2019年推荐电大专科微积分初步复习小抄

1、微积分初步一、填空题20分)L函数f(x)(每小题4分，本题共L函数f,Y、1的定义域T(x)ln(x2)是(2,3)(3,)-2727ln31的定义域是-5_x2.函数y(-°q5)1'limxsinxx3.已知f(x)=2x，则f(x)=2x(ln2)2-4若f(x)dxf(2x3)dxF(x)c，则1_F(2x3)c-25.微分方程4xy(y)sinx是3.L函数f(x)点是X2x2x3的间断x11.f(3)7.已知f(x)lnx，则1f(x)/ex书的阶数(2,1)2肺些=2-x0x4-de=dx=edx-5.微分方程y为y=ex.的定义域是ln(x-2)(1,)y,

2、y(0)1的特解x22x,则3.曲线f(x)%反1在(0,1)点的斜率是.24.右f(x)dxcos2x(x)=-4cos2x.(y)3f5.微分方程xy数是2.L函数f(x1)2x22xc，则0的阶L函数f(x1)f(x)x2-1.3.曲线y=vx在点(1,1)处的切线方程是v1x1.yx22f(x)x-1.4. 2.函数xsin2f(x)x2,x=0处连续，141(3x35x5.微分方程xy的阶数是3函数f(x"的定义域是函数f(x则f(x)5. 函数k,x0在则k=2.42)dx3(y)2.1ln(x2)(2,1)siny04x2(1,24若f(x)dxsin2xc，则f(x)

3、1)x2x262xf(x)二4sin2x.5.微分方程3(5)(y)4xy为5L函数“、f(x)y7cosx的阶数12.：4x的定义域是f(0)6.函数f(x)7.函数(2,2)-4若sinxdxcosxC.6.函数f(xf(x)7.若函数.、f(x)2)x24xx2-2.xsin-1,xk,在x=0处连续，则k8.曲线y线斜率是2，则0,&在点(1,1)处的切1.29.1(sinxcos2x1.x2)dx310.微分方程/3.(y)4xy5.6.函数f(xf(x)y6sinx的阶数为1)x2+1x22x9.(sinx)dxsinx+c若f(x)xex,则f(0)-2函数y3(x1)2

4、的单调增加区间是1,)函数f(x)ax21(0,)内单调增加，则足a0微分方程y3y0的通解为yce3x微分方程(y)34xy(4)y7sinx1 的阶数为4阶二、单项选择题(每小题4分,本题共20分)在区间a应满.若f(x)的个原函数为则f(x)xlnx22xc.若f(x)的一个原函数为-x,则f(x)4exf(x)dxxexc，则1xex3.f(x)4.5.6.7.f(x)dxsin2x若f(x)=2cos2xf(x)dxxlnx(x)1xf(x)dxcos2xf(x)4cos2xdedx=e"dxc,(sinx)dxsinxc8.exx09.若f(x)dxF(x)c，则x22x

5、,则f(2x3)dxIf2x23c10.若f(x)dxF(x)c，则c2x3的间断点xf(1x2)dx1F12x2c22f(x1)21.23x0,则12、，(smxcos2xx)dxx212xyx19.若|im笠坐=2,则kx0sinkx10若limsin3xx0kx=2,则k2.上(x54x"2cosx)dx3.已知曲线yL设函数yxxee,则该函2).数是(BA.奇函数非奇非偶函数既奇又偶函数xei2).B.偶函数L设函数yB.偶函数xe，则该函数是(AA.奇函数C. 非奇非偶函数D. 既奇又偶函数3.下列结论中(C)正确.A-f(x)在xx0处连续，则一定在x0处可微.B.函数

6、的极值点一定发生在其驻点上.Cf(x)在xx0处不连续,则一定在x°处不可导.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.4.如果等式则f(x)A.1xC.1x1f(x)e%x(DB.D.12x12x3.下列函数在指定区间(，上单调减少的是(D).X-eD.3xa.sinxCV2CxL设函数y=xsinx,则该函数Jx1在(1,2)1f(1)-2x1.曲线f(x)点的斜率是kk2.曲线f(x)e在(0,1)点的切线方程是yx1_1曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程是_1,小y1*x1)f(x)在任意点x处切线的斜率为jx，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程3是21Ey-x23341/.

