现代控制理论基础课件第四章

1、1第四章第四章线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性2基本概念基本概念能控性和能观性是表征系统结构特性的两个重要能控性和能观性是表征系统结构特性的两个重要概念概念能控性和能观性的概念，对系统的控制和状态估能控性和能观性的概念，对系统的控制和状态估计问题的研究有重要意义计问题的研究有重要意义粗略地讲，能控性分析系统状态能否被输入控制，粗略地讲，能控性分析系统状态能否被输入控制，而能观性分析系统初始状态能否从对系统输出的而能观性分析系统初始状态能否从对系统输出的观测来得到。观测来得到。3能控性和能观性的直观例子能控性和能观性的直观例子 状态不能控状态不能控2x1x状态不能观状态不

2、能观判断下列电路的能控性和能观测性判断下列电路的能控性和能观测性 4本章主要内容本章主要内容4.1 4.1 线性定常系统的能控性线性定常系统的能控性4.2 4.2 线性定常系统的能观性线性定常系统的能观性4.34.3 线性时变系统的能控性和能观性线性时变系统的能控性和能观性* *4.44.4 离散时间系统的能控性和能观性离散时间系统的能控性和能观性4.5 4.5 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系4.6 4.6 能控标准型和能观标准型能控标准型和能观标准型4.7 4.7 线性系统的结构分解线性系统的结构分解54.1 4.1 线性定常系统的能控性线性定常系统的能控性能控性是系统在控

3、制作用能控性是系统在控制作用u(t)u(t)的控制下，的控制下，系统状态向量系统状态向量x(t)x(t)的转移能力的转移能力和输出和输出y(t)y(t)无关，只需从系统的状态方程无关，只需从系统的状态方程出发研究系统的能控性出发研究系统的能控性64.1.1 4.1.1 能控性定义能控性定义定义定义4-14-1能控性能控性 线性连续定常系统的状态方程线性连续定常系统的状态方程 （4 41 1）如果对任意初始状态如果对任意初始状态 和任意终端状态和任意终端状态 ，存在一个无约束容许输入存在一个无约束容许输入 ，能在有限时间区间，能在有限时间区间 内，内，使系统状态由使系统状态由 转移到转移到 ，则

4、称此系统或则称此系统或 对对是状是状态完全能控的，或简称此系统或态完全能控的，或简称此系统或 对是能控的。否则，对是能控的。否则，则称此系统或则称此系统或 对是状态不完全能控的，或简称不对是状态不完全能控的，或简称不能控。能控。说明：说明：对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点无约束容许输入是指无约束容许输入是指 的每个分量的幅值没有加以限的每个分量的幅值没有加以限制，但制，但 的每个分量均需在时间区间的每个分量均需在时间区间 上平方可积上平方可积 xAxBu00( )xxt1( )xxft( )u t,10tt0 xxf()A,B()

5、A,B()A,Buu,10tt7能控性举例能控性举例例例4 41 1 考虑图考虑图4-2(a)4-2(a)、(b)(b)所示电路系统的能控性。所示电路系统的能控性。)(tuRRRCxyCCRR)(tu1x2xR (a) (b)图图4-2 4-2 不能控电路系统不能控电路系统结论：利用能控性定义，能够对简单的系统进行能控性判断。结论：利用能控性定义，能够对简单的系统进行能控性判断。但分析一般系统的能控性，需要能控性判别准则。但分析一般系统的能控性，需要能控性判别准则。 84.1.2 4.1.2 线性定常系统的能控性判据线性定常系统的能控性判据定理定理4-14-1能控性格拉姆矩阵判据能控性格拉姆矩

6、阵判据 线性连续定常系统线性连续定常系统 为完全能控的充分必要条件是，存在时刻为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使，使如下定义的格拉姆矩阵如下定义的格拉姆矩阵(4(43)3)为非奇异。为非奇异。xAxBu01 t110(0, )AAWBBTttTtcteedt证明：见教材证明：见教材 P115 P115格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导。格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导。1 1、线性定常系统的能控性判据线性定常系统的能控性判据9定理定理4-24-2能控性秩判据能控性秩判据 线性连续定常系统线性连续定常系统为完全能控的充分必要条件为为完全能控的充分必要条件为 （4 41313）式中，

7、式中，n n为矩阵为矩阵A A的维数。的维数。 （4 41414）称为系统的能控性判别矩阵。称为系统的能控性判别矩阵。 xAxBu1BABABnrankn1UBABABn证明：见教材证明：见教材 P116 P116秩判据在线性定常系统的能控性判别中被经常应用秩判据在线性定常系统的能控性判别中被经常应用 U式式（413）等价于矩阵等价于矩阵 行满秩。行满秩。10推论：推论：（1 1）对于单输入系统，能控性判别矩阵为方阵，则有）对于单输入系统，能控性判别矩阵为方阵，则有 能控能控 非奇异非奇异 的值表示了系统能控的程度，即能控度。的值表示了系统能控的程度，即能控度。 的值大表示系统远离不能控，即能

