241平面向量数量积物理背景及含义

1、1已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做叫做向量向量a与与b的夹角的夹角。OBA问题问题1：回忆一下物理中：回忆一下物理中“功功”的计算，功的计算，功的的大小与哪些量有关？大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？结合向量的学习你有什么想法？|b|cos abB1 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作a b ab=|a| |b| cos注意：向量的注意：向量的数量积是一个数量积是一个数量

2、。数量。 |b| cos叫做向量叫做向量b在在a方向上的方向上的投影投影。问题问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？关系？运算结果还是向量吗？ OAB|b|cos abB1ba等于等于a的长度的长度|a方向上的投影在ab与与cos|b的乘积。的乘积。ABBCCBCAACABABACABC, 6, 3,求中直角例例1ABC36336030150 非零向量的数量积是一个数量，那非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为么它何时为正，何时为0 ,何时为负？何时为负？探究1：| | | | | c co os sa ab ba ab b

3、 | | | | | c co os sa ab ba ab b 探究2：请同学们合作探究，向量共线或垂请同学们合作探究，向量共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？直时，数量积有什么特殊性呢？练习：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0

4、 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 回忆过去研究过的运算律，向量的数回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？量积应有怎样的运算律？ Rzyx,实数中乘法的运算律实数中乘法的运算律yzxzzyxxzyyzxzxyyxxy)()3)()()()2) 1分配律结合律交换律探究3：数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacba 则 (a + b) c = OB1 |c| = (OA1 + A1B1) |c| = OA1|c| + A1B1|c| = ac + bc . OB1A1a+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OA1、A1B1、 O