函数极限的性质

1、函数极限的性质第一页，共26页。v定理3.2 如果当如果当xx0时时f(x)的极限存的极限存, , 那么这极限是唯一的那么这极限是唯一的 证明， x x f B A 时的极限时的极限 当当 都是都是 设设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e e d d d d e e - - - - $ $ A x f x x 时有时有 当当 则则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d - - - - $ $ B x f x x 时有时有 当当 故有故有 同时成立同时成立 时时 则当则当 取取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1

2、d d d d d d d d - - = = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e e $ $ = = = = . 1 ) ( 1 ) ( + + - - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界内有界 在在 即即 d d x U x f o o 第三页，共26页。3. 局部局部保号性保号性).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 d d d d$ $ = =xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理3.4证明证明 设设A0,对任何对任何0,A- ,rAre=取d则存在0,使得对一切使得对一切0;xUxdo有 ,

3、f xAre- =这就证得结论这就证得结论.对于对于A 0的情形可的情形可类似地证明类似地证明.).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 d d d d$ $= =AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论第四页，共26页。v定理3.4(函数极限的局部保号性) 如果如果f(x)A(xx0), , 而且而且A 0(或或A 0), , 那么对任何正数那么对任何正数rA (或或 r r0 (或或f(x) -r $ $ - - = = 使得使得 则则 取取 设设 . ) ( r A x f = = - - e e 有有 . 0 的情形类似可证的情形类似可证 对于

4、对于 r 推论 如果在如果在x0的某一去心邻域内的某一去心邻域内f(x) 0(或或f(x) 0), , 而且而且 f(x)A(xx0), , 那么那么A 0(或或A 0) 3. 局部保号性局部保号性第五页，共26页。v定理3.5(函数极限的保不等式性) 证明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则则 内有内有 极限都存在且在极限都存在且在 时时 如果如果 d d o o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x

5、 = = = = 设设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - - - $ $ e e d d d d e e 时有时有 当当 则则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ B x g x x 时有时有 当当 于是有于是有 同时成立同时成立 与与 不等式不等式 时时 则当则当 令令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - - = = d d d d d d d d d d , ) ( ) ( e e e e + + - -

6、B x g x f A . , 2 B A B A + + 的任意性知的任意性知 由由 从而从而 e e e e 4 保不等式保不等式第六页，共26页。).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx d d$ $ = = =有有则则且且设设推论推论第七页，共26页。v定理3.6 如果函数如果函数f(x)、g(x)及及h(x)满足下列条件满足下列条件 (1) g(x) f(x) h(x), , (2)lim g(x)= =A, , lim h(x)= =A, , 那么那么lim f(x)存在存在, , 且且lim f(x)= =A 证明), ( 0

7、 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - - - $ $ e e d d d d e e 时有时有 当当 按假设按假设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ A x h x x 时有时有 当当 故有故有 同时成立同时成立 时上两不等式与时上两不等式与 则当则当 令令 , ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - - = = d d d d d d d d , ) ( ) ( ) ( e e e e + + - - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x

8、 f ， A x f x x = = - - 即即 由此得由此得 e e 5 迫敛性迫敛性第八页，共26页。定理定理3.7设设 , 则 1）2）3）6 四则运算法则四则运算法则第九页，共26页。(3)的证明的证明 只要证， 令，由 Bxgxx=)(lim0，使得当 时，有 ， 即 , 仍然由 Bxgxx=)(lim0，.，使得当 时，有 . 取 ，则当 时，有 即 第十页，共26页。推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2定理的条件：定理的条件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为0定理

9、简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立任何一个过程都成立).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf= =则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf= =则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果第十一页，共26页。二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限.已证明过以下几个极限： ;coscoslim ,sinsinlim ,li

10、m ,lim0000000 xxxxxxCCxxxxxxxx=.2lim , 01lim=arctgxxxx（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅 4P3738. 我们将陆续证明这些公式.第十二页，共26页。 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。例求例求01limxxx.4lim (1)xxtgx-例求例求.例求例求.224sinsinlim4

11、=xx.22coslim4=xx( 利用极限和 ) 3113lim . ( 1 )11xxx-+第十三页，共26页。e ee e+ + - -11xa只只须须)1(log)1(loge ee e+ + - -aax又又只只须须)1(log,11minloge ee ed d+ +- -= =aa令令时时当当d d |0 x)1(log11loge ed dd de e+ + - - - - -aaxe ee e+ + - -11xae e = =aaxx证证0 e e（不妨设（不妨设1）e e - - |1|xa要使要使第十四页，共26页。.523735lim233+-xxxxx例例6求求例例

12、5求求xx註註: 关于关于的有理分式当时的极限. 参阅4P37 .11lim1071-xxx).1)(1(121+-=-aaaaannn 利用公式 .74lim222-=-+BxBAxxx求A和B. 1620(, .)33AB= -=补充题补充题: 已知 第十五页，共26页。求极限方法举例求极限方法举例例例7 7.531lim232+ +- - -xxxx求求解解)53(lim22+ +- -xxx5lim3limlim2222+ +- -= =xxxxx5limlim3)lim(2222+ +- -= =xxxxx52322+ + - -= =, 03 = =531lim232+ +- -

13、-xxxx)53(lim1limlim22232+ +- - -= =xxxxxx3123- -= =.37= =第十六页，共26页。小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf+ + + += =- -nnxxnxxxxaxaxaxf+ + + += =- -110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa+ + + += =- -10100).(0 xf= =则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 = =xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx= =)()(00 xQxP= =).(0 xf= =., 0)(0则

14、商的法则不能应用则商的法则不能应用若若= =xQ第十七页，共26页。例例8 8.3214lim21- -+ +- -xxxx求求解解)32(lim21- -+ +xxx, 0= =商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1- -xx又又, 03 = =1432lim21- - -+ +xxxx. 030= = =由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得.3214lim21 = =- -+ +- -xxxx第十八页，共26页。例例9 9.321lim221- -+ +- -xxxx求求解解.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x)00(型型.1后再求极限后再求极限因子因子

15、先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小- -x)1)(3()1)(1(lim321lim1221- -+ +- -+ += =- -+ +- -xxxxxxxxx31lim1+ + += =xxx.21= =(消去零因子法消去零因子法)第十九页，共26页。例例1010.147532lim2323- -+ + + + xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx- -+ + + += =- -+ + + +

16、.72= =(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第二十页，共26页。小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 = = =+ + + + + + +- - - , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第二十一页，共26页。例例1111).21(lim222nnnnn+ + + + 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n先变形再求极限先变形再求极限.2222

17、21lim)21(limnnnnnnnn+ + + += =+ + + + 2)1(21limnnnn+ += = )11(21limnn+ += = .21= =第二十二页，共26页。 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。极限。三、复合函数极限三、复合函数极限定理定理

18、 （复合函数极限运算法则（复合函数极限运算法则变量代换法则）变量代换法则）AufxfAufaxxaxauxxauxx= = = = = =)(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 则则又又的某去心邻域内的某去心邻域内但在但在设设第二十三页，共26页。证证知知由由Aufau= =)(lim0,0 $ $ e e有有时时使使当当,|0 - - aue e $ $ d d ，对对上上述述有有时时使使当当,|00d d - - xx - -|)(|axax )( 又又 - - |)(|0axe e - -|)(|Axf由极限定义得由极限定义得Aufxfauxx= = =)(lim)(lim0 第二十四页，共26页。此定理表明：此定理表明：满满足足定定理理的的条条件件与与若若)()(xuf