8、控度大。的值大表示系统远离不能控，即能控度大。 能控度的有物理意义为当通过状态反馈移动极点位置时，能控度的有物理意义为当通过状态反馈移动极点位置时，同样的移动距离，能控度越大，所需反馈增益越小，反同样的移动距离，能控度越大，所需反馈增益越小，反之，所需反馈增益越大。之，所需反馈增益越大。 对于多输入系统有类似的关系和性质。对于多输入系统有类似的关系和性质。（2 2）对于多输入系统，）对于多输入系统， 阵非方，阵非方， 为方阵，则有为方阵，则有 能控能控 非奇异非奇异 则能控度即为则能控度即为 的值。的值。 ( , )A bUdet0U detUdetUTUUU(,)A BTUUdetTUU11

9、例例4 42 2 倒立摆系统状态空间描述为倒立摆系统状态空间描述为计算系统的能控性判别矩阵计算系统的能控性判别矩阵 4321432143210001101001100100001000010 xxxxyuxxxxxxxx12计算系统的能控性判别矩阵计算系统的能控性判别矩阵 根据能控性秩判据，系统完全能控。根据能控性秩判据，系统完全能控。 23010110100101110110UB AB A B A B4U rankn13定理定理4-34-3能控性能控性PBHPBH秩判据秩判据 线性连续定常系统线性连续定常系统 xAxBu为完全能控的充分必要条件为为完全能控的充分必要条件为 IABirankn

10、ni, 1 ,IABrank snsC ), 1(nii AC为矩阵为矩阵的所有特征值，的所有特征值， 为复数域。为复数域。或等价地或等价地式中式中， 证明：见教材证明：见教材 P118 P11814例例4 44 4 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为 010001001010,4000101005020 xxun可直接导出可直接导出 10001010100010100520IABsssss15求出求出A A的特征值为：的特征值为： 021 53 54 ， 021 s0100010010104000101005020IA Brank srank当当时，时，53 s510001

11、0510104005101005520IA Brank srank当当时时 ，16当当54 s时时 ，5100010510104005101005520IA Brank srank系统满足系统满足PBHPBH秩判据的能控条件，秩判据的能控条件，所以系统完全能控。所以系统完全能控。 17定理定理4-44-4能控性能控性PBHPBH特征向量判据特征向量判据 线性连续定常系统线性连续定常系统xAxBuABA）（nii, 2 , 1 ATTi0 BT0 为完全能控的充分必要条件为，矩阵为完全能控的充分必要条件为，矩阵的非零左特的非零左特征征的所有列相正交。也即的所有列相正交。也即对对的任一特征值的任一

12、特征值，使同时满足，使同时满足，。 向量不与向量不与（4 43939）的特征向量的特征向量证明：见教材证明：见教材P120P120能控性能控性PBHPBH特征向量判据主要用于理论分析特征向量判据主要用于理论分析 18定理定理4-54-5能控性约当标准型判据能控性约当标准型判据 线性连续定常系线性连续定常系统统 xAxBu为完全能控的充分必要条件为为完全能控的充分必要条件为 An,2112xxBunB(1) (1) 当矩阵当矩阵的特征值的特征值不不存在存在元素全为零的行。元素全为零的行。为两两相异时，为两两相异时，系统通过线性非奇异变换得到的对角线标准型系统通过线性非奇异变换得到的对角线标准型式

13、中，式中，（4 44444）19A(2) (2) 当矩阵当矩阵的特征值是多重根的情况，通过非奇异的特征值是多重根的情况，通过非奇异变换得到的约当标准型变换得到的约当标准型xAxBu1122()(),BJJBABJBn nnpll（4 44545） 式中式中 （4 44646） 对于矩阵对于矩阵 的有相同特征值的约当块的的有相同特征值的约当块的 的最后一的最后一行所组成的矩阵，其行线性无关行所组成的矩阵，其行线性无关。AB证明：见教材证明：见教材P121P121约当标准型判据是一种相当直观的能控性判别方法约当标准型判据是一种相当直观的能控性判别方法 20例例4 45 5 试判定下列系统的完全能控

14、性试判定下列系统的完全能控性700205040021xxu (1) (2)010900000021xxu 211100000000010000010000100000100001000111000021012300000210100000002111xxu判定下列系统的完全能控性判定下列系统的完全能控性222 2、能控性指数、能控性指数 定义定义4-2 4-2 对完全能控线性连续定常系统对完全能控线性连续定常系统定义系统的能控性指数为定义系统的能控性指数为 ， 是使下式成立的最是使下式成立的最小整数小整数 （4 45757） 0,(0),0 xAxBuxxt1minB ABABrankn对单输

15、入完全能控系统，有对单输入完全能控系统，有 。 n 对多输入系统，不妨设矩阵对多输入系统，不妨设矩阵 为满秩。为满秩。 B111121212Ub bbAb AbAbA b A bA bnnnppp23将系统能控性矩阵满秩性的搜索结果重新排列为将系统能控性矩阵满秩性的搜索结果重新排列为 12111111222,;,;,b AbAb b AbAbbAbAbppppnp 21这里显然有：这里显然有： （4-604-60） 则能控性指数则能控性指数 满足满足 （4 46161） 且称且称 为系统的能控性指数集。为系统的能控性指数集。 ,max21p ,21p可推导出能控性指数的取值范围为可推导出能控性

