一元二次方程压轴题(含答案)

1、一元二次方程1.(北京模拟)已知关于x的一元二次方程 x2 + px + q+1=0有一个实数根为 2.(1)用含p的代数式表示q ;(2)求证：抛物线 yi = x2+ px+q与x轴有两个交点；(3)设抛物线yi=x2+px+q的顶点为M,与y轴的交点为E,抛物线y2=x2+px+q+1的顶点为N, 与y轴的交点为F,若四边形FEMN的面积等于2,求p的值.2,设关于x的方程x2-5x-m2+ 1 = 0的两个实数根分别为 a、&试确定实数 m的取值范围，使| d十| 0| <6成立.3 .(湖南怀化)已知 x1, x2是一元二次方程(a 6)x2 + 2ax+a=0的两个实

2、数根.(1)是否存在实数 a,使*1+*仇2=4十期成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1+1)( x2+1)为负整数的实数 a的整数值.4 .(江苏模拟)已知关于 x的方程x2-(a+b+1)x + a=0 (b>0)有两个实数根 x1、x2,且xKx2.(1)求证：x1< 1 <x21一，(2)若点A (1, 2) , B (- 1) , C (1, 1),点P (刈，x2)在 ABC的三条边上运动，问是否存在 这样的点P,使a+ b=5?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.4y2= 4xx= x1 x= x25 .(福建模拟)已

3、知方程组有两个实数解和 ，且x1x2W0, x1Wx2.y=2x+by= y1 y=y2(1)求b的取值范围；(2)否存在实数b,使得1+1= 1?若存在，求出 b的值；若不存在，请说明理由. x1 x26 .(成都某校自主招生)已知 a, b, c为实数，区满足 a+ b+ c= 0, abc= 8,求c的取值范围.x+ y = 3a 17 .(四川某校自主招生)已知实数x、y满足2十y2_ 4a2_2a+2 ,求xy的取值范围.8 .(福建某校自主招生)已知方程(ax+1)2=a2(1 x2) (a>1)的两个实数根 x1、x2满足xkx2,求证:-1<xko<x2<

4、; 1.(答案)1.(北京模拟)已知关于x的一元二次方程 x2 + px + q+1 =0有一个实数根为 2.(1)用含p的代数式表示q ;(2)求证：抛物线 y1 = x2+px+q与x轴有两个交点；(3)设抛物线y1=x2+px+q的顶点为M,与y轴的交点为E,抛物线y2=x2+px+q+1的顶点为N, 与y轴的交点为F,若四边形FEMN的面积等于2,求p的值.解：(1) .关于x的一元二次方程 x2+px+q + 1 = 0有一个实数根为 2Mx22+ 2p + q+1 = 0,整理得：q=2p 5(2) , =p2-4q = p2-4( -2p-5) = p2 + 8p+20= (p

5、+ 4)2+4无论p取任何实数，都有(p + 4) 2>0无论p取任何实数，都有 (p+4)2+4>0, .> 0:抛物线y1 = x2+ px+q与x轴有两个交点(3) ;抛物线yi= x2+px+q与抛物线y2=x2+px+q + 1的对称轴相同，都为直线x= -|,且开口大小相同，抛物线y2=x2+px+q+ 1可由抛物线yi = x2+ px+q沿y轴方向向上平移一个单位得到EF / MN , EF = MN = 1四边形FEMN是平行四边形 由题意得S四边形FEMN = EF " 3 = 2,即| -2| = 2p= ±42.(安徽某校自主招生)

6、设关于 x的方程x2-5x-m2+1=0的两个实数根分别为a、&试确定实数 m的取值范围，使d十i a < 6成立.解： =52-4( -m2+ 1) =4m2+21不论m取何值，方程 x2-5x-m2+1 = 0都有两个不相等的实根x2 5x m2+ 1=0,a+ 0= 5, a 四 1 一 m2.| d +| G <6, a + 0+2| a 36,即(®22 a 方2| a |0< 36.25-2( 1-m2) +2| 1 -m2| <36当 1 m2>0,即1<m< 1 时，25<36 成立.T<m<1当 1

7、 m2< 0,即 m< 1 或 m> 1 时，得 25 4( 1 m2) < 36解得史！<m<亚5 22.一号m< 1或1<m售综合、得：零& m<乎 . 23.(湖南怀化)已知 x1, x2是一兀二次方程(a 6) x+2ax+a= 0的两个头数根.11)是否存在实数 a,使x1+x1x2= 4十x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由;(2)求使(x1+1)( x2+1)为负整数的实数 a的整数值.解：(1).x1, x2是一元二次方程(a6)x2+2ax+a=0的两个实数根a6*0aw64a2- 4a(a-6)