7、1右J5x33x2)dx-4-是(B).A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数3.下列函数在指定区间(,)上单调减少的是(B).2cxxD.2c，则c3.4.5.5.由定积分的几何意义知,aa2-x2dxJra2-4即：x2y30(2"2、1ln22x27ln22x若y=x(x1)(x2)(x3),则y(0)=已知f(x)x33x，则-66.7.8._d_dx0：ln(x21)dx0e2xdx=12微分方程yy,y(0)的特解为yexA.cosxB.5-xC.设lnx贝f(x)dxxf(x)=(C).B.蛭4.A.C.lnlnx1-lnx2xD.xln25.下列微分方程

8、中，线性微分方程.A.ysinxyeylnxyyxy2exyxyey2yxlny=yf(x)=0的点一定是的(C)。最值点间断点+1的通解D.3.满足方程函数f(x)1A.极值点B.C.驻点D.5.微分方程y是A.=y(B)Cx1y二e-C.门dxD.5,下列微分方程中为一阶线性微分方程的是(B)A.y'=ex*B.y'+siny=xC.yy2.设函数=sinxdx.x11.当k=(D)“、ex+2,f(x)=<k,时，函数x#0在x=0一定在x0处可微.B. f(x)匡x=x0处不连续,x0处不可导.则一定在'可导函数的极值点一定发生处连续.y=Cex_1；D.

9、y=lx2C2-.的f(x)=-5nln(x_2)定义域是(D).A.(2,+QBC. (2,3)U(3,D. (2,3)U(3,3.下列函数在指定区间(°°)上单调减少的是(A.sinxL函数，/、f(x)C.y=x4C，L函数B.数是(y=x2sinx,则该函A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数A.0B.12函数f(x)点是(A)A.x=1,x=2c.2x3D.3的间断.(2,5)5-CO.5D.既奇又偶函数3.函数fgx2：4的图形D.若f(x)在【a,b内恒有f7x)0，则在a,b内函数是单调下降的.10.若函数f(x)在点xo处可导,+B).2B.3C.xD.x的

10、定义域=ln(x2).+8)B.(-1,+00)_是(CA.(-2,C.(-2,-1)U(-1,+8是关于(D)对称.a.y=xc.y轴D.(-1,0)U(0,+oo)5.下列微分方程中为可分离变量方程的是(CA.下列函数中为奇函数是(C)a.xsinxC.ln(x十寸1+x2)函数y=1b.lnx2D.xx+ln(x+5)的定x4C.2、A.八书；dx半也y'dx)B.D.四=x(yx)dxdydx若函数f(x)(A).2x贝Ulimf(x)x0'.义域为(D).xA5B.x#4xA-5且x,0x一5且x#4W!义域C.d.6.函数“、f(x)ln(x-1)、B.0C.12D

11、.不存在(1,TB.(0,1)一.(1,.二)4.下列无穷积分收敛的是(B)A.C.sinxdx一1dx1x5.微分方程y=yH的通解是(D)B.y=x2cC.idx1xD.(0,2)_.(2,(1,2)一.(2,二)2=x7.设f(x+1)(C)_1,则f(x)=A.y=1x2c2C.y=exc1.函数yxUA.x(x1)C.x(x2)-2B.xD.(x+2)(x1)x=1,x=2,x=3D.无间断点函数y=(x+1)2在区间(-2,2)是(A.单调增加C.先增后减C.1.D)B,单调减少D,先减后增满足方程f'(x)=0的点一定是函数y(C).A.极值点C.驻点若f(x)=f(x)

12、的B.最值点A.函数B-Ijmif(x)在点x0处有定义f(x)=aHA=f(x。)D.间断点-xcosx,则f'(0)=(C).A.2B.1C.-1D.-24.设y=lg2x,则dy=(B).A.1dxB2xxln10C.ln10D-】dxdxxxdx函数f(x)在点x0处连续函数f(x)在点x0处可微11.下列函数在指定区间(皿电上单调增加的是(B).D.y=cex-1的定义域x-3x2(D).A.x=2B.c.x#2且x=0D.x。2且x孝12.若函薮8.下列各函数对中，(D)中的设y=f(x)是可微函数，Idf(cos2x)=(D)a.2f'(cos2x)dxB. f(

13、cos2x)sin2xd2xC. 2f(cos2x)sin2xdx-f(cos2x)sin2xd2x曲线y=e切线的斜率是A.sinx2C.x212.下列结论正确的有(A).A. x0是f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x°)=0x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点若f，x°)=0，则x0必是f(x)的极值点使f'(x)不存在的点定是f(x)的极值点D.3-xxo,一1.下列等式成立的是(A).f(x)dx=f(x)dxB.C.x=1两个函数相等.f(x)=(&)2,g(x)=xg(x)=xg(x)=2lnxg(x)=3lnxC.f(

14、x)=Jx2，2f(x)=lnx，f(x)=lnx3,-4a.e-2b.ec.2e4D.27.若f(x)=xcosx,则f(x)=(C).十1在x=2处c).A.cosxxsinxD.2.若(C)f(x)dx=f(x)d!f(x)dx=f(x)df(x)=f(x)/f(x)dx=x2e2x+c,则f(x)=(AA.2xe2x(1x)2xc.2xeB.2x2e2x2xd.xe1.f(x)二xsinxlimf(x)二xJ.9.当xT0时,下列变量中为1C.12y=x2+4x+7在区间(-5,5)是(C)A.单调增加B.单调减少C.先减后增D,先增后减4.下列无穷积分收敛的是(A二1.13-dx1x

