特殊矩阵方阵乘积的行列式s

1、 第二节第二节 特殊矩阵特殊矩阵 方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式本节要点：本节要点：l特殊矩阵特殊矩阵l方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式l伴随矩阵的定义伴随矩阵的定义称为称为 n阶单位矩阵阶单位矩阵一一. . 特殊矩阵特殊矩阵 P46简记作简记作E的的 n 阶方阵阶方阵100010001形如形如nE记作记作 单位矩阵单位矩阵结论：结论：,.mm nm nm nnm nE AAAEA12000000n 的的 n阶方阵称为对角矩阵阶方阵称为对角矩阵12(,)ndiag 形如形如记作记作特点：特点：主对角线上以外的元素全是零主对角线上以外的元素全是零 对角矩阵对角矩阵 P46性质：性质： P46（

2、1）（2）（3）1212(,)( ,)nndiag a aadiag b bb12( ,)nk diag a aa1212( ,)( ,)nndiag a aadiag b bb1122(,)nndiag ab abab12(,)ndiag ka kaka1212( ,)( ,)nndiag b bbdiag a aa1 12 2(,)nndiag ab a ba b（4）12( ,)mndiag a aa其中其中m为正整数为正整数.12(,)mmmndiag aaa特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵称为称为数量矩阵数量矩阵。( , , )diag a

3、 aa0000( , , )00aadiag a aaaEa即即记作记作3、三角矩阵、三角矩阵 P48 定义定义 若若n阶方阵阶方阵 中的元素满足中的元素满足 ，则称，则称A为上三角矩阵。为上三角矩阵。若若n阶方阵阶方阵 中的元素满足中的元素满足，则称，则称B为下三角矩阵为下三角矩阵. ijaA ), 2, 1,(,0njijiaij ijbB jibij, 0 ), 2 , 1,(nji 即即 nnnnaaaaaaA00022211211上三角矩阵上三角矩阵 nnnnbbbbbbB21222111000下三角矩阵下三角矩阵 三角矩阵的性质：三角矩阵的性质： P48 （1） 同阶上（下）三角矩

4、阵的和、差、同阶上（下）三角矩阵的和、差、积积仍为上（下）三角矩阵。仍为上（下）三角矩阵。 （2） 数与上（下）三角矩阵的乘积仍为数与上（下）三角矩阵的乘积仍为上（下）三角矩阵。上（下）三角矩阵。 （3）上（下）三角矩阵的转置为下（上）上（下）三角矩阵的转置为下（上）三角矩阵三角矩阵 将矩阵将矩阵A A的行换成同序数的列得到的矩的行换成同序数的列得到的矩阵，称为矩阵阵，称为矩阵A A的转置矩阵的转置矩阵, ,简称转置。简称转置。mn则则: mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111nmjiTaijAjiA列列的的元元素素行行第第中中第第列列的的元元素素行行第第中中第第注注意意：

5、 TAA 或或记记为为 即即 若若 mnmmnnaaaaaaaaaA2122221112114、矩阵的转置、矩阵的转置 P48 转置的性质：转置的性质： P48（1 1）AA )(（2 2）BABA )(（3 3）AkkA )(（4 4）ABAB )( 证明性质证明性质(4)ABAB )()()( ABcCijABdDij )(设设 Ams,Bsn因为因为 ABmn)( ABCnmA smB nsABD nm即：即：矩阵矩阵C 与矩阵与矩阵D有相同的行数和列数有相同的行数和列数要证：要证： C =D jic)( AB的第的第i行行j列元素列元素AB 的第的第j行行i列元素列元素=A的第的第j行

6、元素与行元素与B的第的第i列元素对应相乘再相加列元素对应相乘再相加siiibbb21jsjjaaa21sijsijijbababa 2211Ddij 的第的第i行行j列元素列元素= 的第的第i行元素与行元素与 的第的第j列元素对应相乘再相列元素对应相乘再相加加B A = B的第的第i列元素与列元素与A的第的第j行元素对应相乘再相加行元素对应相乘再相加siiibbb21jsjjaaa21jssijijiababab 2211sijsijijbababa 2211jic 故故 C =D.即：即：ABAB )(C的第的第j行行i列元素列元素=AB 的第的第i行行j列元素列元素【例【例1】 设设 矩阵

