排列与组合教学设计

1、精品文档【课题】 31 排列与组合（一）【教学目标】知识目标：理解排列的定义，掌握排列数的计算公式能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高【教学重点】排列数计算公式【教学难点】排列数计算公式【教学设计】复习两个计数原理，一方面它是复习回顾，另一方面是做好衔接，为下面的问题及排列数的计算奠定基础一个排列元素是不可重复的也就是说，利用排列研究问题时，元素是不可以重复选取 对于元素可以重复选取的问题是直接应用两个计数原理计算的问题排列的概念中有两个要素一个是不同的元素，另一个是一定的顺序从n 个不同元素中，取出m( m n) 个不同元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不

2、同元素中取出m个不同元素的排列数，用符号 Pm 表示 . 采用这个符号是执行国家的新规定有些教材中使用符合A m 表示例 2 是nn巩固排列数公式的题目例 3 与例 4 是排列的实际应用题 其中例 3 是基础题， 解题关键是搞清原来不同元素的个数、取出不同元素的个数、是否有序 例 4 是综合利用计数原理与排列知识的题目 讲解时要注意进行数学方法的渗透首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置， 分步骤来研究问题， 这种研究方法是本章中经常使用的方法排列数的计算一般的数字都是比较大，比较麻烦， 采用计算器来完成计算非常便捷教材介绍了利用计算器计算排列数的方法【教学备品】教学课件【课时安

3、排】2 课时 (90 分钟 )【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间* 揭示课题3 1排列与组合介绍了解0。1欢迎下载精品文档教学教师学生教学时过程行为行为意图间* 创设情境兴趣导入基础模块中，曾经学习了两个计数原理大家知道：（ 1）如果完成一件事，有 N类方式 . 第一类方式有k1 种方法，第二类方式有k2 种方法， ，第n 类方式有 kn 种方法，那么完成这件事的方法共有N = k1 + k2 + kn （种）（ 3.1 ）（ 2）如果完成一件事，需要分成N 个步骤完成第1 个步骤有 k1 种方法， 完成第 2 个步骤有 k2 种方法， ， 完成第n 个步骤有 kn 种方法，并且

4、只有这n 个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N = k1 k2 kn （种）（ 3.2 ）下面看一个问题：在北京、重庆、上海 3 个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？这个问题就是从北京、重庆、上海3 个民航站中，每次取出 2 个站，按照起点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数 .首先确定机票的起点，从3 个民航站中任意选取1 个，有3 种不同的方法；然后确定机票的终点，从剩余的2 个民航站中任意选取 1 个，有 2 种不同的方法根据分步计数原理，共有 3 2=6 种不同的方法，即需要准备 6 种不同的飞机票：北京重庆，北京上海，重庆北京，重庆上海

5、，上海北京，上海重庆 .* 动脑思考 探索新知我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，上面的问题就是：从3 个不同元素中，任取2 个，按照一定的顺序排成一列，可以得到多少种不同的排列.一般地，从n 个不同元素中，任取m(m n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个 排列 ， mn 时叫做 选排列 ， mn 时叫做 全排列 .* 巩固知识 典型例题例 1 写出从 4 个元素 a, b , c , d 中任取 2 个元素的所有排列播放观看引导课件课件启 发质疑思考学 生得 出结果15总结思考引 导归纳学 生发 现分析理解解 决关键问 题词语记忆方法2

6、0引领观察注意。2欢迎下载精品文档教学教师学生教学时过程行为行为意图间分析首先任取 1 个元素放在左边，然后在剩余的元素中观察任取 1 个元素放在右边讲解思考学生解所有排列为说明是否ab,ac, ad , ba, bc,bd ,ca, cb, cd , da.db, dc 主动理解求解知识【说明】点如果两个排列相同，那么不仅要求这两个排列的元素完全相同，而且排列的顺序也要完全相同25* 动脑思考 探索新知从 n 个不同元素中，取出 m( m n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数， 用符号 Pnm表示 .例 1 中，从 4 个元素 a, b , c , d

7、中任取 2 个元素的的排列数为 P42 可以看到P4212 下面研究计算排列数的公式计算 Pnm 可以这样考虑：假定有排列顺序的m 个空位（如图 31）第 1 位第 2 位第 3 位第 m位图 31第一步，从 n 个元素中任选 1 个元素，填到第 1 个位置，有 n 中方法；第二步， 从剩余的 n 1 个元素中任选 1 个元素， 填到第 2 个位置，有 n 1 种方法；第三步， 从剩余的 n 2 个元素中任选 1 个元素， 填到第 3 个位置，有 n 3 种方法；第 m步，从剩余的 n（ m1）个元素中任选 1 个元素，填到第 m个位置，有 n m+1 种方法；根据分步计数原理，全部填满空位的