16、指数的取值范围为 （4 46363） /min( ,1) n pn nr24定理定理4-6 4-6 简化的能控性判据简化的能控性判据 线性连续定常系统线性连续定常系统 若若 ，系统为完全能控的充分必要条件为，系统为完全能控的充分必要条件为 （4 46464）0,(0),0 xAxBuxxtBrankr1UB ABABn rn rrankrankn 证明：证明： 见教材见教材P125P125简化的能控性判据能在简化的能控性判据能在能控性判别矩阵中计算较少能控性判别矩阵中计算较少的列来判断的列来判断系统的能控性系统的能控性 ，可减少计算量，可减少计算量 25例例4 46 6 某卫星系统的状态空间描

17、述如下，试判断系某卫星系统的状态空间描述如下，试判断系统的完全能控性。统的完全能控性。 01000030021000010002000110000010 xxuyx系统的能控性判别矩阵的维数为系统的能控性判别矩阵的维数为用定理用定理4-64-6判定系统的能控性，判定系统的能控性，判别矩阵判别矩阵维数为维数为84 46262001002100210000120012004B AB A B矩阵的秩为矩阵的秩为4 4。所以系统完全能控。所以系统完全能控。系统的能控性指数集为系统的能控性指数集为 ，能控性指数为能控性指数为2 2。 判别矩阵计算如下：判别矩阵计算如下：2,2273 3、输出能控性、输出

18、能控性定义定义4-3 4-3 输出能控性输出能控性 线性连续定常系统线性连续定常系统 （4 46565） 如果对任意初始输出如果对任意初始输出 和任意终端输出和任意终端输出 ，存在一个分段连续的输入存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间，能在有限时间区间 内，内，使系统使系统输出输出由由 转移到转移到 ，则称此系统是输出完全能控，则称此系统是输出完全能控的。否则，则称此系统是输出不完全能控的。的。否则，则称此系统是输出不完全能控的。0,(0),0 xAxBuxxyCxDut00( )yyt1( )yyft( )u t,10tt0yyf定理定理4-7 4-7 输出能控性判据输出能控性判据 线

19、性连续定常系统线性连续定常系统（4 46565）为输出完全能控的充要条件为）为输出完全能控的充要条件为 （4 46666）式中，式中， 为系统的输出维数。为系统的输出维数。21CB CAB CA BCAB Dnrankqq28例例4 47 7 某系统的状态空间描述如下，试判断系统的某系统的状态空间描述如下，试判断系统的状态完全能控性和输出能控性。状态完全能控性和输出能控性。系统的状态能控性矩阵为系统的状态能控性矩阵为 ，所以系统状态不完全能控。，所以系统状态不完全能控。输出能控性矩阵为输出能控性矩阵为其秩为其秩为 ，所以系统输出完全能控。，所以系统输出完全能控。 01112110 xxxuy1

20、111UB AB1Urankn 110CBCABD q 1一个系统的两种能控性是没有联系的一个系统的两种能控性是没有联系的294.2 4.2 线性定常系统的能观性线性定常系统的能观性 能观性和能控性在概念上是对偶的能观性和能控性在概念上是对偶的粗略地讲，能观性研究系统初始状态能否粗略地讲，能观性研究系统初始状态能否由系统的输出来估计由系统的输出来估计 若系统是能观测的，则能对系统状态变量若系统是能观测的，则能对系统状态变量进行观测或估计进行观测或估计304.2.1 4.2.1 能观性定义能观性定义 定义定义4-44-4能观测性能观测性 对对线性连续定常系统零输入时线性连续定常系统零输入时的状态

21、空间表达式的状态空间表达式或或 对，如果对任意非零初始状态对，如果对任意非零初始状态 ，都存，都存在有限时刻在有限时刻 ，使得根据在有限时间期间，使得根据在有限时间期间 的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则，则称系统或称系统或 对是状态完全能观测的，或简称此系对是状态完全能观测的，或简称此系统或统或 对是能观的。否则，则称此系统或对是能观的。否则，则称此系统或 对是状态不完全能观的，或简称不能观。对是状态不完全能观的，或简称不能观。 0,(0),0 xAxxxyCxt( ,)A C10tt00( )xxt01 , t t0 x( ,)A C( ,)

22、A C( ,)A C能观性是表征系统状态运动能由输出反映的一种定性特征能观性是表征系统状态运动能由输出反映的一种定性特征为方便讨论，定义中把能观性规定为对初始状态的确定为方便讨论，定义中把能观性规定为对初始状态的确定 31能观性概念的举例说明能观性概念的举例说明例例4 48 8 考虑图考虑图4-3(a)4-3(a)所示电路系统的能观性。所示电路系统的能观性。 (a)(a) (b)(b) 图图4-3 4-3 不能观电路系统不能观电路系统这个电路系统状态是不完全能观的这个电路系统状态是不完全能观的 不能观测的初始状态具有这样的特性不能观测的初始状态具有这样的特性: :由该初始状态引起的由该初始状态

