第三章 线性方程组.

1、第三章第三章 线性方程组线性方程组 高斯消元法高斯消元法 线性方程组的相容性定理线性方程组的相容性定理 N维向量及向量组的线性相关性维向量及向量组的线性相关性 向量组的秩向量组的秩 向量空间向量空间 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 本章利用矩阵的初等变换和矩阵的秩本章利用矩阵的初等变换和矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解的充分必来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大. 本章以矩阵为工具来讨论一般本章以矩阵为工具来讨论一般线

2、性方程组线性方程组.即含有即含有n个未知数个未知数,m个方程的方程组的解的情况个方程的方程组的解的情况,并回并回答以下三个问题答以下三个问题: 如何判定线性方程组是否有解如何判定线性方程组是否有解? 在有解的情况下在有解的情况下,解是否唯一解是否唯一? 在解不唯一时在解不唯一时,解的结构如何解的结构如何?线性方程组的一般形式:11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxbAXB或引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxx

3、x1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 解解1()A)1(2()A2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx13423()A4()A , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是

4、解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c 30340111cx即即（2）小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）与相互替换）（以替换）以替换）ik ij（以替

5、换）以替换）ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji第一节第一节 高斯消元法高斯消元法 定理定理 若将增广矩阵若将增广矩阵 (A|B)用初等行用初等行变换化为变换化为(S|T) ，则，则 AX=B与与 SX=T是同解方程组是同解方程组.因为在上述变换过程中，仅仅只对

6、方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记2111211214()4622436979AA B则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：21112112144622436979A111214211122311236979A21rr 23 r311214011100002600013A骣-=-桫-111214211122311236979A211214

7、022200553603343A13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 510104011030001300000A骣- =-桫31 12 140 11 100 00 260 00 13A骣-=-桫-43rr 342rr 41 1214011 100 00130 00 00A骣- =-桫21rr 32rr 5 5A A 对对应应的的方方程程为为 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c45.AA矩阵和都称为行阶梯形矩阵特点：特点：（1）、）、可划出可划出一

8、条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零； 510104011030001300000骣- =-桫A（2）、）、每个每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元.1 5的的其其他他元元素素都都为为零零列列，且且这这些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为即即非非还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总

9、可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形 510104011030001300000骣-=-桫A214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.FA矩阵称为矩阵的标准形.为为零零阵阵，其其余

10、余元元素素全全的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：特点： 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AF线性方程组的消元法线性方程组的消元法 消元法的核心-线性方程组的同解变形或称方程组的等价变形 等价变形有以下三类： 1 交换组内任意

11、两个方程的次序； 2 任意一个方程乘一非零常数； 3 任意一个方程两端乘同一常数后加到另一方程上。 线性方程组解的情况 方程组有唯一解 方程组无解 方程组有无穷多解1.方程组有唯一解情况 例 1 解方程组22132292336xyzxyzxyz 解 1221322923362131321221084120178rrrr 231221017808412rr 32812210178005252rr 31()52122101780011r231372120101010011rrrr 122100301010011rr 2方程组无解情况 例 2 232375820 xyzxyzxyz 解 121323

12、1758120123132252121312130131013102650003rrrrrr 方程组中最后一个方程为 0=3 矛盾方程，故无解 3.方程组有无穷多解情况 例 334362422xyzxyzxyz 解 34361124121221133131212121211240136343602612rrrrrr 3212221051001360000rrrr 得 10563xzyz 其中 z 可以取任意数，因此有无穷多解。 练习 1 3282351571222stustust 解 12213123221()113128147723515235151712221712221477147701

13、1192901119190111929000014770119/1119/110000rrrrrrrrr 124101/111/110119/1119/110000rr s=u/11-1/11,t=19u/11-19/11,u 取任意值，因此有无穷多解 （2）23347728xyzxyzxyz 解 213112312231314171417141723130113151728172801131141701131500016rrrrrrrr 无解 (3) 2228316xyzxyz 解 121212(1/2)( 1/2)22281114113161131611141114024120126101

14、100126rrrrrr x=10-z,y=2z-6,z 为任意数，有无穷多解 (4)232252428xyzuxyzuxyzu 解 2131233132312(1/6)35212312123122512401508112180110101231212312015080150800601800103120170100700103rrrrrrrrrrrrr 21001210100700103 x=u-21,y=-7,z=3,u 为任意数，有无穷多解 3.对方程组22222xyzxyzxyz 试分别就(1)1;(2)2 的情形求出其解 解 1 2131122321223( 1/3)22112121

15、11211121121120330112111210330121112111011011001100110033000000000rrrrrrrrrrr x=1+z,y=z,z 为任意常数 2 132131232122( 1/3)211211241212121211242112112411240336033603360000112410120112011200000000rrrrrrrrrrr x=z+2,y=z+2,z 为任意数，有无穷多解 1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相且变换类型相同同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2.2.A初等变换初等变换B. BA已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通