-新课标创新理数总复习第六章数列

1、第一节数列的概念与简单表示考纲要求：1了解数列的概念和几种简单的表示方法考纲要求：1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)2. 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.基础知识自查自纠1.数列的有关概念(1) 数列的定义按一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫作首项.数列的分类(3)数列的表示法分类原则类型满足条件按项数有穷数列项数有限分类无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an+1>an其中nN+递减数列an+1<an常数列an+1=an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，

2、有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析式法.2.数列的通项公式(1) 数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.Si,n=1,(2) 已知数列an的前n项和Sn,则an=-g汇丄,n2.自我查验1 判断下列结论的正误.(正确的打“V”,错误的打“x”)(1) an与an是不同的概念.()(2) 所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的.()(3) 数列是一种特殊的函数.()(4) 根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()(5) 如果数列an的前n项和为Sn,则对

3、任意nN+,都有an+1=Sn+1Sn.()1若已知数列an的递推公式为an+1=二,且a2=1,贝V可以写出数列%的任何一2an1项.()答案：(1)V(2)x(3)VV(5)V(6)VX12. 已知函数f(x)=,设an=f(n)(nN+),则对是数列(填“递增”或“递X减”).答案：递增3. 对于数列an,“an+1>|an|(n=1,2,)”是“an为递增数列”的条件.答案：充分不必要14. 在数列an中，a1=1,an=1+(n>2),贝Ua5=.an-1答案：855. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1) 1,(2) 2,0,2,0.答案：(1

4、)an=千一(2)an=(1)n+1+1热点题型-分类突破由數列的前几顷求数列前通项公式由數列的前几顷求数列前通项公式典题1(1)已知nN+,给出4个表达式：an=，°，“为奇数，J,n为偶数,an=1+cosnn2an=nnsin其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的是()B.D.C.写出下面各数列的一个通项公式: 3,5,7,9，,；715314，8'16'32'''一1,一1,32,13133，4，5，6,3,33,333,3333,听前试做(1)检验知都是所给数列的通项公式.，所以an=2于(2) 各项减去1后为正

5、偶数，所以an=2n+1. 每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24, 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为21,偶数项为2+1,所以an=(1)n2+1.'1,n为正奇数，rn也可写为an=3,n为正偶数.n 将数列各项改写为9,T,999,999,分母都是3,而分子分别是101,1021,10333331,1041,，所以an=1(10n1).答案：(1)A方址'规律根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察

6、出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n+1来调整.肴点二由递推公式求通项公式*K题根味穆-戎般球兜】I典题2设数列a*中，a1=2,a*+1=an+n+1,贝Ua*=.听前试做由条件知an+1an=n+1,n2+n+22n+n+22答案:探究1若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=an”,如何求解?n+1解：Tan+1=n+1an,an+1nann+1anan1an2a3a2anan-1an-2an-3,a2a1a1，探究2若将“an+1=an+n+1”改为“a.+1=2a.+3”,如何求解?解：

7、设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+11=2(ant)，即an+1=2ant，解得t=一3.故an+1+3=2(an+3).bn+1an+1+3-令bn=an+3,贝Ub1=a1+3=5，且=2.bnan十3所以bn是以5为首项，2为公比的等比数列.所以bn=5x2nS故an=5X2n13.探究3若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=十3”,如何求解?an十2解：Tan+1=解：Tan+1=2anan+2'a1=2,an*0,111=_+：an+1an21即丄an+1丄an12又a1=2则0；=2111是以;为首项，1为公差的等差数列.n-2=丄2X17-+丄a1=丄

8、an-an=探究4若将本例条件换为“ai=1,an+i+an=2n”,如何求解?解：Tan+1+an=2n,.an+2+an+1=2n+2,故an+2an=2,即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为偶数时，a2=1,故an=a2+2号一1=n1.当n为奇数时，Ian+i+an=2n,an+i=n(n+1为偶数)，故an=n.综上所述，an，n为奇数，n>1,ncN+.n1,n为偶数，方法规律由递推关系式求通项公式的常用方法(1) 已知a1且anan1=f(n),可用“累加法”求an.(2) 已知a1且卫=f(n),可用“累乘法”求an.an1(3) 已知a1且an+1=