23、引起的系统状态响应不能反映在输出中系统状态响应不能反映在输出中 324.2.2 4.2.2 线性定常系统的能观性判据线性定常系统的能观性判据 1 1、线性定常系统的能观性判据、线性定常系统的能观性判据定理定理4-84-8格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性连续定常系统线性连续定常系统为完全能观的充分必要条件是，存在时刻为完全能观的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵使如下定义的格拉姆矩阵 (4(472)72)为非奇异。为非奇异。0,(0),0 xAxxxyCxt01 t110(0, )AAWC CTttTtotee dt证明证明 ：见教材见教材P128P128能观性的格拉姆矩阵判据

24、也是主要用于理论分析和推导能观性的格拉姆矩阵判据也是主要用于理论分析和推导 33定理定理4-9 4-9 能观性秩判据能观性秩判据 线性连续定常系统线性连续定常系统为完全能观的充分必要条件为为完全能观的充分必要条件为 或或式中，式中，n n为矩阵为矩阵A A的维数。的维数。 （4 47878）称为系统的能观性判别矩阵。称为系统的能观性判别矩阵。0,(0),0 xAxxxyCxt1CCACAnrankn1()CA CACTTTTnTrankn1()VCA CACTTTTTnT秩判据在线性定常系统的能观性判别中被经常应用秩判据在线性定常系统的能观性判别中被经常应用 34例例4 49 9 倒摆系统状态

25、方程空间描述为倒摆系统状态方程空间描述为111222333444xxx01000 xxx00101uy1000 x0001x0 x001101xxx计算系统的能观性判别矩阵计算系统的能观性判别矩阵231000010000100001CCAVCACA4Vrankn根据能观性秩判据可知，该系统完全能观。根据能观性秩判据可知，该系统完全能观。 35定理定理4-104-10能观性能观性PBHPBH秩判据秩判据 线性连续定常系统线性连续定常系统为完全能观的充分必要条件为为完全能观的充分必要条件为 ， （4 47979）或等价地或等价地 （4 48080）式中，式中， 为矩阵为矩阵A A的所有特征值，的所

26、有特征值，C C为复数为复数域。域。 0,(0),0 xAxxxyCxtIACiranknni, 1 ,IACsranknsC ), 1(nii 36例例4 410 10 设线性定常系统的状态空间表达式为设线性定常系统的状态空间表达式为 010001001010,4000101005020 xxun01021010yx可直接导出可直接导出10001000100501021010IACsssss求出求出A A的特征值为：的特征值为： ， ， 021 53 54 37021 s0100001000014005001021010IACsrankrank当当时，时，53 s51000510005140

27、05501021010IACsrankrank当当时时 ，3854s5100051000514005501021010IACsrankrank当当时时 ，系统满足系统满足PBHPBH秩判据。所以系统完全能观。秩判据。所以系统完全能观。39定理定理4-114-11能观性能观性PBHPBH特征向量判据特征向量判据 线性连续定常系统线性连续定常系统为完全能观的充分必要条件为，矩阵为完全能观的充分必要条件为，矩阵A A不能有与不能有与C C的所的所有行相正交的非零右特征向量。也即对有行相正交的非零右特征向量。也即对A A的任一特征的任一特征值值 ，使同时满足，使同时满足 ， （4 48181）的特征向

28、量的特征向量 。0,(0),0 xAxxxyCxt）（nii, 2 , 1Ai0C 0 能观性能观性PBHPBH特征向量判据主要用于理论分析特征向量判据主要用于理论分析 40定理定理4-124-12能观性约当标准型判据能观性约当标准型判据 线性连续定常系统线性连续定常系统为完全能观的充分必要条件为为完全能观的充分必要条件为(1) (1) 当矩阵当矩阵A A的特征值的特征值 为两两相异时，系统为两两相异时，系统 通过线性非奇异变换得到的对角线标准型通过线性非奇异变换得到的对角线标准型0,(0),0 xAxxxyCxtn,2112xxyCxn，中，中， 不存在元素全为零的列。不存在元素全为零的列。

29、C41A(2) (2) 当矩阵当矩阵的特征值是多重根的情况，通过非奇异的特征值是多重根的情况，通过非奇异变换得到的约当标准型变换得到的约当标准型（4 48383） 式中式中 （4 48484） 对于矩阵对于矩阵 的有相同特征值的约当块的的有相同特征值的约当块的 的第一的第一列所组成的矩阵，其列线性无关列所组成的矩阵，其列线性无关。AC约当标准型判据是一种相当直观的能观性判别方法约当标准型判据是一种相当直观的能观性判别方法 ,xAxyCx1212()(),JJACCCCJln nq nl42700205040021xxu 132yx010900000021xxu 012yx例例4 411 11

30、试判定下列系统的完全能观性试判定下列系统的完全能观性(1)(1)(2)(2)431100000000010000010000100000100001000111000021012300000210100000002111xxu100010000100000001001yx(3)(3)442. 2. 能观性指数能观性指数定义定义4-5 4-5 能观测性指数能观测性指数 对完全能观线性连续定常系对完全能观线性连续定常系统统 （4 48989）定义系统的能观性指数为定义系统的能观性指数为 ， 是使下式成立的最小是使下式成立的最小整数整数1minCCACArankn对单输出完全能观系统，有对单输出完全

