2015北京海淀高三第一学期期末数学（文）试题与答案

1、 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文）答案及评分参考 2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）C （7）C （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10）3 （11） （12） （13）；4 （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）的值是. 2分的值是. 5分（）由（）可知：.因为 ，所以 . 7分所以 当，即时，取得最大值； 10分当，即时，取得最小值. 13分（16）（共13分）解：（）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的

2、人数为. 4分（）记3名男同学为，2名女同学为. 从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有，共10个. 6分用表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则中的结果有6个，它们是：. 8分所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. 10分（）. 13分（17）（共14分）证明：（）在菱形中，.因为 平面，平面， 所以 平面. 3分（）连接. 在正方形中，. 因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 5分因为 平面， 所以 . 6分在菱形中，.因为 平面，平面，所以 平面. 8分因为 平面， 所以 . 10分（）四点不共面. 理由如下： 11分因为 分别是的中点，所以 .同理可证：

3、.因为 平面，平面，平面，平面， 所以 平面平面.因为 平面，所以 平面，即四点不共面. 14分（18）（共13分）解：（）由题意可知椭圆的标准方程为：，则.所以 椭圆的长轴长为. 2分因为 ，所以 ，即的离心率为. 4分（）若三点共线，由是线段的垂直平分线可得：. 6分由（）可得，设. 7分所以 . 又因为 ， 10分由可得： （舍），或 11分当时，直线的方程为，显然满足题意.所以 存在直线使得三点共线，直线的方程为. 13分（19）（共13分）（）解：. 1分因为 切线过原点，所以 . 3分解得：. 4分（）证明：设，则. 令，解得. 6分在上变化时，的变化情况如下表-+ 所以 当时，取

4、得最小值. 8分 所以 当时，即. 9分（）解：当时，集合的元素个数为0； 当时，集合的元素个数为1；当时，集合的元素个数为2；当时，集合的元素个数为3. 13分（20）（共14分）解：（）因为 ， 所以 ，. 因为 ， 所以 ，即. 2分所以 .所以 数列是以1为首项，3为公差的等差数列.所以 . 4分（）若数列是等比数列，则. 由（）可得：. 6分 解得：. 当时，由得：. 显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列. 所以 . 7分（）当时，由（）知：. 所以 ，即数列就是一个无穷等差数列. 所以 当时，可以得到满足题意的等差数列. 当时，因为 ，即， 所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列. 所以 .下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为. 设数列的公差为.当时，.所以 数列是各项均为正数的递减数列.所以 .因为 ，所以 当时，这与矛盾.当时，令，解得：.