第八章组合变形

1、11第八章第八章 组合变形组合变形 8- -1 概述概述8- -2 两相互垂直平面内弯曲的组合两相互垂直平面内弯曲的组合8- -3 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合8- -4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合一、组合变形一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。TFzxyFF8-1 概述概述二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理外力分析：外力向形心(或弯曲中心)简化并沿主惯性轴分 解。内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。画危险面应力

2、分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。xyzF122 两两相互垂直平面内弯曲的组合相互垂直平面内弯曲的组合一、研究方法一、研究方法 ：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正交的平面弯曲。FyFzFzFyyzFj j2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。xyzFyFzFFzFyyzFj jjsinFFyjcosFFz解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解2.研究两个平面弯曲jjsinsin)()(MxLFxLFMyz jcosMMyxyzFyFzFFzFyyzFj jLmmxjcosyyyIMIzMz jsinzzzIMIyMy zzyyIyMIzM My引起的

3、应力：M z引起的应力：合应力：FzFyyzFj jxyzFyFzFLmmx000zzyyIyMIzMjctantanyzIIzy00在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。FzFyyzFj jD1D2 中性轴中性轴zzyyIyMIzM 应力符号规定应力符号规定中性轴与z轴夹角 max危险点一般处于单向应力状态，故： 2.对于有棱角的对称截面（矩形、工字型、箱型），其最 大正应力的位置可直接平判别出来。说明： 1.中性轴是一条通过截面形心的直线，一般情况下 所以中性轴与外力所在的平面不垂直。而梁弯曲变形时的位移总是垂直于中性轴，因此梁变形后的轴线（即挠曲线）不在外力所在的平面内，这种

4、弯曲就是斜弯曲。zyII zyII 3.对于圆形、正方形截面 ，正应力可直接用合成弯矩进行计算。例1：简支梁受力如图示，已知材料的许用应力 试对（1）矩形截面b=40mm ，h=80mm （2）圆截面，直径d=65mm，分别校核梁正应力强度。 MPa120解：作梁的弯矩图。（1）矩形截面：可能的危险截面为B,C截面在B截面：mkNMmkNMzByB1232231286846cmbhWy3223646486cmhbWz MPaWMWMzzByyBB75.93max在C截面：mkNMmkNMzCyC21 MPaWMWMzzCyyCC2 .117max所以，矩形截面梁的正应力强度满足要求。（2）圆截

5、面：危险截面为B或C截面，二者同等危险。其合成弯曲为：mkNMMMzy236. 2223396.2632cmdW MPaWM94.82max所以，圆截面梁的正应力强度也满足要求。83 拉拉伸伸( (压压缩缩) )与与弯弯曲的曲的组合组合 一、拉一、拉( (压压) )弯组合变形：弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产 生的变形。AFNNzMIyMmaxzNIyMAFmax二、应力分析：二、应力分析： 在轴向拉力F1 作用下，各截面上有相同的轴力FN=F1，而在横向力F2作用下，固定端截面上弯矩最大，Mmax=F2L。因此固定端截面为杆的危险截面。 危险截面上，与轴力对应的正应力为：与弯矩

6、对应的正应力为：叠加得，危险截面上任一点y处的正应力为：上式表明，正应力沿截面高度呈线性分布，中性轴不通过截面形心。zNIyMAFmaxzNWMAFmaxmax最大拉应力发生在危险截面的下边缘各点处，由于危险点处于单向受力状态，其强度条件为： max三、偏心压缩（拉伸）三、偏心压缩（拉伸） 将偏心力F平移到顶截面的形心C处，得到轴向压力F，以及力矩M y=FzF、Mz=FyF,如图所示。在轴向压力F作用下，任一横截面上的正应力均匀分布：AFN-在外力偶My、Mz作用下，横截面上任一点（y,z)的弯曲正应力：yyzzMIzMIyM根据叠加原理得，偏心受压时，横截面上任一点（y,z)处的正应力为：

7、yyzzIzMIyMAF -四、截面核心四、截面核心 当外力作用点位于横截形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不与横截面相交，这个区域称为截面核心。此时，横截面上仅出现单一的拉应力或是压应力。 外力作用点离形心越近，中性轴距离形心就越远。例题1：矩形截面简支梁，q=30kN/m,F=500kN, 求梁内最大正应力及跨中截面上中性轴位置。解：梁内最大正应力发生在跨中截面的下边缘处，该截面上弯矩最大，其值为mkNqlM15812max该截面上轴力为kNFFN500故最大正应力为MPabhMbhFWMAFNyN3 .7362maxmaxmax最小正应力为MPabhMbhFWMAFNyN7 . 6

8、62maxmaxmin跨中截面上正应力分布图如图所示，假设中性轴离上边缘的距离为z1,可求得cmz26. 11例题2：求图示杆在力F作用下的最大拉应力，并指明所在 位置。F=100kN200100622maxhbbFAFt-发生在后铅垂面各点上。 84 弯曲与扭转弯曲与扭转的组合的组合 如图所示，圆轴在某一截面上即有弯矩M又有扭矩T。其分布如图(b)示，在上下边缘处正应力最大， 在弯矩M作用下引起的正应力为：zIMyzWMmax在扭矩T作用下引起的切应力为：PIT其分布如图(c)示，在边缘处各点切应力最大，PWTmax从图(b)(c)可见，上下边缘的点K1、K2即有最大正应力又有最大切应力，是

9、截面的危险点。图（d)所示为K1的应力单元体，K1、K2两点均属平面应力状态，且两点的正应力和切应力都是相等的，所以可以任意取一点研究。为建立强度条件，需先算出危险点的主应力：）（22142102）（223421-若采用第三强度理论，将主应力代入得： 2234r若采用第四强度理论，将主应力代入得： 2243r对于实心或是空心圆轴，WP=2Wz，所以： 2231TMWzr 22475. 01TMWzr例题：图示水平放置的圆截面直角刚折杆，直径d=100mm，l=2m，q=1kN/m，=160MPa 。校核该杆的强度。lqABqlC解：1.荷载简化 2 .内力图（M图、T图） 危险截面在A截面，危险点 在其上下边缘 。 在A截面上：22322qlTqlM按第三强度理论： 2231TMWzr安全MPa7 .351 . 07000163nWTMPa37. 6101 . 050432AF解：拉扭组合,危险点应力状态如图例例