31、能观系统，有 0,(0),0 xAxxxyCxt n 对多输入系统，对多输入系统， ,max21q 称称 为系统的能观性指数集。为系统的能观性指数集。 ,21qvvv45和能控性情况对偶，能观性指数和能控性情况对偶，能观性指数 的取值范围为的取值范围为 （492） 式中，式中， ， 为为 的最小多项式的阶数。的最小多项式的阶数。若矩阵若矩阵 不满秩，不满秩， ，则能观性指数，则能观性指数 的取值范围为的取值范围为 （493） n / qmin(n,nq1)CrankqnACCranklq /min( ,1) n qn nl46定理定理4-13 4-13 简化的能观性判据简化的能观性判据 线性连

32、续定常系统线性连续定常系统若若 ，则系统为完全能观测的充分必要条件，则系统为完全能观测的充分必要条件为为0,(0),0 xAxxxyCxtranklC1CCAVCAn ln lrankrankn 474.3 4.3 线性时变系统的能控性和能观线性时变系统的能控性和能观性性4.3.1 4.3.1 线性时变系统的能控线性时变系统的能控性性1.1.能控性定义能控性定义定义定义4-64-6能控性能控性 对线性时变系统对线性时变系统如果对于初始时刻如果对于初始时刻 的任意初始状态的任意初始状态 ，存在，存在一个有限时刻一个有限时刻 ，对任意终端状态，对任意终端状态 ，存在一，存在一个无约束的容许输入个无

33、约束的容许输入 ，能在有限时间区间，能在有限时间区间 内，内，使系统状态由使系统状态由 转移到转移到 ，则称此系统在，则称此系统在 时刻时刻是状态完全能控的。否则，则称此系统在是状态完全能控的。否则，则称此系统在 时刻是时刻是状态不完全能控的。状态不完全能控的。000( )( ),( ),xAxBuxxttttt（495） 0t00( )xxt1t1( )xxft( )u t,10tt0 xxf0t0t时变系统的能控性定义中需特别强调在时刻时变系统的能控性定义中需特别强调在时刻 系统是能控的，系统是能控的，时变系统的能控性与所研究的时刻有关。时变系统的能控性与所研究的时刻有关。0t48时变系统

34、能控性定义的一些说明：时变系统能控性定义的一些说明： 1 1）允许输入）允许输入 ，在数学上要求其元在时间，在数学上要求其元在时间 上绝对平上绝对平方可积方可积，即，即 ( )u t,10tt102( )1,2,titu tdtip （4 49696） 2 2）时变系统的状态转移与初始时刻）时变系统的状态转移与初始时刻 有关，对时变系统有关，对时变系统来说，来说， 和初始时刻和初始时刻 的选取有关的选取有关 3 3）根据能控性定义可以得出能控状态和控制作用的关系式。）根据能控性定义可以得出能控状态和控制作用的关系式。 设设 是状态空间中的某一非零状态，是状态空间中的某一非零状态， 为零，根据为

35、零，根据能控性定义有能控性定义有0t1t0t0 x()xft101001( )( , )( , ) ( ) ( )0 xxButfttt ttd101010( , )( , ) ( ) ( )xButftt ttd 100( , ) ( ) ( )Butttd 1000( , ) ( ) ( )xButttd （4 49797） （4 49797）式是一个重要的关系式，能控系统的性质都可由此式）式是一个重要的关系式，能控系统的性质都可由此式出发进行推导。出发进行推导。494 4）非奇异变换）非奇异变换( (等价变换等价变换) )不改变系统的能控性。不改变系统的能控性。设系统在变换前是能控的，即

36、有设系统在变换前是能控的，即有 1000( , ) ( ) ( )xButttd 对对 进行线性变换：进行线性变换： xxPx则有则有 1APAPBPB1000( , )( ) ( )PxPButttd 10100( , )( ) ( )xP PButttd 1000( , ) ( ) ( )xButttd 将上述关系式代入式（将上述关系式代入式（4 49797），有），有 （4 49797） 上式表明非奇异变换不改变系统的能控性。上式表明非奇异变换不改变系统的能控性。505 5）如果）如果 是能控状态，则是能控状态，则 也是能控状态，也是能控状态， 是是任意非零实数任意非零实数 0 x0 x

37、因为因为 是能控状态，所以它必满足式（是能控状态，所以它必满足式（4 49797）即即 由于由于 是任意非零实数，上式两端同时乘以是任意非零实数，上式两端同时乘以 ，并选，并选 代入，有代入，有所以，所以， 也是能控状态。也是能控状态。0 x1000( , ) ( ) ( )xButttd *uu1100*000( , ) ( )( )( , ) ( )( )xBuButttttdtd 0 x6 6）如果）如果 和和 是能控状态，则是能控状态，则 也是能控也是能控状态。状态。01x02x0102xx7 7）系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子）系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空

