高中数学复习学(教)案(第36讲)绝对值不等式

1、题目 第六章不等式绝对值不等式高考要求 1理解不等式a-ba+ba+b2掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；知识点归纳 1解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方2注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题|a|b|£|a+b|£|a|+|b|;|a|b|£|ab|£|a|+|b|;并指出等号条件3(1)|f(x)|<g(x)Ûg(x)<f(x)<g(x); (2)|f(x)|>g(x)Ûf(x)>g(x)或f(x)&

2、lt;g(x)（无论g(x)是否为正）（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式） 左边在时取得等号，右边在时取得等号题型讲解 例1 解不等式分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立解：原不等式又化为原不等式的解集为点评：可利用去掉绝对值符号 例2 求证：不等式综上（1），（2）得例3 所以，原命题得证例4 例5 证明：例6 证明：令例7 a, b Î R 证明|a + b|ab| < 2|b|例8 解不等式|x+3|x3|>3解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：|x+3|x3|>3(1)Þx<3;(2)Þ3/2<x&

3、#163;3或3£x<3/2 ;(3)Þx>3 原不等式的解为x<3/2或x>3/2解法二：用平方法脱去绝对值：两边平方：(|x+3|x3|)2>9,即2x2+9>2|x29|;两边再平方分解因式得：x2>9/4Þx<3/2或x>3/2例9 解不等式|x23|x|3|£1解：|x23|x|3|£11£x23|x|3£1Þ 原不等式的解是：£x£4或4£x£点评：本题由于运用了xR时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论

4、例10 求使不等式|x4|+|x3|<a有解的a的取值范围解：设f(x)= |x4|+|x3|,要使f(x)<a有解，则a应该大于f(x)的最小值，由三角不等式得：f(x)=|x4|+|x3|³|(x4)(x3)|=1,所以f(x)的最小值为1， a>1 点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而简化了讨论例11已知二次函数f(x)满足|f(1)|£1,|f(0)|£1,|f(1)|£1,求证：|x|£1时，有|f(x)|³5/4证明：设f(x)=ax2+bx+c,由题意，得 a=f(1)+f(1)2f(0),b=

5、f(1)f(1); c=f(0)代入f(x)的表达式变形得：f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(1)(x2x)/2+(1x2)f(0) |f(1)|£1,|f(0)|£1,f(1)|£1, 当|x|£1时，|f(x)|£|(x2+x)/2|f(1)|+|(x2x)/2|f(1)|+(1x2)|f(0)|£|x|(1+x)/2+|x|(1x)/2+(1x2)=x2+|x|+1=(|x|1/2)2+5/4£5/4例12 已知a,b,c都是实数，且|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证：ab+bc+ca&g

6、t;1证明：设f(x)=x(b+c)+bc(1), |a|<1,|b|<1,|c|<1,f(1)(b+c)+bc+1(1+b) (1+c)>0,f(1) (b+c)+bc+1(1b) (1c)>0, 当a(1,1)时，f(x)>0恒成立 f(a) a(b+c)+bc(1)>0, ab+bc+ca>1例13 证明：小结：1理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题2解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：（1）分类讨论；（2）平方；（3）利用绝对值不等式的性质，如

7、等3证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等等学生练习 1不等式的解集为（ ）A B C D答案：D2不等式|x4|x3|<a有解的充要条件是（ ）Aa>7 Ba>1 Ca<1 Da1答案: B 提示: 代数式|x4|x3|表示数轴上的点到(4, 0)与(3, 0)两点的距离和，最小值为1，当a>1时，不等式有解3若A=x| |x1|<2, B=x|>0，则AB=（ ）Ax|1<x<3 Bx|x<0或x>2 Cx|1<x<0或2<x<3 Dx|1<x<0答案: C提示: A=x| 1<x<3, B=x| x>2或x<0,AB=x|1<x<0或2<x<34不等式12的解集是 答案: 1x或x3 5如果y=logx在(0,+)内是减函数，则a的取值范围是（ ）A|a|>1 B|a|< C1<|a|< Da>或a<答案: C 提示: 0<a21,1<|a|<6解不等式|logx|log(3x)|1答案：x| 0<x或