矩阵的概念运算第节

1、主讲：匡锐匡锐Email: 第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算第三节第三节 逆矩阵逆矩阵第四节第四节 分块矩阵分块矩阵关于矩阵_1 矩阵这个词是由西尔维斯特(Sylvester,1814-1897)于1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了美国数学杂志。在长达50多年的时间内，他是矩阵论和行列式始终不渝

2、的作者之一。关于矩阵_2 1850年，由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念。 应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用。 1858年，卡莱(A. Cayley)建立了矩阵运算规则。例子：例子： 解线性方程组解线性方程组11x232 xx03x1行行2行行3行行1行行2行行3行行11x22x03x代替为：代替为：121121101111r1r2r3r1010021101001r2r3010020101001矩阵就是这样引入的！矩阵就是这样引入的！132

3、1xxx232xx12321xxx第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念1.1 矩阵的概念(1,1)ijm naimjnmn 由个数有顺序地排成行横排 列竖排的数表元素。列的元素，简称行第的第称为矩阵表示。数矩阵常用大写黑体字母 ),( jijianmijA矩阵。称为定义1.1 矩阵矩阵nm（1.1）nmmnmmnnaaaaaaaaa212222111211Anmijax) 1 . 1 (（式也可写作 A）。（万元，得到的价值为原材料万元需。假如生产种原材料需要三生产四种产品ijijijaaMPMMMPPPPA出出矩矩阵阵投投入入产产例例1 1. .3 31 , 321432110. 020. 0

4、25. 015. 020. 015. 020. 035. 035. 040. 030. 025. 0 3214321MMMPPPP：例例如如1.1 矩阵的概念1.1 矩阵的概念，如图定义道，方向用箭头表示）相连（这些公路是单向高速公路它们之间有设有城市nmaaaxxx,2211 1 例1.4例1.41x2x3x4x1a4a2a3a5a 矩阵 称为这个图的关联矩阵。关联矩阵。上图的关联矩阵为：)(ijmM的端点不是若的终点是若的起点是若定义jijijiijaxaxaxm 0 1- 1 11100001101001101001 432154321xxxxaaaaaM1.1 矩阵的概念 实矩阵实矩阵

5、 矩阵的元素全为实数，即aijR， i = 1,2, m; j = 1, 2, n， 是本书讨论的主要对象。 复矩阵复矩阵 矩阵元素全为复数，即aijC， i = 1,2, m; j = 1, 2, n。 n阶矩阵阶矩阵 一个n n矩阵简称为n阶矩阵阶矩阵， 即行数和列数相等且都等于n的矩阵,也称为n阶方阵阶方阵。温馨提示：温馨提示：v 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 A1n = (a1 a2 an)v只有一列的矩阵只有一列的矩阵mmaaaA211称为列矩阵称为列矩阵，v两个矩阵两个矩阵 A、B，若行数、列数都若行数、列数都相等，则称相等，则称 A、B 是同型的；是同型的；称为行矩阵称为行矩阵,

6、也称为也称为n维行向量维行向量；也称为也称为m维列向量维列向量；v 若若 A = (aij)mn, B = (bij)mn 是同型的，且是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) ，则称则称 A 与与 B 相等，记作相等，记作 A B；v 元素全为元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，记作的矩阵称为零矩阵，记作O；v 不同型的零矩阵是不相等的。不同型的零矩阵是不相等的。 定义1.2 主对角线，主对角元主对角线，主对角元 1122 ,i in nnaiaaa 设 是 阶矩阵，元素称为 的第元素组成 的AAA主主对对角角线线元元, ,主主对对角角线线