38、间，此子空间称为系统的能控子空间，记为空间，此子空间称为系统的能控子空间，记为 。xc除第二条特性外，其它特性均适合于线性定常系统。除第二条特性外，其它特性均适合于线性定常系统。 512. 2. 能控性判据能控性判据定理定理4-144-14能控性格拉姆矩阵判据能控性格拉姆矩阵判据 对线性连续时变对线性连续时变系统系统 为系统的状态转移矩阵，则系统在时刻为系统的状态转移矩阵，则系统在时刻 为为完全能控的充分必要条件是，存在时刻完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使，使如下定义的格拉姆矩阵如下定义的格拉姆矩阵 (4(499)99)为非奇异。为非奇异。000( )( ),( ),xAxBuxxtt

39、ttt( , ) 0t01tt 100111()() ( )( )()WBBtTTctt ,tt ,tttt ,t dt证明证明 ：见教材见教材P136P136格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导 52定理定理4-154-15能控性秩判据能控性秩判据 线性连续时变系统线性连续时变系统 设设 的元对时间的元对时间t t分别是分别是n-2n-2和和n-1n-1次连续可微，次连续可微，定义如下一组矩阵定义如下一组矩阵000( )( ),( ),xAxBuxxttttt( ),( )ABtt0( )( )MBtt11( )( )( )( )1,2,.,1MAMMkk

40、kdttttkndt 011( )( )( )( )UMMMntttt0t01tt 1( )Uranktn定义定义 （4 4107107）（4 4106106）则系统在则系统在 时刻能控的充分条件为，存在一个有限时刻能控的充分条件为，存在一个有限时刻时刻 ，使成立，使成立 证明：见教材证明：见教材 P137P137 秩判据运算过程相对简便，但这个判据只是充分性判据。秩判据运算过程相对简便，但这个判据只是充分性判据。 53uxxtxx 10000212100( )( )1MBtt 100( )( )( )( )MAMMtttt 010000tt例例4 412 12 试用秩判据判断下列系统的能控性

41、试用秩判据判断下列系统的能控性通过计算可得通过计算可得010( )( )( )10UMMtttt11det( )U tt只要只要 ，则有，则有 ，所以系统在，所以系统在时间区间时间区间 上是完全能控的。上是完全能控的。 01 t( )2Uranktn, 01t544.3.2 4.3.2 线性时变系统的能观性线性时变系统的能观性1. 1. 能观性定义能观性定义定义定义4-74-7能观性能观性 对对连续时变系统零输入时的状态空间连续时变系统零输入时的状态空间表达式表达式如果对于初始时刻如果对于初始时刻 的任意非零初始状态的任意非零初始状态 ，存在有限时刻存在有限时刻 ，使得根据在有限时间期间，使得

42、根据在有限时间期间 的输出的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称系统在则称系统在 时刻是状态完全能观测的。否则，则称时刻是状态完全能观测的。否则，则称此系统在此系统在 时刻是状态不完全能观的。时刻是状态不完全能观的。 0( ),(0),0( )xAxxxyCxttt0t00( )xxt10tt01 , t t( )y t0 x0t0t时变系统的能观性与初始时刻的选取有关时变系统的能观性与初始时刻的选取有关 55连续时变系统能观性定义的一些说明：连续时变系统能观性定义的一些说明： 1 1）时间区间）时间区间 是确定初始状态是确定初始状态 所需要的观测时所

43、需要的观测时间。对时变系统而言，这个区间的大小和初始时刻间。对时变系统而言，这个区间的大小和初始时刻 的选择有关。的选择有关。 0 ,ft t0 x0t2 2）根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态必）根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态必满足的数学表达式满足的数学表达式 这是一个很重要的关系式。系统能观性方面的性质都这是一个很重要的关系式。系统能观性方面的性质都可由此式推导得出。可由此式推导得出。 （4 4118118）000( )( ,) ,Cx0ftt tttt3 3）对系统作线性非奇异变换，不改变系统的能观性。）对系统作线性非奇异变换，不改变系统的能观性。 4 4）如果）如果 是

44、不能观测的，是不能观测的， 为任意非零实数，则为任意非零实数，则 也是不能观测的。也是不能观测的。0 x0 x565 5）如果）如果 和和 都是不能观测的，则都是不能观测的，则 也是也是不能观测的。不能观测的。 6 6）系统的不能观测状态构成状态空间的一个子）系统的不能观测状态构成状态空间的一个子空间，称为不能观测子空间，记为空间，称为不能观测子空间，记为 。 除第一条特性外，其它特性均适合于线性定常系统除第一条特性外，其它特性均适合于线性定常系统01x02x0102xxox 例：例： 212121111001xxyxxxx，( )y t0012()( )( )xttx tx t00()()1

45、020t tt texex= 1020 xx ( )0y t 若若 , ,则则 系统的不能观状态为系统的不能观状态为 的状态，为两维状的状态，为两维状态空间中的一条态空间中的一条45450 0斜线斜线 21xx 572. 2. 能观性判据能观性判据定理定理4-164-16能观性格拉姆矩阵判据能观性格拉姆矩阵判据 对线性连续时变系对线性连续时变系统零输入时的状态空间表达式统零输入时的状态空间表达式 为系统的状态转移矩阵，则系统在时刻为系统的状态转移矩阵，则系统在时刻 为完为完全能观的充分必要条件是，存在时刻全能观的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下，使如下定义的格拉姆矩阵定义的格拉姆矩阵为非奇异