9、qan+b,贝Van+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列an+kAan(4) 形如an+1=BO+C(A，b，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.(5) 形如an+1+an=f(n)的数列，可将原递推关系改写成an+2+an+1=f(n+1)，两式相减即得an+2an=f(n+1)f(n),然后按奇偶分类讨论即可.考点三an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题，且主要有以下几个命题角度：角度一：利用an与Sn的关系求an典题3(1)已知数列an的前n项和Sn=n

10、2+1,则a.=.(2)已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式：Sn=2n23n；害3n+b.听前试做(1)当n=1时，a1=S1=2,当n2时,当n2时,an=SnSn-1=n2+1(n1)2+1=2n1,故an=2，n=1，l2n1,n>2.(2)a1=S1=23=1,当n2时，an=SnSn-1=(2n?3n)2(n1)23(n1)=4n5,由于a1也适合此等式，an=4n5.a1=S1=3+b，当n2时，an=SS尸(3n+b)(3n1+b)=23n1.当b=1时，ai适合此等式.当bz1时，ai不适合此等式.当b=1时，an=23nC.l)1;当bz1时,当bz1时,

11、an=3+b,n=1,2 3n1,n>2.2,n=1,答案：（1）2n1,n2数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=iS，n=1，当n=1时，若a1适合SnSnSn-1,n2.Sn1，贝Un=1的情况可并入n2时的通项an;当n=1时，若a1不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示.角度二：利用an与Sn的关系求Sn典题4典题4（1）已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,5=2an+1,贝VSn=()A.2n1B.|n1(2016上饶模拟）设Sn是正项数列an的前n项和,且an和Sn满足：4Sn=(a*+1)2(n=1,2,3,),则Sn=

12、听前试做由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1Sn),即2Sn+1=3Sn,$=2，而S1=a1=1，所以Sn=2n-1.由题意，可知Sn=：+f，当n=1时，a1=jan=SnSn1=罗+弩+1at-a2-142+2-'；'Onan122anan-12V22an+an1anan1整理得，一2一=4?anan-1=2.所以an=2n1.解得Sn=1+2；=n2答案：(1)B(2)n2方法规律解决此类问题通常利用an=SnSn-1(n2)将已知关系转化为Sn与Sn-1的关系式，然后求解.课堂归纳一一感悟提升方法技巧1. 由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般

13、有(1)n或(1)n+1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系,区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系,般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:anSi,n=1,SnSn-1,n2.3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路:(1) 算出前几项，再归纳、猜想；(2) 利用累加、累乘法或构造法求数列的通项公式.易错防范1数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列环=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的.2. 在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1

14、,而是直接把数列的通项公式写成an=SnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.课后作业提能演练(三)二练技能查漏呼全盘巩固一、选择题5791. 数列1,815，24，的一个通项公式是()n+12n1A.an=(1)(nN+)n+n/n-12n+1B-an=(-1)J+3n(nN+)Can=(1nn-2nN+)Dan=(-1)n1r22+2n(nN+)解析：选D观察数列an各项，可写成:解析：选D观察数列an各项，可写成:572X4，3X5,D.2.已知数列an的通项公式1an=击7(nCN+)，1则Wo是这个数列的（A.第8项A.第8项B.第9项C.第10项C.第10项D.第12项111解析：

15、选C由题意知页=古,nN+，解得n=10即莎是这个数列的第111解析：选C由题意知页=古,nN+，解得n=10即莎是这个数列的第2ran=n，贝ya3+a510项.()61252531代区B.25C.忌解析：选A法一:92561令n=2,3,4,5，分别求出a3=-,a§=忑，二a3+a§=花41616法二：当n2时，22a1a2a3；n=n.当n3时，a1a2a3；an1=(n1).n两式相除得an=3.数列an中,a1=1,对于所有的n>2,nN+都有a1a283；9251，二a3=4,a5=届,a3+a5=16.4.已知数列an的前n项和Sn=n22n,则a2+