8、方法总数为n( n1)( n 2)( n m+1) 由此得到，从n 个不同元素中任取m( m n) 个元素的排列数 Pnm 为总结思考启发归纳引 导学 生发 现解 决问 题的 方法。3欢迎下载精品文档教学过程m= ( 1)(n2) ( +1)（3.）Pnn nn m其中， m， nN * ，且 mn公式（ 3.3 ）叫做排列数公式当 m=n 时，由公式（ 3.3 ）得Pnn =n( n 1)( n 2)3 2 1.（ 3.4 ）正整数由1 到 n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作n!.【说明】规定0!1即 n ! = n( n 1)( n2) 3 2 1.因此公式（ 3.4 ）还可以写成Pn=n

9、!（3.5 ）n一般地，Pnmn(n1)(n2)L ( n- m+1)= n(n 1)(n 2) L (nm 1)L 2 1( n m) L 21n!（ n m)!因此，当时，公式（ 3.3 ）还可以写成m nPnmn!（3.6 ）（ n m)!* 巩固知识 典型例题【例题】例 2计算 P52和P44教师学生教学时行为行为意图间仔细理解分析讲解关键词语记忆40引领观察注意。4欢迎下载精品文档教学教师学生教学时过程行为行为意图间解P52=54=20，观察讲解思考学生44！432 124说明是否P4主动理解例 3小华准备从 7 本世界名著中任选 3 本，分别送给甲、求解知识乙、丙 3 位同学，每人

10、1 本，共有多少种选法？点分析选出 3 本不同的书， 分别送给甲、 乙、丙 3 位同学，观察书的不同排序，结果是不同的. 因此选法的种数是从引领5 个不同元素中取3 个元素的排列数解不同的送法的种数是P73765210分析思考即共有 210 种不同送法说明公式（ 3.3 ）与公式（ 3.6）都是计算排列数的公式 .计算排列数，通常使用公式（3.3 ）；进行有关排列数的证明与研究通常使用公式（3.6）.例 4 用 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的 3位数？分析 因为百位上的数字不能为0 ，所以分成两步考虑问题第一步先排百位上的数字；第二步从剩余的数字中任取2个数排列说明理解学

11、生解所求三位数的个数为P91P929 (9 8) 648自我发现【说明】归纳象例4 这样，“首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题”是本章中经常使用的方法引领思考讲解主动说明求解55* 动脑思考 探索新知【计算器使用】利用计算器，可以方便地求出任意一个正整数的阶乘. 以仔细思考启 发计算为例，计算方法是： 输入数字 4，然后依次按键 SHIFT 、 分析引 导4！讲解学 生x!、 = ， 显示 24. 即 4！=24.利用计算器，可以方便地计算排列数. 以计算 P63 为例，计关键发 现词语解 决算方法是：输入数字6，然后依次按键SHIFT 、 nPr，然问 题

12、的 方。5欢迎下载精品文档教学教师学生教学时过程行为行为意图间后输入数字3，按键 =，显示 120. 即 P63=120.记忆法60* 运用知识 强化练习1. 填空及时（ 1）已知 Pn2=56，那么 n=.了解提问动手学生（ 2）用 1， 2， 3， 4， 5 这五个数字组成没有重复数字的巡视求解知识三位数，共有个 .指导掌握2. 在 A， B， C， D 四个候选人中，选出正副班长各一个，情况选法的种数是多少？65* 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：排列数计算公式的内容是什么？结论：从 n 个不同元素中任取 m(m n) 个元素的排列数 Pnm 为 Pnm =n( n 1)( n2)

13、 ( n m+1)* 归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？* 自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？用 1，2，3， 4， 5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？* 继续探索 活动探究(1) 读书部分：教材(2) 书面作业：教材习题 31（必做）；学习指导 31（选做）(3) 实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；回答师 生质疑共 同理解归 纳强 调归 纳强化重点强调70引导回忆75培 养反 思提问反思学 习过 程巡视动手的 能

14、指导求解力85说明记录分 层次 要求90。6欢迎下载精品文档是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；学生实践的情况在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】 3 1排列与组合（二）【教学目标】知识目标：理解组合

15、的定义，掌握组合数的计算公式能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高【教学重点】组合数计算公式。7欢迎下载精品文档【教学难点】组合数计算公式【教学设计】组合与排列的区别是，组合与顺序无关因此判断是排列问题还是组合问题的关键是看元素是否有序从n 个不同元素中取m（ mn）个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cnm 表示组合数的计算公式及组合数的性质中，教学重点是组合数计算公式和性质1利用它们可以方便地计算组合数例5 是组合数计算问题例6 是组合的实际应用与排列数的计算一样，教材介绍了利用计算器计算组合数【教学备品】教学课件