7、. .nnnnnnaaaaaaaaa212222111211A0,ijnija 如果 阶矩阵 除主对角元外，其他元素都是零，即当时称 是。AA对对角角矩矩阵阵1212diagnn 主对角线元为 ， ， ， 的对角矩阵，也可记为（ ， ， ， ），即 对角矩阵对角矩阵nn000000),(diag2121主对角线元全是1的对角矩阵称为，记为或 nE100010001nEnI提问 (1): 单位矩阵是不是对角矩阵？ (2): 零矩阵是不是对角矩阵？定义1.3 上三角矩阵，下三角矩阵上三角矩阵，下三角矩阵1986045000320001 70005300342042150, 0)(。为称，时都有中，

8、当阶矩阵同样，若在。为称时都有中，若当阶矩阵在下三角矩阵下三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵AAAAijijijajinajian第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算 定义1.4 矩阵的和矩阵的和1.2 矩阵的运算()() ( , ) ijijijijabm nm ni jab设和都是矩阵，则它们的定义为一个矩阵，它的元素为这个矩阵记为定义为ABAB,和和AACBACBAABBAnm0 ) 3()()( )2( ) 1 (：结合律交换律mnmnmmnnnmijijbababababa11111111)(BA 定义1.5 矩阵的差矩阵的差1.2 矩阵的运算定义为这个矩阵记为元素为矩阵，它的定义为一个矩阵

9、，则它们的差都是和设B,ABAijijijijbajinmnmba ),( )()(mnmnmmnnnmijijbababababa11111111)(BA1.2 矩阵的运算定义1.6 矩阵的数乘矩阵的数乘mnmmnnnmijijaaaaaaaaaanmanm 212222111211)()( AAA，定义为记为矩阵，的乘积仍是矩阵与数AA)()( ) 1 (2121 AAA2121)( )2( BABA )( ) 3(0AAA0 ;1 )4(BABA) 1( )5(1.2 矩阵的运算矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算。负矩阵：( 1)()ijm nAAa 。练习练习1设,502134A30

10、1021B求 A2B解：6020422B6020425021342BA104172练习练习2: 设 满足534021A435628BXBXA22X 求1(2 )38261201 25344353222 111XBA 解：定义1.7 矩阵的乘法矩阵的乘法()()()ikikijamsbsnmnc设是矩阵，是矩阵，那么 和 的乘积是一个矩阵。其中ABABC 1 1221sijikkjijijissjkca ba ba ba bABC 记作111211111212212111 sjnjniiisssjsnmmmnjjaaabbbbbbiaaabbbaaa第列第列第行111111jniijinmmjm

11、ncccccciccc第行1.2 矩阵的运算例1.8032 ),2 , 1, 1 ( , babaab其中和求1 12(1, 1,2) 31 2( 1) 32 0103 322 12 ( 1)2 2224 3 (1, 1,2)3 13 ( 1)3 233600 10 ( 1)0 2000 乘积个矩阵，而乘积个矩阵，是一是一ab abbaba解：解：课堂练习：课堂练习： 设矩阵设矩阵,012301A,021114B求乘积求乘积 AB 和和 BA.解：0211140123012332BA371100123010211143223AB6023111216注：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律即矩

12、阵乘法不满足交换律矩阵乘法与数的乘法的不同之处：矩阵乘法与数的乘法的不同之处：2422 1211242200 121100 000000第二，当时，不能推出或，如：，可见， 但是，。ABABABABABA第一，矩阵乘法不满足交换律. AB有意义，而BA 可能无意义；一般地，ABBA.1.2 矩阵的运算00第三，当且时也不能断定； 当且时也不能断定ABCBBACABACABC.241311 1210012626 13130例如：，且，但是。ABCABACABACABCAAEAEABABAABACABCBABCACABCB,A,nmnmnppssm )4()()()( ) 3()( )2()()(

13、 ,1矩阵，则是设关于数乘的结合律：分配律：则矩阵，分别是）结合律：设（ 矩阵乘法与数的乘法的相同之处：矩阵乘法与数的乘法的相同之处：2111222222 kkkknnnaaaaaaAAAaaa 两个同型对角矩阵的乘积仍为对角矩阵，特别地，有，1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算 nnnnnn 个如果 是 阶方阵，则 的 次幂表示 个 的乘积，即AAAAAA AA, ()mnm nmnmnmn显对于数，。然，任意正整和有 AAAAA), 3 ,2(102101nnAnAA次幂的，求例：22322310110110220202011110210110320202011110201nnAAA An