16、a18=()A.36B.35C.34D.33解析：选C当n2时，an=SnSn1=2n一3;当n=1时，a1=S1=1,所以3(nN+)，所以a?+=34.5.在各项均为正数的数列an中，对任意m,nN+,都有am+n=aman若a6=an=2n64,则a9等于（）A.256B.510C.512D.1024解析：选C在各项均为正数的数列an中，对任意m,nN+,都有am+n=aman.a6=a3a3=64,a3=8.a9=a6a3=64X8=512.二、填空题6. 已知数列an中，ai=1,若an=2a“-1+1(n>2),则a5的值是解析：Tan=2an-1+1，an+1=2(an-1

17、+1),an1=2，又a1=1,an-1+1an1=2，又a1=1,an-1+1an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，即an+1=2X2n-1=2n,-a5+1=25,即卩a5=31.答案：317. 已知数列an的前n项和Sn=33X2n,nN+,贝Van=解析：分情况讨论： 当n=1时，a1=S1=33X21=3; 当na1=a1+2玄1，解得a1=1；时，an=SnSn-1=(3S2=a1+a2=2a2+芫，解得a?=2；同理，a3=3,a4=4.X2)一(3一3X2)=一3X21综合，得an=3X2n1.答案：一3X2n18. 设an是首项为1的正项数列,且(n+1归叮+1na*+a

18、n+1an=0(n=1,2,3,),则它的通项公式an=.解析：(n+1)an+1+an+1annan=0,(an+1+an)(n+1)an+1nan=0,又an+1+an>0,(n+1)an+1nan=0,即阳=n+1，a2a3a4a5an1、2,3、，4、，、，n1,1=xxxx,x,a1=1,an=a1a2a3a4,an12345nn1答案：丄n三、解答题219. 已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Sn=?an+"an(nN+).(1)求a1,a2,a3,a4的值；求数列an的通项公式.121解：(1)由Sn=2an+2an(nN+)，可得121金(2)Sn=玄门+

19、刁玄门，当n>2时,Sn1=2aj-1+*ani，一得(anan-11)(an+an-1)=0.由于an+an-1工0，所以anan-1=1,又由(1)知a1=1,故数列an是首项为1,公差为1的等差数列，故an=n.10. 数列an的通项公式是an=n27n+6(nN+).(1) 这个数列的第4项是多少？(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n=4时，a4=424X7+6=6.(2) 令an=150,即n27n+6=150,解得n=16或n=9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3) 令an=n27n+

20、6>0,解得n>6或n<1(舍去).nN+,数列从第7项起各项都是正数.冲击名校an11.右数列an满足a1=2,a2=3,an=(n>3且nN+),贝Ua2016=()an212A. 3B.2eqD.3解析：选Da1=2,a2=3,a3=型=3,印=a3=舟，依次可得a5=-1,a6=2,a?=2,a12a22333 2=3,a9=,，可见an是周期为6的数列，a2016=a6x336=a6=3.，-,an1ananan+勺2. (2016宝鸡模拟)如果数列an满足a1=2,a?=1,且'=(n>2),则这an1an+1个数列的第10项等于()1111A

21、.尹C.11an1ananan+1解析：选ean1an+1anananan-11,+=2,an1an+1an1an+1是等差数列.an+1an丄+丄=1，故工anian+ianan丿又d=丄一丄=1a2ai2又d=丄一丄=1a2ai2=1+9X1=5,aio223.(2016大连双基测试)数列an满足：ai+3a2+5a3+,+(2n1)an=(n1)3n1+3(nN+),则数列an的通项公式an=解析：ai+3a?+5a3+,+(2n3)an-1+(2ni)an=(ni)3ni+3，把n换成ni得,ai+3a2+5a3+,+(2n3)an-1=(n2)3“+3，两式相减得an=3“答案：3n

22、(nN+,aR,且0).(nN+,aR,且0).i4.已知数列an中，an=i+a+2ni(i)若a=7,求数列an中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的nN+,都有anWa6成立，求a的取值范围.(nN+,aR,且a工0),i解:(1)-an=1+；a+2(n1又a=7,.an=1+12n91结合函数f(x)=i+-的单调性,2x9可知1>ai>a2>a3>a4,a5>a6>a7>,>an>1(nN+).数列an中的最大项为a5=2，最小项为a4=0.1(2)an=1+a+2n1=对任意的nN+,都有an<a6成立,1结合函数f(

