线性代数——矩阵的运算-文档资料

1、上页上页下页下页返回返回1第二节第二节 矩阵的计算矩阵的计算 一、一、 矩阵的加法矩阵的加法 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 四、四、 矩阵转置矩阵转置 五、方阵的行列式五、方阵的行列式 六、六、 共轭矩阵共轭矩阵 七、矩阵的应用七、矩阵的应用上页上页下页下页返回返回2、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 上页上页下页下页返回返回3说明说明 只有

2、当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 上页上页下页下页返回返回42 2、矩阵加法的运算规律、矩阵加法的运算规律 ;ABBA1 .ABCABC21 1、定义、定义,AAA 数数 与与矩矩阵阵 的的乘乘积积记记作作或或规规定定为为 矩矩阵阵 与与的的差差规规定定为为记记为为上页上页下页下页返回返回5.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、 ;1AA ;2A

3、AA .3BABA 上页上页下页下页返回返回6矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵统称为矩阵的的线性运算线性运算. .12123,t tx xx设设变变量量到到变变量量的的线线性性变变换换为为 111 112 2221 122 2331 132 2Ix = b t + b tx = b t + b tx = b t + b t ,x x xy y12312变变量量到到变变量量的的线线性性变变换换为为： 11111221332211222233ya xa xa xya xa xa x 上页上页下页下页返回返回7,t ty y1212那那么么变变量量到到变变量量的的线线

4、性性变变换换为为：11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2()()()()()()()yab tb tab tb tab tb tyab tb tab tb tab tb t 111 1112211331111 12122213322221 1122212331121 12222223322()()()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt 即即 111211121321222122233132bbaaaA= B = bbaaabb令 令 11 1112 211

5、3 3111 1212 2213 3221 1122 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba bCa ba ba ba ba ba b 上页上页下页下页返回返回8、定义、定义设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB skkjiksjisjijiijbabababac12211CAB矩阵 是由矩阵 与 按照某种运算得到的，这就是下面要给出的矩阵乘法。11 1112 2113 3111 1212 22

6、13 3221 1122 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba bCa ba ba ba ba ba b 上页上页下页下页返回返回9并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 例例222263422142 C22 16 32 816?设设 415003112101A 121113121430B例例2 2上页上页下页下页返回返回10故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10上页上页下页下页返回返回11注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时

7、，两个矩阵才能相乘.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中 为数）; 注意注意矩阵乘积一般不满足交换律例例 设设 1111A 1111B上页上页下页下页返回返回12则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故方阵的幂1211AnAAAA A设设 是是 阶阶方方阵阵，定定义义：，()klk lklkl+A A = AA= A注意：，()kkkAB= A B但不一定成立。kkAA Ak11，其其中中 为为正正整整数数。上页上页下页下页返回返回13例3nAA设矩阵，求11012A解：11110101120132

8、AA A12110101130143AA A131101011401nnA =利用数学归纳法可以证明，101nn11111010101上页上页下页下页返回返回14例4 ,( + ).n=+=A BAABBA BABABBA设都是 阶方阵，且满足，及证明：222=AABB证明 由已知，有222()ABAABBAB( + ) =+A BAB而已知，所以2+=+AABBABABAABBAB22上页上页下页下页返回返回15AB+ BA= O即A用用 分分别别左左乘乘，右右乘乘上上式式，得得A B+ABA=2ABABA2AB =所以有所以有 AB = BA= O注： 事实上注： 事实上 AB+ ABA=

9、 OABABAOABABA上页上页下页下页返回返回16四、矩阵转置四、矩阵转置定义112111222212()ijmmnnmnAamnaaaaaaaaa设是矩阵，称矩阵设是矩阵，称矩阵T.AA为为矩矩阵阵 的的转转置置，记记为为上页上页下页下页返回返回17转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 上页上页下页下页返回返回18证明：由矩阵乘法定义有：()( )ijijA= am sB= bs n 设设是是一一个个矩矩阵阵，是是一一个个矩矩阵阵，TT()()ijm nijn mABCcB ADd 记记， T()jiABijc由于的第

10、行，第 列的元素为由于的第 行，第 列的元素为1sjijkkikcab TTT11(,)(,)isijjsBibbAjaa而而的的第第 行行为为，的的第第 列列为为，1122.ijijijkijksijsdb ab ab ab a 11(1,2, ;1,2,)sskijkjkkijikkb aa bcin jm ， 上页上页下页下页返回返回19设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 称为称为对称阵对称阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612说明说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称

11、轴对应相 等等.称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT TTTT,() D = CABB A即亦即 上页上页下页下页返回返回20例例5 5 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是是对对称称矩矩证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为证明证明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 上页上页下页下页返回返回21五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行

12、列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 上页上页下页下页返回返回22证明：(1) 由行列式性质即得（2）多次利用行列式性质3，有nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212( )n设阶行列式 32nAnnnnnnnaaaaaaaaa111212122212上页上页下页下页返回返回23nnnnnnnnaaaaDbbbbO1111111111AOEB.D A B由第一章例9得nDbbnbn+分别将 中第1列的倍，第2列的

13、倍，.第 列的倍加到列，112111,nDbbb使 中所在位置的元素为 ，112110ijb同法可使其它所在位置的元素化为0上页上页下页下页返回返回24最后得到最后得到nnnnnnnnn naaccaaccDO1111111111()ni jikk ji jn nkca bcCCAB这里，记，显然1(, , )jnjDrrjnACEO对做运算1 2()nD EOAC有，1()() ().nnnD E CCCAB111.ABA B所以 上页上页下页下页返回返回25定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAA

14、AAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 证明证明 ,ijaA 设设 ,ijbAA 记记则则jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A上页上页下页下页返回返回26六、共轭矩阵六、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得1nkikjkA AA a ijA ijA .EA 上页上页下页下页返回返回27 ;2AA .3BAAB 运算性质运算性质 ;1BABA

15、 （设（设 为复矩阵，为复矩阵， 为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:BA, 上页上页下页下页返回返回28七七矩阵的应用矩阵的应用nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb对于线性方程组11112211211222221122引进矩阵记号，令nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxbAxb，1112111212222212上页上页下页下页返回返回29方程组可以表示为矩阵形式方程组可以表示为矩阵形式Ax = bjjaA设表示矩阵 的第 个向量，即, ,jjjmjaajnaa121 2上述方程组又可以表示为向量形式nnxxxaaab1122上页上

16、页下页下页返回返回30nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxa x11111221221122221122yAx的矩阵形式是 ()ijm nnmxyxyaxyAxy其中， 1122,nmx xxy yy变量到变量的线性变换1212上页上页下页下页返回返回31,t tx x x变量到的线性变换为12123xb tb txb tb txb tb t111 112 2221 122 2331 132 2x = Bt用矩阵表示为：.bbxtbbxtbbxBxt这里，11121121222231323,x x xy y变量到的线性变换12312上页上页下页下页返回返回3

17、2ya xa xa xya xa xa x11111221332211222233y = Ax用矩阵表示：.xaaayxaaayxAyx这里，111121312212223231212,()t ty yy = AB t变量到得线性变换为：()().()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt111 1112 2113 31111 1212 2213 322221 1122 2123 31121 1222 2223 322上页上页下页下页返回返回33矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵 （对称矩阵）（对称矩阵）方阵的行列式方阵的行列式 （伴随矩阵）（伴随矩阵）共轭矩阵共轭矩阵上页上页下页下页返回返回34（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两