46、。为非奇异。证明：见教材证明：见教材P140P140 0( ),(0),0( )xAxxxyCxttt( , ) 01tt 0t100100()()( ) ( )()WCCtTott ,tt,tttt,t dt(4(4119)119)(4(4117)117)格拉姆矩阵判据主要用于理论分析格拉姆矩阵判据主要用于理论分析 58定理定理4-174-17能观性秩判据能观性秩判据 线性连续时变系统零输入时线性连续时变系统零输入时的状态空间表达式的状态空间表达式 设设 的元对时间的元对时间t t分别是分别是n-2n-2和和n-1n-1次连续可微，次连续可微，定义如下一组矩阵定义如下一组矩阵0( )( )N

47、Ctt11( )( ) ( )( )1,2,.,1NNNkkkdtt A ttkndt011( )( )( )( )NNVNntttt定义定义 则系统在时刻则系统在时刻t t0 0完全能观的充分条件为，存在一个有完全能观的充分条件为，存在一个有限时刻限时刻 ，使成立，使成立1( )Vranktn秩判据运算过程相对简便。但这个判据只是充分性判据秩判据运算过程相对简便。但这个判据只是充分性判据 ( ),( )ACtt0( ),(0),0( )xAxxxyCxttt01tt 59( ) ,( )ACtt210( )00( )10100ACttttt例例4 413 13 系统的系统的分别为分别为试判别

48、系统的能观性。试判别系统的能观性。解解 通过计算可得通过计算可得0( )( )101NCtt100( )( ) ( )( )NNANtttt 221000001101ttttt 211( )( ) ( )( )NNANtttt tttttt201000001122 42221tttt 60021242( )101( )( )1( )122NVNNtttttttttt只要只要 ，则有，则有 所以系统在时间区间所以系统在时间区间 上是完全能观的。上是完全能观的。 01 t1( )3Vranktn, 01t614.5 4.5 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系 1111111111:x

49、A xB uyC x考虑两个系统，线性定常系统考虑两个系统，线性定常系统 和和 为为2222222222:xA xB uyC x定义定义4-104-10线性定常系统的对偶定义线性定常系统的对偶定义 对线性定常系统对线性定常系统 和和 ，若满足以下条件，若满足以下条件 则称则称 和和 是互为对偶的。是互为对偶的。( (或称对偶系统或称对偶系统) )(4(4141)141)21212121AABCCBTTT12(4(4140)140)(4(4139)139)62对偶系统的特性：对偶系统的特性： 1 1）互为对偶系统的方块图呈现对偶特点。）互为对偶系统的方块图呈现对偶特点。 2 2）互为对偶系统的传

50、递函数矩阵是互为转置的。）互为对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。3 3）互为对偶系统的特征方程）互为对偶系统的特征方程( (特征值特征值) )是相同的，即是相同的，即121111( )()( )GCIABGTsss12IAIAss634.5.2 4.5.2 对偶原理对偶原理定理定理4-234-23对偶原理对偶原理 系统系统 (4(4139)139)为原构系统，为原构系统，系统系统 (4(4140)140)为对偶系统，系统为对偶系统，系统 状态完全能观状态完全能观（状态完全能控）等价于系统（状态完全能控）等价于系统 状态完全能控（状状态完全能控（状态完全能观）的。态完全能观）的。2121由对偶

51、原理可知：由对偶原理可知：1）一个给定系统的状态能控性（能观性）可用其对偶系统的）一个给定系统的状态能控性（能观性）可用其对偶系统的状态能观性（能控性）来判断状态能观性（能控性）来判断2）对偶原理建立系统控制问题和系统估计问题基本结论之间）对偶原理建立系统控制问题和系统估计问题基本结论之间的对应关系。的对应关系。证明：见教材证明：见教材P148P148644.5.3 4.5.3 时变系统的对偶原理时变系统的对偶原理1考虑两个系统，线性时变系统考虑两个系统，线性时变系统 和和 为为2(4(4147)147)(4(4146)146)111111111:( )( )( )xAxBuyCxttt222

52、222222:( )( )( )xAxBuyCxttt定义定义4-10 4-10 线性时变系统的对偶定义线性时变系统的对偶定义 对线性时变系对线性时变系统统 和和 ，若满足以下条件，若满足以下条件 则称则称 和和 是互为对偶的。是互为对偶的。(4(4148)148)1212212121( )( )( )( )( )( )AABCCBTTTtttttt 时变系统的对偶关系和定常系统的对偶关系稍有不同。时变系统的对偶关系和定常系统的对偶关系稍有不同。对偶系统的重要性质对偶系统的重要性质: :两个互为对偶系统的状态转移矩阵互为两个互为对偶系统的状态转移矩阵互为转置逆转置逆 。 65对偶原理是现代控制

