1于点C，BDb1于点D，记AOB=1，BOC=2（2=25°或

7、65°），则有cos=cos1·cos2因为0°190°，所以0coscos2当2=25°时，由0coscos25°，得25°90°；当2=65°时，由0coscos65°，得65°90°故当<25°时，直线l不存在；当=25°时，直线l有且仅有1条；当25°<<65°时，直线l有且仅有2条；当=65°时，直线l有且仅有3条；当65°<<90°时，直线l有且仅有4条；当=90&

8、#176;时，直线l有且仅有1条点评：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角上述解答首先将问题转化为：求过点O与a1、b1均成角的直线的条数，进而通过讨论的范围去确定直线l的条数例4 如下图，设ABC和A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且= 试求的值解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1， ABCA1B1C1， 所以=（）2=点评：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问

9、题例5 已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是（ ） A 或 B >或 < C > D <已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( )A 1条 B 2条 C 3条 D 4条异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60°,则的取值可能是( )A 30° B 50° C 60° D 90°一个凸多面体有8个

10、顶点，如果它是棱锥，那么它有 条棱， 个面；如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面分析与解答: 如图所示, 易知直线上点在平面上的射影是点B,过点B作BCb,则ACb 在RtOBC和RtOAC中，,=显然，AC>BC,tan> tan,又、（0，故选C如图所示，过空间一点O分别作a,b, 则构成角或 70所求直线即为过点O且与都成60角的直线当=110，将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都60角的直线两条当=70时，同理故 过点 O与a,b都成60角的直线有4条，从而选 D 过点O分别作a,b,则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与

11、 所成角都为60，如图所示，则=60， ，此时过点 O有三条直线与所成角都为60其中一条正是角的平分线如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面点评： 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题小结：1本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角2证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形学生练习 1若a，b是异面直线，则只需具备的条件是Aa平面，b平面，a与b不平行Ba

12、平面，b平面，=l，a与b无公共点Ca直线c，bc=A，b与a不相交Da平面，b 是的一条斜线答案：C2如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有A1条 B2条 C3条 D4条解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条答案：C3如下图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是A B C D解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DESA，BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，则BD=BE= a，DE= a，cosBDE= 答案：C4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a， 那么（1）哪些棱所在直线与直

13、线BA1成异面直线:_（2）直线BA1与CC1所成角的大小为_（3）直线BA1与B1C所成角的大小为_（4）异面直线BC与AA1的距离为_（5）异面直线BA1与CC1的距离是_答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45° （3）60° （4）a （5）a5正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_解析：连结FE1、FD，则由正六棱柱相关性质可得FE1BC1，在EFD中，EF=ED=1，FED=120°，FD=在EFE1和EE1D中，易得E1F=E1D=，E1FD

14、是等边三角形，FE1D=60°而FE1D即为E1D与BC1所成的角答案：60°6两条相交直线l、m都在平面内且都不在平面内命题甲：l和m中至少有一条与相交，命题乙：平面与相交，则甲是乙的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D非充分非必要条件解析：若l和m中至少有一条与相交，不妨设l=A，则由于l，A而A，与相交反之，若=a，如果l和m都不与相交，由于它们都不在平面内，l且mla且ma，进而得到lm，与已知l、m是相交直线矛盾因此l和m中至少有一条与相交答案：C7在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么

15、异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )A B C D解法一：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H在FHD1中，FD1=，FH=，D1H=由余弦定理，得D1FH的余弦值为解法二：取BC的中点G连结GC1FD1，再取GC的中点H，连结HE、OH，则OEH为异面直线所成的角在OEH中，OE=，HE=，OH=由余弦定理，可得cosOEH=答案：B8四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG=由EFAB及GFAB知EFFG在RtEFG中，求得GEF=30°，即为

16、EF与CD所成的角答案：30°9在正四棱锥PABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_（结果用反三角函数值表示）答案：arctan210设不全等的ABC与A1B1C1不在同一平面内，且ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1求证：AA1、BB1、CC1三线共点证明：不妨设ABA1B1，AA1BB1=S，BCB1C1，BB1面BCC1B1，S面BBC1B1同理，S面ACC1A1SCC1，即AA1、BB1、CC1三线共点于S11在三棱锥ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角解：取AC的中点M，连结ME、MF，则MEBC，MFAD，所以EMF（或其补角）是直线AD与BC所成的角在EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cosEMF=，EMF=120°，因此异面直线AD与BC所成的角为60°12在三棱锥PABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PEEC=AFFB=32（1）求证：PABC；（2）设EF与PA、BC所成的角分别为、，求证：+=90°证明：（1）取BC的中点D，连结AD、PD则BC平面ADP，AP平面ADP，APBC（2）在AC上取点G，使AGGC=32