23、x)=1+2的单调性,2ax2知6，10<a<8.故a的取值范围为(一10,8).第二节等差数列及其前n项和考纲要求：1.理解等差数列的概念.2. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.基础知识，自查自纠忆裁材夺基据能1.等差数列的有关概念(1) 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan-1=d(常数)(nN+,n>2)

24、或an+1-an=d(常数)(nN+).(2) 等差中项如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且有A=诅-2. 等差数列的有关公式(1) 等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=ai+(n-1)d.(2) 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn=na1+。山扌丄d或Sn=皿旦!3. 等差数列的常用性质(1) 通项公式的推广：an=am+(nm)d(n,mN+).(2) 若an为等差数列，且k+l=m+n(k,I,m,nN+),则a土a_i三amia。.(3) 若an是等差数列，公差为d,

25、则a2n也是等差数列，公差为2d.(4) 若an,bn是等差数列，公差为d,则pan+qbn也是等差数列.(5) 若an是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)是公差为md的等差数列.(6) 数列Sm,S?mSm,S3mS2m,也是等差数列.(7) S2n-1=(2n1)an.(8) 若n为偶数，则S偶一S奇=nT；若n为奇数，贝US奇一5偶=a中(中间项).自我查验1判断下列结论的正误.(正确的打“V”,错误的打“x”)(1) 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2) 数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+,都有2an

26、+1=an+an+2.()(3) 等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(4) 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()(5) 已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.()(6) 在等差数列an中，若am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q.()(7) 数列an,bn都是等差数列，则数列an+bn也一定是等差数列.()(8) 等差数列an的首项为a1,公差为d,取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列,一定还是等差数列.()答案：(1)X(2)V(3)VV(5)V(6)X(7)V(8)V2. 在等差数列an中，a2=2,a3=4

27、,贝Van=,Sn=解析：Ta2=2,a3=4,.a1=0,d=2.二an=a+(n一1)d=2n一2,Sn=一2=n2-n.答案：2n-2n2-n3. 在等差数列an中，已知a4+a8=16,则该数列前11项和Sn=.解析：ta4+a8=2a6=16,a6=8.S11=11a6=11x8=88.答案：884. 数列an为等差数列，公差d=-2,Sn为其前n项和，若S10=Sn,则a1=10X911X10解析：由题意知10a1+d=11a1+2d,又d=-2,.10a1-90=11a1-110,a1=20.答案：20热点题型-分类突破热点题型-分类突破析考点强化认知等差数列基本的计算一般考点，

28、白"逼典题1(1)在等差数列an中，ai+a5=8,a4=7,贝ya5=()A. 11B.10C.7D.3(2)(2015新课标全国卷I)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若&=4S4，贝Ua10=()1719A.yBpC.10D.12设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(4) 已知等差数列an的公差d>0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36. 求d及Sn; 求m,k(m,kN+)的值，使得am+am+1+am+2+,+am+k=65.2a1+4d=8,a1=2,听前试做(1)设数列an的公差为d

29、，则有“解得所以a531+3d=7,d=3,=2+4X3=10.(2) 公差为1,二S8=8a1+8X2-19二a10=a1+9d=+9=.(3) 由Sm-1=2,Sm=0,Sm+1=3,得am=編一Sm1=2,am+1=編+1編=3,所以等差数列的公差d=am+1am=32=1,丁am=a1+m1d=2,由1Sm=a1m+尹m1d=0,X1=8a1+28,S4=4a1+6.-S8=4S4,8a+28=4(4a+6),1解得a1=,ai=2,解得*m=5.ja+m1=2,得1aim+qmm1由题意知(2ai+d)(3ai+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=5.因为d>0，所

30、以d=2.从而an=2n1,Sn=n2(nN+).由得am+am+1+am+2+,+am+k=(2m+k1)(k+1)，所以(2m+k1)(k+1)=65.由m,kN+知2m+k1>k+1>1,2m+k1=13,故1k+1=5,2m+k1=13,故1k+1=5,解得m=5,k=4.即所求m的值为5,k的值为4.答案：(1)B(2)B(3)5方法*规律等差数列的基本运算的解题策略(1) 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.(2) 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d

