线性代数第一,二节行列式的定义

1、线性代数线性代数数学与信息科学学院数学与信息科学学院Tel:el:赵 涛涛 19世纪后期发展起来的一个数学分支世纪后期发展起来的一个数学分支, 高等院校理工科各专业及经济管理等专业的一门高等院校理工科各专业及经济管理等专业的一门基础必修课，基础必修课， 硕士研究生入学考试数学科目中的一部分。本课硕士研究生入学考试数学科目中的一部分。本课程主要讨论有限维线性空间的线性理论与方法，具有程主要讨论有限维线性空间的线性理论与方法，具有较强的逻辑性，抽象性与广泛的实用性。较强的逻辑性，抽象性与广泛的实用性。线线性性代代数数简简介介：1.公理化的研究方法

2、（定义，定理公理化的研究方法（定义，定理 性质）性质）2.概念较多，须掌握概念较多，须掌握3.逻辑推理多（证明多，计算简单，而且证明逻辑推理多（证明多，计算简单，而且证明 都从定义定理出发）都从定义定理出发）4.内容是一块一块的，且矩阵串联起了各块内容是一块一块的，且矩阵串联起了各块特特 点点内内 容容第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵矩阵第三章第三章 线性方程组线性方程组 第四章第四章 向量空间向量空间第五章第五章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量第六章第六章 二次型二次型第一章第一章 行列式行列式v行列式的定义行列式的定义v行列式的性质行列式的性质v行列式的计算行列式

3、的计算v克莱姆法则克莱姆法则v【理解理解】v【熟记熟记】v【重点重点】v【了解了解】第一节第一节 二、三阶行列式二、三阶行列式用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x0.二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方

4、程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 其中元素其中元素 aij 的第一个下标的第一个下标 i 为行指标为行指标，第二个下标第二个下标

5、j 为为列指标列指标。即即 aij 位于行列式的第位于行列式的第 i 行第行第 j 列列。11a12a22a12a主主对角线对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 一、二一、二阶阶行列式的计算行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD 则二元则二元线性

6、方程组的解为线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分子、分母都为原方程组的系数行列式分子、分母都为原方程组的系数行列式. .2221121122111122aaaababaDDx 【练习】2341 4312 10 1 435xaby (1)5xy 12ab 二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aa

7、aaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三元素的乘积为负号元

8、素的乘积为负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第二节第二节 n阶阶行列式行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211? 一、排列与逆序一、排列与逆序定义定义 由由1，2， ，n 组成的有序数组称为组成的有序数组称为 一个一个n级排列级排列。记为。记为 j1 j2 j

9、n. 例如例如 32541 是一个是一个5级排列级排列 83251467是一个是一个8级排列级排列3级排列的全体共有级排列的全体共有6种，分别为种，分别为 123，231，312，132，213，321n级排列的种数为级排列的种数为! 321) 1(nnn不遗漏不遗漏不重复不重复其中其中 称为自然排列。称为自然排列。n12定义 在在一个排列 中，若数 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 nstiiiii21stii 例如 排列 32514 中 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序。排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义1.21.2

10、一个排列j1 j2 jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 ( j1 j2 jn )例如 排列 32514 中3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.分别计算出排列中分别计算出排列中( (从右到左）每个元素前面比它大从右到左）每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数总和即为所求排列的逆序数. .方法方法2 2分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别

11、算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数. .n,n,121 n,n,121 n计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 13 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列 32514 的逆序数为13010. 5 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例例 2 2 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.在排列在排列32514中中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1例例 3

12、3 计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.21798635445368971241018 010345401 543100法法1 145368971254431001018 54 0100134 例例 3 3 计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.217986354法法2 2 32121 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶数；时为偶数；14 ,4 kkn当当 时为奇数时为奇数.34 , 24 kkn1 n 2 n 32121 nnn1 n 2 n例例 4 4 计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算排列的逆序数，并讨

13、论它们的奇偶性.逆序数的性质逆序数的性质， 0)12( n 2)1()321)1( nnnn 2)1()(021 nnjjjn 定义定义1.3 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列， 如如 32514 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列。偶排列。 为偶排列为偶排列217986354 为奇排列为奇排列 是是偶偶排排列列？为为何何值值时时例例：9561274,kiki, 3, 88, 3 kiki或或解：解：时，时，8, 3 ki )127435689( , 5,3, 8时时当当 ki )127485639( ,10是偶排列是偶排列排列的奇偶性排列的奇偶性定义定

14、义1.4在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab对换对换定理定理1.11.1一个排列中的任意两个元素对换，排一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性列改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,a

15、abba当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为nmlcbcbabaa111当当 时，时，ba 现来对换现来对换 与与a.b次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中

16、的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab定理定理1.21.22 n时，时，n n个数的所有排列中，奇偶排列各占个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各一半，各为为2!n个个.证明证明 设设n个数的排列中，个数的排列中，奇排列有奇排列有 p 个，偶排列有个，偶排列有 q 个个，则则 pqn！对对 p 个奇排列，施行同一对换，个奇排列，施行同一对换，则由定理则由定理1.1得到得到 p 个偶排列个偶排列.（而且是（而且是p个不同个不同的偶排列）的偶排列）因为总共有因为总共有 q 个偶排列，所以个偶排列，所以qp ,同理同理pq 所以所以2!nqp 二、二、n

17、n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 项项!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为211312322311aaa列标排列的逆序数为101

18、132偶排列奇排列奇排列正号正号 负号.) 1(321321321)(333231232221131211ppppppaaaaaaaaaaaannnnnnnppppppaaaaaaaaaDaaannnnn21222211121121)(2.)1(2121 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由 定义定义.ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa nnnnpppppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 npp

19、ppppnnaaaD21)(21211其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .nppp21 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为nnnqpqpqpaaaD22111nnqqq,ppp2121其中其中 是两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .n更一般的我们有:定理定理令令nnjijijiaaa2211是是n阶行列式中的任一项，阶行列式中的任一项，则项则项nnjijijiaaa2211的符号等于的符号等于)()(2121)1(nnjjjiii 得行列式的得行列式的等价定义等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212

20、222111211nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( nnnnnniiijjjjijijijjjiiiaaa212122112121)()()1( nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1( 例例1 1 在在6 6阶行列式中，下列项应带什么符号阶行列式中，下列项应带什么符号. .;651456423123aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数的逆序数为为012201 , 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa651456423123)2(a

21、aaaaa,566514234231aaaaaa342165的逆序数的逆序数为为002301 , 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa行标排列行标排列234516的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列312645的逆序数为的逆序数为4011011 4000040 651456423123)3(aaaaaa所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义

22、的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121.1)(21nppp例例2 2计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例3. 计算计算nnD0000000010020001000 解：解：!)1(2)2)(1(nnn 1)2)(1() 1(nnn ! n 1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDa aa 例例4 4 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211展开式中项