15、3.函数A.D.不存在无穷小量的是(A.1B.xC.ln(1，x)10.当k=x21,f(x)=<C)sinxxD._x_2x(B)时，函数x古，在x=0处连x=0B.cosxxsinxc-2sinx-xcosxd.2sinxxcosx8.若f(x)=sinx+a3，其中是常数，则f”(x)=(C).A.cosx3a2B.sinx6aC.-sinxD.cosx9.下列结论中(B)不正确.A.f(x)在x=x0处连续，则D.3.若f(x)=x.f(x)dx=A.x-xrx2xc3232x_x212.2x:23C.+Jx(xA0)，则(A).B._3x?c4.以下计算正确的是(A)3、dxl

16、n331131_x(sinx)_x2cosx2tanxC.dxdx.=dxxcos-d(-)xx.1sincx5.A.B.C.D.6.A.C.d(1x2)lnxdxxf(x)dxxf(x)d(1)x(A)f(x)cxf(x)c12-xf(x)c2(x1)f(x)c2xa2xB.2xdxdx=(C).2x2aD.lnadx2x.dxc6.下列无穷积分收敛的是二xkedx(B).exdxC.11dxxD.1T7dx7,下列无穷积分收敛的是C.8.sinxdxe2xdx1dxxdx1x7.如果等式1xdxf(x)e1e"f(x)A.1xB.)12x1C.-xD.13.&x2tanx

17、)dx3.计算不定积分(1_2x)9dx14.计算定积分dy解:exlnxdx1e解：xlnxdx=下列微分方程中,性微分方程.2yxA.B.C.D.(D)是线lny2xyxyyysinx9.微分方程y(CC.10.yCxyCyxeeyyexylnx0的通解为下列微分方程中为可分离变)(A).A.y=x2+3B.y=x2+4dxC.箜xydxsinxD.dxdy/x(ydxx)2C.yx2D.ysinxytanx2D.yx12若0(2x+k)dx=2，则k=(A).三、计算题(本题共44分，题11分)2.设ye-xx/x，求dy1每小.A.1B.-1C.0D.1解：y2e"x3x2a

18、.dyx22x的积分曲线1,4)的曲线为1.在切线斜率为族中，通过点2量方程的是(B;B.dy3,下列定积分中积分值为的是dy2x(2e-A.3,计算不定积分B.C.D.xxe-edx2.xx1ee,dx12二，3、，(xcosx)dx:2.、，_(xsinx)dx解：sinx=dx.xjl-f2sin.xd/x4.计算定积分4.设积分f(x)是连续的奇函数,)则定1.解：02xedx1022xexA.C.af(x)dx=-a02-af(x)dxa0f(x)dx象sinxdx=2，(x)dxL计算极限解:2xlimx3limx2.设解：3:x2)dx2sinx_,dxx2cosx1,02xe1

19、0e成2.xlimx3>dx2e2e2x2x2x15x29(x5)(x3)43lncosx，求dy.3(x3)(x3)xx112_x2e1xdx1212e3x13xlim?x1x2捉22e222xlnX；1)_9(1_2x)dx=1(12x)203x2.x6(1-2x)9d(12x)L计算极限2.x四rX-2x3x22解.!xlim2x2xx6，-(x1)(x2)limx2(x2)(x3)x1limx2x3101.2.设解:2.设解:dy计算极限2xlim_x13x22.sinx(2xln2sin5x5cos5x5cos5x3,计算不定积分解：(1x)2x2(1x)2d(14.计算定积分

20、x3x寻1r2l"1)(x2)1(x1)(x1)lncosx,x2limx1x1122x，求dy.1_2xln22,xsinx)dx2.xcos3x,求y.3cos2x(sinx)2x3sinxcos(1x)2:dxxdxx)2一33(1x)3：x_._-sinxdx02:x解：sinxdx3.3-x23；-x22计算不定积分(sinx)cosxtanxxedx5ex51.exdxex计算极限2.xlim2x1xx2(x2)(x4)limx2(xd(5ex)dx25e5ex.x26x8limx1x2x26x82)(x1)limx:(x4)i2(x1)2.设y解cos5x.3lnx,求

21、y3nx5sirtxx.冗025.计算定积分1xcosx2"花osxdxsinx02022兀其02兀2-11.计算极限limx2x15解2xcosxdx02sinxdx0x292xcosxdx032,y(co5)(ln方sirtx5>)3ln><ln>)xsinx亍.2解rx2x15lim5x_3,x9(x3)(x5)limx3(x3)(x3)x5limx3x3L计算极限2.xlimx2cos23x2x24解:2.设y解:dy12.3x2(3、x2设yln解：1y-xxJxcos3x，求dy3x_i2cos3x,3sin3x，3sin3x)dx11cos-()