31、是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.等差數列的性质斥应用典题2(1)(2015新课标全国卷n)设S是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a§=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11(2) 设等差数列an的前n项和为Sn,且S3=12,Sg=45,则02=.(3) 已知an,bn都是等差数列，若a1+6。=9,a3+b$=15,则a§+b6=.5a1+a5听前试做(1)法一:Ta1+a5=2a3,a1+a3+a5=3a3=3,a3=1,S5=?=5a3=5.法二：a+a3+a5=a+(a+2d)+(a+4d)=3a+6d=3,ai+2d=1,5X

32、4，、丄S5=5ai+d=5(ai+2d)=5，故选A.(2)因为an是等差数列，所以S3,S6S3,S9S6,S12S9成等差数列，所以2(&S3)=S3+(S9S6),即2(S6+12)=12+(45&),解得S6=3;又2(&-S6)=(S6Sj)+(S12S9),即2X(453)=(3+12)+(S1245),解得S12=114.a5+b6=21.因为an,bn都是等差数列，所以2a3=a1+a5,2b8=b6,所以2赳+b8)=(a1+b1o)+(a5+b6)，即2X15=9+b6),解得答案：(1)A(2)114(3)21在等差数列an中，数列Sm,S2m為

33、,在等差数列an中，数列Sm,S2m為,S3mS2m也成等差数列;是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具.口变式训练1.(2016新余模拟)已知an是等差数列1.(2016新余模拟)已知an是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为1B. 1a4a31511.解析：选CT&=5a3=55,.a3=11,k='=4.4 312.已知等差数列an的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为()A.10B.20C.30D.40解析：选A设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项

34、之和等于nd,即2515=2n,故2n=10,即数列的项数为10.考点三等差数列的判定与证明1典题3已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=?,an=2SnSn-1(n>2).Hl(1)求证：数列s1是等差数列；求Sn和an.听前试做(1)证明：当n>2时，an=SnSn-1=2SnSn-1，TS1=a10,由递推关系知Sn*0(nN+),11由式得-l=2(n2).11由式得-l=2(n2).SnSn-11是等差数列，其中首项为11S1=£=2,公差为2.1由(1)知S=2+2(n1)=2n,当n2时,当n2时,an=SnSn-12nn1'当n=1时,1a1=

35、S1=q不适合上式,12,n=1,an=(1)定义法：对任意nN+,an+1an是同一个常数;(2)等差中项法：对任意n2,nN+,满足2an=an+1+an-1；(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数;(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.1,n2.L2n(n1J方袪规律判定数列an是等差数列的常用方法13变式训练1. 若an是公差为1的等差数列，则a2n-1+2a2n是()3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列解析：选C令bn=a2n-1+2a2n,则bn+1=a2n+1+2a2n+2,二bn+1bn=

36、a2n+1+2a2n+2(a2n-1+2a2n)=(a2n+1a2n-1)+2(a2n+2a2n)=2d+4d=6d=6x1=6.2. 已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a?+a§=22.(1)求数列an的通项公式；若数列bn满足bn=卫，是否存在非零实数C使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解：（1）t数列an为等差数列，a3+a4=a?+a5=22.又a3a4=117,a3,a4是方程x222x+117=0的两实根，又公差d>0,-a3<a4,-a3<a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+

37、3d=13,a1+2d=9,a1+3d=13,解得a1=1id=4.数列an的通项公式为an=4n3.(2)由(1)知a1=1,d=4,-bn=-bn=Snnaxd=2n2n,Snn+c2n2-nn+cb1=土，b2=总，b3=卡，其中c主0.数列bn是等差数列，2b2=6+b3,即-x2=-+15,2c2+c=0,+c1+c3+c11c=2或c=0(舍去)，故c=.1即存在一个非零实数c=2,使数列bn为等差数列.等差数列前"项和的垠值问题4I【题抿城移我般琛兜H典题4在等差数列an中，a1=29,Sg=氐,则数列an的前n项和Sn的最大值为()A.S15B.S16C.S15或06

38、D.S17听前试做ta1=29,S10=S20,10X920X19 10a1+2d=20a1+2d，解得d=2, Sn=29n+nn1x(2)=n2+30n=(n15)2+225.当n=15时，Sn取得最大值.答案：A探究1若将条件"ai=29,Sw=S20”改为"ao,&=S”，如何求解?1解：法一：设等差数列an的公差为d，由S5=S12得5ai+10d=12ai+66d,d=：ai<0.8所以Sn=na1+njn1d=所以Sn=na1+njn1d=na1+nn121_21172,2898a1=衣a1（n17n）=16a1n2+両a1,因为a1>0,