7、矩阵 ,211 A 124311012B求求)( AB解法一：解法一： 129 AB 211 124311012 129)(AB解法二：解法二： 211A 130211412BABAB )( 130211412 211 129 说明：说明： （1）kkAAAAAA 2121)(（2）1121)(AAAAAAkkk （3）一般情况下）一般情况下BAAB )(BABA )(由由ABAB )(由由5、对称矩阵与反对称矩阵、对称矩阵与反对称矩阵 P49定义定义 若若n阶方阵阶方阵A 满足满足AT=A 则称则称A为为n阶对称矩阵。阶对称矩阵。即即 aij = aji 特点：（特点：（1） A为方阵为方阵

8、（2） A 中元素关于主对角线对称中元素关于主对角线对称n阶对称矩阵阶对称矩阵 nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA321333231322322121131211例如例如,02211 A 3121012112A对称矩阵对称矩阵性质：性质：（1）同阶对称矩阵的和、差）同阶对称矩阵的和、差 仍为对称矩阵仍为对称矩阵（2）数与对称矩阵的乘积仍为对称矩阵）数与对称矩阵的乘积仍为对称矩阵（3）对任意矩阵）对任意矩阵A mn，有，有(AA) nn ， (AA) mm均为对称矩阵均为对称矩阵（4）任意）任意n阶方阵阶方阵A， A+A为对称矩阵为对称矩阵 P49 例例2注意：注意：两个对称矩阵

9、的乘积不一定是对称矩阵。两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。例如例如 101101100111结论：结论：若若A，B为对称矩阵，则为对称矩阵，则AB为对称为对称矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是AB= BAP50证明：证明：BBAA ,若若AB为对称矩阵为对称矩阵AB)( AB则则BA)( ABAB而而所以所以 AB= BA反之，若反之，若 AB= BAABBA)( ABAB则则所以所以AB为对称矩阵。为对称矩阵。定义定义 若若n阶方阵阶方阵A 满足满足AT= -A P49 则称则称A为为n阶反对称矩阵。阶反对称矩阵。即即 aij = - aji 特点特点: （1）主对角线上元素均为）主对角线上

10、元素均为0（2）除主对角线上元素均为）除主对角线上元素均为0 外，外， 其余其余 元素关于主对角线元素关于主对角线 互为相反数互为相反数n阶反对称矩阵阶反对称矩阵 0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaaA性质：性质：（1）同阶反对称矩阵的和、差）同阶反对称矩阵的和、差 仍为反对称矩阵仍为反对称矩阵（2）数与反对称矩阵的乘积仍为反对称矩阵）数与反对称矩阵的乘积仍为反对称矩阵（3）A为任意为任意n阶方阵，则阶方阵，则A - A为反对称矩阵为反对称矩阵 例如例如,02201 B 0121012102A反对称矩阵反对称矩阵【例【例2】 已知已知A是是n阶对称矩

11、阵，阶对称矩阵，B是是n阶反对阶反对 P50 称矩阵称矩阵,证明证明AB+BA是反对称矩阵。是反对称矩阵。证明：证明：BBAA ,)()()( BAABBAABBAAB )()(BAAB )(ABBA )(BAAB 故故 AB+BA是反对称矩阵是反对称矩阵所以所以 H是对称矩阵是对称矩阵.【例【例3】 设列矩阵设列矩阵12( ,)Tnxx xx1Tx x 满足满足2,THExxE为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵，证明证明.THHEH是对称矩阵，且是对称矩阵，且22212Tnx xxxx证证: 首先请注意首先请注意(2)2()TTTTTTHExxExx是一阶方阵，即一个数，是一阶方阵，即一个数，2T

12、ExxHTxx是是n阶方阵阶方阵而而 P5022(2)TTHHHExx44()()TTTExxxxxx44 ()TTTExxx x x x44TTExxxxE定义定义 由由n阶方阵阶方阵A的元素按原来的顺序构成的元素按原来的顺序构成 的行列式，称为方阵的行列式，称为方阵A的行列式。的行列式。 记为记为A即：对即：对 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 例如例如则则 300220111A6300220111 A二、方阵的行列式二、方阵的行列式 P50 方阵的行列式性质：方阵的行列式性质： 设设A、B是是n阶方阵，阶方阵