16、【课时安排】2 课时 (90 分钟 )【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间* 揭示课题3 1排列与组合介绍了解0* 创设情境兴趣导入在北京、重庆、上海 3 个民航站的直达航线之间，有多少种不同的飞机票价（假设两地之间的往返票价和舱位票价是相同的）：飞机票的价格有如下三种：北京重庆（重庆北京）北京上海（上海北京）重庆上海（上海重庆）这个问题，是从 3 个不同的元素中任取 2 个，不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不同的组一般地，从n 个不同的元素中，任取m（ m n）个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取个不同元素的一个m组合三地之间不同的飞机票价种数，就是从3 个不

17、同元素中，取出 2 个不同元素的所有组合的个数【注意 】：组合问题与排列问题的区别是：从n个不同元素取（ m mn）个元素的一个组合，与m 个元素排列的顺序无关，而从n个不同元素中取（ ）个元素的一个排列，与个元素的m m nm排列顺序有关播放观看引导课件课件启 发质疑思考学 生得 出结果。8欢迎下载精品文档教学教师学生教学时过程行为行为意图间15* 动脑思考 探索新知一般地，从 n 个不同元素中取 m（ m n）个不同元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个不同元素的组合数，用符号Cmn 表示下面我们通过研究计算C34 的方法来研究组合数的计算公式我们用两种不同的方法来计算P

18、43 方法 1：P43 =4 3 2方法 2：从 4 个不同元素中取3 个不同元素的一个排列，可以分两步完成第一步，从 4 个不同元素中取3 个元素组成一组， 有 C43 种取法；第二步，对每一组中的3 个不同元素进行全排列根据分步计数原理，得P43C34 g3!，所以C 43P433!类似地，可以得到组合数的计算公式一般地，求从n个不同元素中取（ ）个不同元素的mm n组合数为总结思考引 导CnmPnmn(n1)(n2).(nm1)（ 3.7）归纳学 生Pmmm!发 现mn!， PmCmPm解 决由于问 题Pn( nm)!nng m，方法故组合数公式还可以写作Cnmn!m)!（ 3.8）m!

19、( n。9欢迎下载精品文档教学过程其中 n, mN * ，并且 m n可以证明，组合数具有如下性质（证明略）：性质 1CmnCnn m（ m n）利用这个性质， 当 m n 时，通过计算 Cnn m 可以简单得到2Cmn 的值，如C1820C202018C 20220 191902!性质 2Cnm 1C nmCnm 1 （ m n）性质 2 反映出组合数公式中的m与 n 之间存在的联系* 巩固知识 典型例题例 5计算 C73、C44 和 C50解C74C37P73765 =35；3!3!4P441；C44!4!C505!5!10!(50)!5!说明一般地，可以得到Cnn1， Cn01例 6 圆

20、周上有 10 个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以画多少个？分析 只要选出三个点三角形就唯一确定，与三个点的排列顺序无关，所以是计算从10 个不同元素中取 3 个元素的组合数问题解可以画出的圆内接三角形的个数为教师学生教学时行为行为意图间分析理解关键词语记忆35引领观察注意观察讲解思考学生说明是否主动理解求解知识点。10欢迎下载精品文档教学过程3C10120个即可以画出120 个圆内接三角形说明公式（ 3 7）与公式（ 3 8）都是计算组合数的公式计算组合数，通常使用公式（ 3 3 ）；进行有关组合数的证明与研究通常使用公式（ 3 6）* 动脑思考 探索新知【计算器使用】利用计算器可

21、以方便地计算组合数以计算 C62 为例， 计算方法为：输入数字6，依次按键 SHIFT、 nCr , 然后输入数字 2，按键 = ，显示 15即 C62 =15* 运用知识 强化练习1 计算下列各数：（1） C27 ；（ 2） C45 ；（ 3） C83 ；（ 4） C1012 2 6 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？3 从 3， 5， 7， 11 这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？* 理论升华整体建构教师学生教学时行为行为意图间50引 导仔细思考学 生分析发 现讲解解 决关键问 题词语记忆方法60及时了解提问动手学生巡视求解知识指导掌握情况65思考并回答下面的问

22、题：回答师 生组合数计算公式的内容是什么？质疑共 同理解归 纳结论：强 调从 n 个不同元素中任取m( m n) 个元素的组合数Cnm 为归 纳强化重点CnmPnmn(n1)(n 2).(n m 1)强调70Pmmm!* 归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75* 自我反思 目标检测培 养本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？反 思你的学习效果如何？提问反思学 习过 程1 学校开设了6 门任意选修课， 要求每个学生从中选学3巡视动手的 能门，共有多少种不同的选法？。11欢迎下载精品文档教学教师学生教学时过程行为行为意图间2现有 3 张参观券，要在5 人中