39、nN+,所以当n=8或n=9时，Sn有最大值.1法二：设等差数列a*的公差为d，同法一得d=：a1<0.8设此数列的前n项和最大，则an0,<an+1W0,an0,<an+1W0,解得nW9,解得nW9,即8<nW9,又nN+,所以当n=8或n=9时，Sn有最大值.1法三：设等差数列an的公差为d，同法一得d="a1<0,由于Sn=na1+由于Sn=na1+严d=dn2+设f(x)=x2+a1号x,则函数y=f(x)的图像为开口向下的抛物线，5+1217由&=02知，抛物线的对称轴为x=一2=3(如图所示),由图可知，当1wnW8时，Sn单调递增

40、；当n9时，Sn单调递减.又nN+,所以当n=8或n=9时，Sn最大.探究2若将条件"a1=29,S10=S20”改为"a3=12,Si2>0,Sn<0”,如何求解?解：因为a3=a1+2d=12,所以a1=122d,所以严伽+66d>0，即44+42d>0,§13=13ai+78d<0,|156+52d<0,所以严伽+66d>0，即44+42d>0,§13=13ai+78d<0,|156+52d<0,解得y<d<3.故公差d的取值范围为一2,3.法一：由d<0可知an为递减数

41、列，因此，在Kn<12中，必存在一个自然数n,使得an>0,a*+1<0,此时对应的Sn就是S1,S2,02中的最大值.由于S12=6a6+a7>0,S13=13a7<0,于是a7<0，从而a6>0,因此Ss最大.法一:由d<0可知an是递减数列,an=a3+n3d0,Qn+1=a3+n2d<0,c12n三3石可得12n>2了n<3乎<3+牛7,由一24<d<3,可得1212=n>2-可>2+24=5占，7所以5.5<n<7,故n=6，即S6最大.探究3若将"a1=29,Sw=

42、S20”改为"a5>0,a4+a7<0”,如何求解?a4+a7=a5+a6<0,a5>0,解：Ta5>0,|a6<0,Sn的最大值为S5.矛区规律求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解.通项公式法：求使an0(an<0)成立时最大的n值即可一般地，等差数列a*中,若a1>0，且Sp=Sq(pzq),则:若p+q为偶数，则当n=申时，Sn最大;右p+q为奇数，则当np+q1或np+；+1时，S.最大.课堂归纳一一感悟提升方法技巧1. 在遇到三个数成等差数列问题时

43、，可设三个数为(1)a,a+d,a+2d;(2)ad,a,a+d;(3)ad,a+d,a+3d等，可视具体情况而定.2. 在等差数列an中，S奇an(1) 若项数为偶数2n，贝yS2n=n(ai+a2n)=n(an+an+i);S偶一S奇=nd;=S偶an+1S奇n(2) 若项数为奇数2n1，贝yS2n-1=(2n1)an;S奇一S偶=an;&=门13. 若数列an与bn均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn,则也=如T2m-1bm4. 若am=n,an=m(m0)，则am+n=0.易错防范1 .公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0若某数列的前n项和公式是常

44、数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.2 .求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件.若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值.课后作业提能演练(三十二)练技能查漏补玦全盘巩固一、选择题1. （2015重庆高考）在等差数列an中，若a2=4,a4=2,贝Va6=（）A.1B.0C.1D.6解析：选BTan为等差数列，2a4=a2+a6,a6=2a4a2,即卩a6=2X24=0.2. （2016江模拟）等差数列an的前三项为x1,x+1,2x+3,则这个数列

45、的通项公式为（）A.an=2n5B.an=2n3C. an=2n1D.a*=2n+13)，解得x=0.a1=1,a2=1,d=2,故an=1+(n1)x2=2n3.S3S23. 已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足空=1,则数列an的公差d是()A.1B.2C.4D.6解析：选B解析：选B/口a+a2+a32=1得a1+a22=ar+d2a+dd-21，所以d=2.4.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10解析：选A因为a1+a2+a3=34,a“2+an1+a*=146,所以a1+a2+a3+an