22、xx1dy=ydx(x13.计算不定积分1初cos-解：xHdxx11cos-x11、，2xlimx-2x24lim(x1)(x2)x2(x2)(x2)3x22xx1limx2x22.计算极限5x6lim、，2x15x62xcos)dxxx1cosdxx2解：lim2x_1x1(x1)(x6)lim玉61(x1)(x1)x1xx29limx3x22x3x29limx3x22x3lim(x3)(x3)x3(x1)(x4.计算极限limx3.解:Jx3lim3)x3x1x26x8lim2x4x5x42xlimx4x5x46x8(x_2)(x_4)x_22-Jim、八'-limx4(x)(x

23、_4)x4x_12x2x6x85.计算极限6x85x62解：limx2x5x6lim(x2)(x4)x2(x2)(x3)2xdx2ydy(ydxxdy)02ydyxdyydx2xdx.y2xdydx2yx111sind()cosxxx代入4.解:xsin2xdxxsin2xdxy(i)1,1412一(一x-xx42代入得c=1。c)，即：特x4limx2x36.设yy(x)是由方程1确定的隐函数,6.计算极限lim1x1X022xy2xy求dy.解：两边对121-xcos2x2xdcos2x1-(xcos2xcos2xdx)1y-x7.求微分方程解为1x42xy1求1-sin2x4的通解。12

24、x2yxi)2xsin2x解：lim1x1x0x(1x'1)(1一x1)忡0导,得:5.xe'dxx(、1x1)limx0x(11)7.计算极限lim1；11x1腿limx0sin4xlim(TT1)(、C1)0sin4x(.1x1)x11lim_lim.x0sin4x(1x1)4x0sin4x<:-。8.计算极限limsin4xx0x42解：|imsin4xx0x42sin4x(.x42)(x42)(.x42)lisin4x(.x42)sim4x,7lim。14lim(Jx411设y=xex,求y.2)解:1y2xex12不xex12xex(2x11)ex2x(xydy

25、7.设xe2.设ysin4x3cosx解:y4cos4x3.设y162yy2(y解：y4.设y1e2x1xxln3cos2xsinx1,求x厂1(osx，求y.解：y3Jx2sinxcosx3Jxtanx2yyy)y1xy(xxy)00,y)，解:xedxdxydxy=y(x)是由方程xeyx24确定的隐函数，求dy.解：两边微分，得：exdxeydxxeydy2xdxxeydy(exey2x)dxexey2x.dxxey8.设cos(x解：两边对y)eycos(xy)ey得：(1y)sin(xy)sin(xy)eyysin(x解:ln20(12.解:1求导,yeyy)yeydy解:y)yy)

26、5.设y22xy求dy.解：两边微分:y(x)是由方程xy4确定的隐函数,sin(xsin(xeysin(xy),sin(xydxesin(xy)y)dxsin(xy)33.xxsinx,dxx3x3xsinx,dx-dxx23lnx-x32.sinxdx32cosx(2x-1)10dx解:(2x-1)10dx11)210112111(2x1)1122(2x1)10d(2x1(2x1)'c3.解:.1sin一Tdxx1sin一-dxxxdex(xexln2xAe(10'ln2x,0e(1+e)dxln2xdx)xeex)2dx解：通解为-p(x)dx1,q(x)=2xsin2x

27、,x'p(x)q(x)ep(x)dxdxc代入得通解为yx(cos2xc)e1(13.解:ex)2d(1ex)(1ex)33e15lnx,dx1xe13lnx,1dx1x15lnx)dlnx-512(15lnx)22xexdx01xexdx09；191xdex04.e1(1e5lnx)d(15lnx)1)四、应用题(本题16分)1、用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设边长x,高h,表面积S,且h_4h2xS(x)x24xh16_x11_xxeedxe00-xsindx02解：7

28、：x.xsindx02xx2xsind(-)022(e1)16令S(x)2xvx0,得xx2,h.最低总费40160(元)S(x)所以，当面积最小S(2)102,1时水箱的5.oxdcx2(xcos-2xcosdx)2x.cosdx23、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为x,高为h,用材料为y,由已知x2h108,hcos-d024sin-224xhx,1084x-x108Tx2432xx2xsinxdx0兀2xsinxdx02xdcosx0(xcosxsinx|216,求微分方程2cosxdx0x所以即当432Tx6是唯一驻点,x2x6是函数的极小值点，6,h您3时用料36足初始条件y(1)解：通解为ye-p(x)dxq(x)ep(x)-，q(x)xP(x)dxdxc最省.5.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，样做法用料最省？解：设底