53、理论中的一个重要概念，利用对对偶原理是现代控制理论中的一个重要概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易得到其对偶系统能观性方面其对偶系统，从而很容易得到其对偶系统能观性方面的结论。的结论。 对偶原理在以后的章节中还有许多重要的应用。对偶原理在以后的章节中还有许多重要的应用。定理定理4-24 4-24 对偶原理对偶原理 系统系统 (4(4146)146)为原构系统，为原构系统，系统系统 (4(4147)147)为对偶系统，则系统为对偶系统，则系统 状态完全能状态完全能观（状态完全能控）等价于系统观（状态完全能控

54、）等价于系统 状态完全能控状态完全能控（状态完全能观）。（状态完全能观）。2121664.6 4.6 能控标准型和能观标准型能控标准型和能观标准型 4.6.1 4.6.1 单输入单输出系统的标准型单输入单输出系统的标准型 1. 1. 单输入单输出系统的能控标准型单输入单输出系统的能控标准型 定理定理4-254-25能控标准型能控标准型 对完全能控的线性定常单输入对完全能控的线性定常单输入单输出系统单输出系统存在线性非奇异变换存在线性非奇异变换1:xAxbcxuy（4 4156156）-1xPxQ x1112231211000100101PQAbAbbnnnnnn（4 4157157）（4 41

55、58158）67使状态空间表达式（使状态空间表达式（4 4156156）转化为）转化为1:xAxbc xuy式中式中1111-110100000100101 APAP bPbccP nnnn系统特征多项式：系统特征多项式： 111IAnnnnssss系统的传递函数为：系统的传递函数为： 1212112121( )( )( )nnnnnnnnnsssy sg su sssss（4 4159159）（4 4159159）68说明：说明：1 1）对单输入对单输入/输出系统，由其传递函数可直接写出系统的能控标输出系统，由其传递函数可直接写出系统的能控标准型，反之亦然。准型，反之亦然。2 2）A的特征多

56、项式的系数与的特征多项式的系数与A的系数之间有直接对应关系。的系数之间有直接对应关系。3)3) 能控标准型具有特定的形式，在综合系统状态反馈和对系统能控标准型具有特定的形式，在综合系统状态反馈和对系统仿真研究中经常被使用。仿真研究中经常被使用。 证明：见教材证明：见教材P150P15069例例4 416 16 将下列状态空间表达式变换成能控标准型将下列状态空间表达式变换成能控标准型12023111,0010201xxxuy 先判别系统的能控性先判别系统的能控性224161681212UbAbA b3Urankn系统状态完全能控系统状态完全能控 计算系统的特征多项式计算系统的特征多项式 3120

57、3119202IAssssss 3212 ,9,0 即即 7021210100001 ,0290110016421001000186101011221901321Abcc A bAbb 系统的能控标准型为系统的能控标准型为 010000102901321xxxuy 系统的传递函数：系统的传递函数： 2212332312323( )92 ssssg ssssss712.2.单输入单输出系统的能观标准型单输入单输出系统的能观标准型 定理定理4-264-26能观标准型能观标准型 对完全能观的线性定常单输入对完全能观的线性定常单输入单输出系统单输出系统存在线性非奇异变换存在线性非奇异变换 （4 415

58、6156）1:xAxbcxuy1 xPxQ xoo1211322111010010001cAcAPQcnnnnnnoo（4 4172172）（4 4173173）72使状态空间表达式（使状态空间表达式（4 4156156）转化为）转化为 1:xAxbycxu式中式中1111110001001001001 xPAP xPbx cP xxnnnnoooouuy （4 4175175）（4 4174174）系统特征多项式：系统特征多项式： 111IAnnnnssss系统的传递函数为：系统的传递函数为： 1212112121( )( )( )nnnnnnnnnsssy sg su sssss73说明：

59、说明：1 1）能观标准型定理可以和能控标准型的证明过程相类似地进行）能观标准型定理可以和能控标准型的证明过程相类似地进行证明证明2 2）也可以根据对偶原理由能控标准型导出，证明思路如图）也可以根据对偶原理由能控标准型导出，证明思路如图4-54-5所示所示 3 3）根据系统的传递函数可以直接写出系统的能观标准型，反之）根据系统的传递函数可以直接写出系统的能观标准型，反之亦然。亦然。4 4）由于能观标准型具有特定的型式，所以，在综合系统的观测）由于能观标准型具有特定的型式，所以，在综合系统的观测器设计和对系统辨识研究中经常被使用。器设计和对系统辨识研究中经常被使用。 图图4-5 4-5 对偶原理的

60、应用示意图对偶原理的应用示意图74例例4 417 17 将下列状态空间表达式变换成能观标准型将下列状态空间表达式变换成能观标准型13002120,21 10101xxxuy 先判别系统的能观性先判别系统的能观性221146216812cVcAcA3Vrank系统完全能观系统完全能观 计算系统的特征多项式计算系统的特征多项式 392IAsss即即 3212 ,9,0 212111091681221301010462462001001211211cAQcAco7500221303109,4620201021111001AbQ bco 系统的能观标准型为系统的能观标准型为 00231092,0010