23、确定 3 人去参观，共有指导求解力多少种不同的选法？85* 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材说明记录分 层(2)书面作业：教材习题31（必做）；学习指导 31（选次 要求做）(3) 实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题90【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；学生思维情况是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生是否善于与人合作

24、；学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生是否愿意开展实践；学生实践的情况能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；。12欢迎下载精品文档能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】 31 排列与组合（三）【教学目标】知识目标：利用排列数组合数计算公式解决简单的应用问题能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高【教学重点】排列与组合的综合应用【教学难点】排列与组合的综合应用【教学设计】实际应用过程中，要注意区分以下3 点：（ 1）元素是否允许重复元素不允许重复的是排列与组合问题；元素允许重复的是直接应用计数原理的问题（ 2）元素是否有

25、序有序是排列问题，无序是组合问题（ 3）是否需要分类或分步骤来进行研究例7 是简单的排列与组合训练题 要注意分清是排列问题还是组合问题例 8 是产品检验的抽样计算问题，是组合应用的典型问题在题目的说明中，介绍了对立事件例9 是照相排队问题，是排列应用的典型问题要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或位置”这种分步骤研究方法的使用例10 是排列组合综合应用问题“先取出元素，然后再安排”是这类问题的典型方法例11 元素可以重复，不是排列与组合问题，直接应用分步计数原理计算【教学备品】教学课件【课时安排】2 课时 (90 分钟 )【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间* 揭示课题

26、3 1排列与组合介绍了解1。13欢迎下载精品文档教学过程* 巩固知识 典型例题例 7从 5 名学生中，选出2 名学生（ 1）去参加一个调查会，有多少种不同的选法？（ 2）担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？分析 两个人参加一个调查会，是无序的，是组合问题；两个人担任两项不同的工作，是有序的，是排列问题解 （1）不同的选法共有C525410 （种）21（ 2）不同的选法共有P525 4 20 （种）例 8100 件产品中有两件次品，从中任意抽取3 件产品进行检查问（ 1）一共有多少种不同的抽取方法？（ 2）抽取的 3 件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多少种？（ 3）抽取的 3 件产品

27、中，至少有一件是次品的不同抽取方法有多少种？解 （1）不同的抽取方法的总数为从100 件产品中取出3件的组合数21009998C100161700（ 2）分成两步来完成第一本从2 件次品中抽出1 件，第二步从98 件正品中抽出的2 件中 . 由分步计数原理知，恰有1 件次品的不同抽取方法的种数为189897C2C982950621（ 3）从任意抽取不同的 3 件产品的抽取方法总数中，减去 3 件全是正品的抽取方法种数，就是至少有一件是次品的不同抽取方法种数即C1003C3981617001520969604教师学生教学时行为行为意图间引领观察注意观察讲解思考学生说明是否主动理解求解知识点引领观

28、察讲解说明思考注意观察主动学生引领求解是否理解观察知识点分析思考【想一想】例 8（3）是否还有其他的解法？例 9 如果 7 名学生照集体像，要排成一列，有两名学生必须要相邻，那么共有多少种不同的排法？分析分成两步来排队 第一步，将这两个人的顺序排好；第二步，将这两个人作为一个总体，与剩下的 5 名学生一起排队说明解不同的排法共有学生。14欢迎下载精品文档教学教师学生教学时过程行为行为意图间P22P66216543211440 （种）自我引领理解发现【说明】归纳要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或讲解位置”这种分步骤研究方法的使用说明例 10从 6 名男生和 5 名女生中选出3 名

29、男生和 2 名女生排成一行，有多少种不同排法?分析可以首先将男生选出，再将女生选出，然后对选出思考的 5 名学生排序解 不同排法的总数为C63 C52 P556545454 32 124000 （种）主动求解例 11321210、1、 2、3、 4、 5、6、 7、某城市的电话号码是从8、 9 中取 8 个数字组成（允许数字重复），但 0和 1不能作为电话号码的首位数问该城市最多可以装多少部电话？分析将一个电话号码的组成分成两个步骤第一步，选首位数字，从 2、3、 4、 5、 6、7、 8、9 中取 1 个数；第二步，从第 2 位至第 8 位，每个位置填入上述10 个数字中的任意一个数再根据分步计数原理计算解城市最多可以装电话的数量为C18 C101C101 C101C101C101C110C1018 10780000000（部）【注意】研究实际问题的时候，一定要注意区别是否允许重复，是否有序的问题45* 运用知识 强化练习1平面内有 8 个点及时（ 1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？了解（ 2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？提问动手学生2某城市的电话号码是由 0 到 9 中的 7 个数字组成（允巡视求解知识许重复），问该城市最多可以装多少部电话？指导掌握。15欢迎下载精品文档教学教师