13、，t是常数，则是常数，则AA （1）（2）AttAn nnnnnntatatatatatatatatatA212222111211nnnnnntatatatatatatatatatA212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaat212222111211 Atn （3）ABBAAB kkAAAAAA2121 1. 只有当只有当A是方阵时，才有是方阵时，才有A的行列式的行列式A4.AttA 2. 只有当只有当A、B是同阶方阵时，是同阶方阵时， 才成立才成立BAAB 3. 当当A、B是同阶方阵时，有是同阶方阵时，有 BAAB )(BAABBAAB （虽然（虽然ABBA)BABA ；注意

14、：注意：定义定义 设设A是是n阶方阵，若阶方阵，若 ，则称，则称A为为P54 非奇异方阵；若非奇异方阵；若 ，则称，则称A为奇异方为奇异方 阵。阵。0 A0 A例如例如 100210321A 01AA是非奇异的是非奇异的 100200321B 0BB是奇异的是奇异的 【例【例4】 设设A、B都是都是n阶方阵，证明阶方阵，证明AB是非是非 奇异的充要条件是奇异的充要条件是A、B都是非奇异方阵。都是非奇异方阵。证明：证明：已知已知AB是非奇异方阵，则是非奇异方阵，则0 AB,BAAB 0, 0 BA即即 A、B都是非奇异方阵都是非奇异方阵已知已知A、B都是非奇异方阵，则都是非奇异方阵，则0, 0

15、BA于是于是0 BAAB即即 AB是非奇异方阵是非奇异方阵【例【例5】 设设n阶方阵阶方阵A满足满足 AA=E,解：解：EA ,0 求求A)AA(EAAA EA AEA)A(EA)AA(E 0EA)A-(1 0 A0A-1 0EA P51OBABA 22且且B非奇异，证明非奇异，证明 A，A+B均是非奇均是非奇异的异的OBABA 22由由2)(BBAA 得得2)(BBAA 则则由由B非奇异，知非奇异，知0 B0)( BAABAA因因此此由此得由此得0 A0, BA即即A，A+B均是非奇异的。均是非奇异的。证明：证明：2B 21 Bn 【例例6】设设n阶方阵阶方阵 A,B满足满足 21Bn 【例

16、【例7 7】已知】已知A A为为3 3阶方阵，且阶方阵，且 求求 ,2 AAA 解：解： 162)2(33 AAAA【例【例8 8】已知】已知AB=EAB=E，且，且 A A非奇异非奇异, ,求求 B解：解：1 EABEAB又因为又因为A A非奇异，即非奇异，即A A为方阵，且为方阵，且0 A故故B B为与为与A A同阶的方阵同阶的方阵BAAB 即即1 BAAB1 06数四：数四：1212(2,)A12(,)B 已知已知 1, 2 为为2维列向量，矩阵维列向量，矩阵B 6, 求求若若 A1212122121(2,),1111AB 21311ABB | 6A |2B 所以所以 而而故故 解：解：

17、定义：定义：称称矩矩阵阵的的代代数数余余子子式式元元素素中中的的行行列列式式阶阶方方阵阵是是设设,AAnijijaA nnnnnnAAAAAAAAA212221212111为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵 *A,5321 A例例如如：*A求求, 511 A, 312 A, 221 A122 A 22122111*AAAAA 1325因为因为所以所以P51， nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211的代数余子式的代数余子式元素元素ijaijjiijMA )1(nnnjnjnjnnijijijiiinijijijinijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

18、aaaaaA111111111111111111111111111111 =一个数一个数 nnnnnnAAAAAAAAA212222111211T nnnnnnAAAAAAAAA212221212111n-1n-1阶阶行列式行列式例如：例如：,412112013 A由由, 54111) 1(1111 A,104212) 1(2112 A01212) 1(3113 A, 44101) 1(1221 A,124203) 1(2222 A11213) 1(3223 A, 11101) 1(1331 A, 31203) 1(2332 A11213) 1(3333 A 333231232221131211AAAAAAAAA13111240105*A 110