46、-2+an-1+an=34+146=180,又因为a1+an=a2+an1=a3+an2,所以3(a1+an)=180,从而a1+an=60,所以Sn=gf亚=乎=390,即n=13，故选A.5. （2016包头模拟）在等差数列an中，其前n项和是Sn,若$5>0,Sw<0,则在鲁話，単中最大的是（単中最大的是（a15S1S8S9S15解析:由于S15=15內+%=15a8>0,S16=16勺+印6=8(a8+av。，所以可得a8>0,a9<0.这样詈>0,学>0,詈>0S9<0,S10<0,S<0,而S|<S2<,

47、<S8,a1>a2>,>a8,a9a10a15所以在S1,S2,氐中最大的是a1a2a15a8二、填空题6.（2016海淀模拟）已知等差数列an的公差0,且a3+ag=a.若an=0,则n=解析：ta3+a9=玄竹一,a1+2d+a1+8d=a1+9d(a1+7d)，解得a1=4d,an=4d+(n1)d=(n5)d,令(n5)d=0(dz0)，可解得n=5.答案：517.(2016西安模拟)在等差数列an中，a9=此+6，则数列&的前11项和Sii等于解析：S11=-2=11a6，设公差为d,由a9=a12+6得a6+3d=*(a6+6d)+6，解得a6=12

48、,所以Sn=11X12=132.答案：1328.已知等差数列an中，an0,若n2且an-1+an+1_a2=0,S2n-1=38,贝Vn等于解析：2爲=an-1+an+1,又an-1+an+1a2=0,I2ana2=0，即an(2an)=0.*an0,an=2.S2n-1=(2n1)an=2(2n1)=38,解得n=10.答案：10三、解答题一an1一一19.已知数列an满足a1=11由(1)知数列bn的通项公式为bn=1+(n1)X2=2n1又6=二，二an=anbn2n1,an=口(nN+,n2),数列bn满足关系式bn=a(n2an1+ianN+).(1) 求证：数列bn为等差数列;求

49、数列an的通项公式.解:(1)证明:且an=an-12an-1+1,-bn+1=1an+11an2an+1数列an的通项公式为1an=.2n12an+12an+11-bn+1bn=an-=2.an1又b1=1,数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列.10.已知数列an满足2an+1=an+an+2(nN+),它的前n项和为Sn,且a3=10,&=72,1若bn=an30,设数列bn的前n项和为Tn,求Tn的最小值.解：T2an+1=an+an+2，二an+lan=an+2an+l,故数列an为等差数列.设数列an的首项为a1，公差为d,由a3=10,S6=72得,ia1+2d=10&

50、#39;解得a1=2,d=4.6a1+15d=72,令fn<0,即bn+10,an=4n2,贝Vbn=gan30=2n31,i2n*0,解得n<31,2n+131>0,22即数列bn的前15项均为负值，T15最小.T数列bn的首项是29,公差为2,.T15=15-29+J1531=225,二数列bn的前n项和Tn的最小值为225.冲击名校1.若数列an的首项为3,bn为等差数列且bn=an+1an(nN+),若b3=2,b10=12,则a8=()A.0B.3C.8D.11解析：选Btbn为等差数列，设其公差为d,b3=2,b10=12,.7d=bgb3=12(2)=14,.d

51、=2.tb3=2,-b1=b32d=24=6,7X6-B+b2+,+b7=7b1+d=7X(6)+21x2=0.又tb1+b2+,+b7=(a2a“+(a3a2)+,+(a8a7)=a8a1=a83.所以，3=0,a$=3.2. 设Sn为等差数列an的前n项和，(n+1)Sn<nSn+1(nN+).若空v1,则()a7A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是Sz解析：选D由(n+1)SnVnSn+1得(n+1)na1Janvnn+1；+*1，整理得anVan+1,所以等差数列an是递增数列，又£<1所以as>0,a7<0,所以数列an的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.3.已知正项数列an满足ai=2,a2=1,且一+旦=2,贝Ua12=an-1解析:並+玉=2,丄+an-1an+1an+11_1=1a2a12右=1+(n-1)x2=n,an+1丨11-|为等差数列，且首项为=2公差为2.1-an=二，