14、A 解：以此类推，然后用数学归纳法证明。10201000000100121000000100121121)( 00000010012110210121112nnnnnnnnnnnnnCnBBCCnBBCBOCCBBCCBA则：由于：解法例1.12 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三 角矩阵. 是上三角矩阵。所以，时，当设时，是上三角阵，当由于设时，是上三角阵，当由于证：设ABCabbababacjicABCbjkBbBakiAaAnjkikjkkjnjkkjikjkkjiknkkjikijijjkjkikik000 , 0 , 0 ,11111 xyyxAaaaaAyyxxxxaa

15、aayyxxaaaaxaxaxaxayyxaxayxaxayyyQOyyxxPOxx (1.5) , , (1.5) ),(),( 13. 12221121121212122211211212122211211222121212111212221212212111121212121式可表示成矩阵形式：令：写成矩阵形式：，其中上一点坐标系对应着在坐标系上每一点设例nmnmmnnnnmnmnmmmnnnnmnxaxaxaxaxaxaxaxaxayyyxaxaxayxaxaxayxaxaxayyyyxxx22112222121121211121221122221212121211112121 ,改写

16、成：的变换到另一组变量量一般地，设有从一组变AxyxAy 212122221112112121212222111211221122221211212111有记所以由于nmnmmnnmnmnmmnnnmnmmnnnnxxxaaaaaaaaayyyxxxaaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxa1.2 矩阵的运算11()()()jnimijm nxyaxy它称为从向量到向量的一个线性变换，矩阵称为它的系数矩阵A原原像像像像，的称为的称为写成利用矩阵符号，该式可yxxyxyA 例1.14 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%

17、治愈。求两年后健康的鸟合患病的鸟各有多少？解：设转移矩阵A为：1.2 矩阵的运算只。只，患病的鸟为两年后健康的鸟为两年后的鸟为：一年后的鸟为：现有的鸟患病健康患病健康124037601240376012003800 4 . 0 2 . 0 6 . 0 8 . 0 )(1200380010004000 4 . 0 2 . 0 6 . 0 8 . 0 10004000 4 . 0 2 . 0 6 . 0 8 . 0 AxAAxxA1.2 矩阵的运算定义1.8 矩阵的转置矩阵的转置T(), ),ijjim nan mi ja矩阵的是一个矩阵，它的（元素是记为。AA转置矩阵转置矩阵nmnnmmmnmm

18、nnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111T212222111211 AA()ijmna矩阵的也即将其相应的行变成相应的列。A转转置置矩矩阵阵1.2 矩阵的运算T12211 ()(2) ()(3) ()(4) ()()TTTTTTTTTTTTTkk转阵质（）；。置矩有下列性：一般地，有AAABABAAABB AA AAAA A课堂练习课堂练习设,102211A124311012B求 ( A B ) T。解一：解一：124311012102211AB108129110289)(TBA解二解二( A B ) T = B T A T120121130211412110289,1

19、02211A124311012B1.2 矩阵的运算1 12211 122(4) ()()()mn( , )( , )()nm()()(), )nm( ,TTjijiTTTikm skjs nsikkjijijissjkkjTTTn siksTjsimsiabi ja baja ba ba bba ba bj ibia证明设是矩阵的是，则是矩阵，它的元素，的元素矩阵的元素TTABB AA, BABABB ABB,A A, ABAB1111221()( , ) ( , ) ( , )( , () )sksskijkjkkjijikkiTTTTTssiTjja bi ja baii kk jjba bba的元素的元素的元素即的元元素素TTBAABABBAAB1.2 矩阵的运算定义1.9