8、 >0 即 a>0-2aa-6假设存在实数 a使一x1+x1x2=4+x2成立，则4+(x+x2) x1x2= 0a=0,得 a= 24a 6. a= 24 满足 a> 0 且 aw 6存在实数 a=24,使x+x1x2 = 4+x2成立,，、， 2a a, a(2) . ( x1 + 1)( x2+ 1) = (x1 +x2) + x1x2+ 1 = 0776 + a_ 6+ 1 = _ a_ 6.要使(刈+1)( x2+1)为负整数，则只需 a为7, 8, 9, 124.(江苏模拟)已知关于x的方程x2-(a+b+1)x + a=0(b>0)有两个实数根x1、x2,

9、且x1<x2.(1)求证：x1< 1 <x21一，(2)若点A (1, 2) , B(2，1) , C (1, 1),点P (刈，x2)在 ABC的三条边上运动，问是否存在 一 5 这样的点P,使a+b：?右存在，求出点 P的坐标；右不存在，请说明理由.解：（1）由根与系数的关系得：xi + X2=a + b+i, xix2= a：a=XlX2, b= X1 +X2 X1X2- 1 b>0,x1 + x2-x1X2- 1 >01 -X1 -X2 + X1X2< 0( 1 X1)( 1 X2)< 0又 X1<X2,1-X1>0, 1 -X2&

10、lt; 0即 X1< 1 , X2> 1X1< 1 < X259(2) . X1 + X2= a + b+ 1 a+ b = T, - X1 + X2=-'44当点P(X1, X2)在BC边上运动时1 一则 2<X1< 1 , X2= 1X1 = 9 X2= 9-1 = 7> 1444 故在BC边上不存在满足条件的点 P 当点P（X1, X2）在AC边上运动时 则 X1 = 1, K X2< 2取 x2=5,则 X + x2=?,即 a+ b = 54445故在AC边上存在满足条件的点P （1, 4）当点P（X1, X2）在AB边上运动时

11、1 一一则 2<X1<1, 1<X2<2,易知 X2= 2X133 x1 = 4, x2= 2,1<3<2，2故在AB边上存在满足条件的点（3, 3）4 2AC、AB综上所述，当点 P （X1, X2）在 ABC的三条边上运动时，在 BC边上没有满足条件的点，而在边上存在满足条件的点，它们分别是（1，5）和（4,3）y2=4xx= X1 x= X25.（福建模拟）已知方程组有两个实数解和 ，且X1X2W0, X1WX2.y=2x+by= y1 y=y2（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b,使得+ = 1 ?若存在，求出 b的值；若不存在，请说明理由.X1

12、 X2解：(1)由已知得 4x= (2x+b)2,整理得 4x2+(4b-4)x+b2=0.X1WX2,0,即(4b4)2 16b2>0,解得 b< 22X1.- X1X2 0,4/0, ：bw0,、，一一 ，1 一综上所述，b<万且bw 0(2 * * 5)xi + x2= 1 b, X1X211xi + x2 4( 1 b)12x1 X2X1X2b=1得b(aT)2U+ 4b-4=0,解得 b=2±2山1-， 2+2，2=2（也一1） A,b= 2+2皿不合题意，舍去''' b = - 2 226.（成都某校自主招生）已知 a, b, c

13、为实数，且满足 a+ b+ c= 0, abc= 8,求c的取值范围.8解：. a+b+c=0, abc=8, a, b, c 都不为苔，且 a+ b= - c, ab=- c .a, b是方程xZ+cx+S：。的两个实数根 cA = c2-4X8>0c当c< 0时，c24X8>0恒成立 c当 c>0 时，得 c3>32, 02V4 故c的取值范围是c< 0或O 2 V4x+y = 3a -17.(四川某校自主招生)已知实数x、y满足x2+y2= 4a2_2a+2 ,求xy的取值范围.解：(x-y) 2>0,x2+ y2>2xy:2(x2 + y2) > (x+ y)2一， 2_、 一 、22(4a2-2a+2)>(3a-1)2即 a2 2a 3<0,解得一1<a< 31222 xy=2( x+y) (x+y),(3a-1)2-(4a2-2a+2)1,2、2( 5a 4a1)10< xy< 168.（福建某校自主招生）已知方程（ax+1）2=a2（1 x2） （a>1）的两个实数根 x1、x2满足xkx2,求证: -1<xK0<x2<1.证明：将原方程整理，得2a2x2+2ax+1 a2= 0令y= 2a2x2 + 2ax+1 - a2,由于a>1,