中考试题自主招生考试题选讲(一)

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点泉港三川中学2015年自主招生考试数学题选讲(一)本试卷满分120分，考试时间150分钟)一、选择题：本大题共 8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得 5分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分.1如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点 P在运动过程思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论.解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：(1)当点 P在 AB段运动时，PB=1-t , S=tt (1-t) 2(0

2、Wtv1)；(2)当点 P在 B-A段运动时，PB=t-1 , S=tt (t-1 ) 2 (1WtW2).综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=tt ( t-1 ) 2 (0WtW2),这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线.结合题中各选项，只有B符合要求.故选B.点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象.解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择.2 如图，梯形 ABCD中,AB/ DC, D吐 AB, CFL AB,且 AE=EF=FB=5 DE=12 动点 P 从点 A 出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个

3、单位长的速度运动到点 B停止.设运动时间为t秒，y=S epf,则y与t的函数图象大致是()DfC信达A.思路分析：分三段考虑，点 P在AD上运动，点P在DC上运动，点P在BC上运动, 分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象.解：在 RtADE中,AD=7Ae2DE 13,在 RtCFB中，BC=JbF"_CF7 13,DfC过点 P 作 PML AB 于点 M,则 PM=APsinZ A=t ,此时y= 1 EFX PM=30t ,为一次函数；2131点P在DC上运动，y= - EFX DE=30;21212(31 t)点 P在 BC上运动，过点 P作 PNAB于点 N,贝

4、U PN=BPsin/ B= (AD+CD+BC-t=-L1313则 y= 1 EFX PN=30(31-t) ,为一次函数. 213综上可得选项 A的图象符合.故选A.点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式,当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式.3已知点P (0,3)与点Q(2a+b, a+2b)关于原点对称，则 ba的值为 ()A.2 B.C. 0.5 D.0.5t答案】二【解析】试题分析；关于原点对称的点的军标是横' 纵坐标都互为相反数，因此，2a+ b = 0a+ 2b - 3二点P （0

5、, - 3）与点QQAh 升油）关于原点丁丽，a - -1b - 2-V =尸=性Q .5 .2故选C.考点一.关于庾点对称的点的皿泳特任 二求代麴式匕面3.负整指数嘉4已知点P （x, x ）,则点P 一定（）（A）在第一象限（B）在第一或第二象限（C）在x轴上方（D）不在x轴下方【答案】D.【解析】试题分析门 已知点.P （嚣，恸），;博曲当|spO* 点P在北轴的上方当国=口时，点P在长轴上只有D符合条件.故选D.考点.点.的坐标.5已知数轴上三点 A B C分别表示有理数 a、1、1,那么|a 1表示（）（A） A B两点的距离（B） A C两点的距离（C） A B两点到原点的距离之和

6、（D） A、C两点到原点的距离之和【答案】8【解析】试题分析="|a + l卜卜-1q邛川表示4点与C点之间的距离.故选瓦考点：数轴以及绝对值.6 .如图，Be是半径为6的e d的1圆周，c点是Be上4的任意一点， 4ABD是等边三角形，则四边形 ABCD的周长p的取值范围是（C ）A. 12 pw 18C. 18 p< 18 642B. 18 pw 24D. 12 p<12 6427 .如图，O为原点，点 A的坐标为（3, 0）,点B的坐标O- y A-xC为（0 , 4）, OD过A、B、O三点，点C为弧ABOh的一点（不与O A两点重合），则cosC的A. -3-B

7、 . -3-C458世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：1111221113631工 工 1412 12 41 工工。15 203020 51A±±±163060603061111111742105140105427第8题图则排在第1A. 一13210行从左边数第1B.3603个位置上的数是（_1C.D.、填空题（每小题4分,495B )1660共20分）1随意抛一粒豆子，恰好落在如图5的方格中（每个方格除颜色外完全一样）,那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是4【答军】-15【解析】试题分析；易根据面积法求概率.艮眠出豆子在黑色方格的面积与总面积的比,因为共有15个

8、方格.其中黑色方格占4个，所以这粒豆子停在-沟方格的概率 .故埴-.1515考点：用几何面积求事件的概率.2.如果将电影票上“ 6排3号”简记为(6, 3),那么“10排10号”可表示为 8 1表示的含义是 .【答案】弧10)；7排1号【解析】试题分析，白排3号"记为(6, 3)可知，有序歌，与排号对应.,'TO排10号”可表示为 (10,屿(7, 1)表示的含义是T排1号，故各空依衣埴.(16场卜7排1号.考点：坐标确定位置.3.已知点P(3, 1)关于y轴的对称点 Q的坐标是(a+b, 1 b),则a的值为.【答案】25【解析】试题分析：本题考查了关于y轴对称的点的坐标特

9、点，三于尸轴对称的点的横坐标互为相反数，纵 坐标相同,可得 3, 1b=-1,解得 加% 56n. =25.考点；对稗点的坐标特征.60°4如图，AC是e O的直径，ACB 600,连接AB ,过A, B两点分别作e O的切线，两切线交于点 P .若已知。的半径为1 ,则 APAB的周长为 3<3.三.能力(5分)选做题每问5分必选一题。1 正方形ABCD勺顶点A在直线MNLh,点。是对角线 AG BD的交点，过点 。作OH MN于 点E,过点B作BFLMNT点F.(1)如图1,当。B两点均在直线 MN±方时，易证：AF+BF=2OE2)当正方形 ABC度点A顺时针旋

10、转至图 2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.图1却邳思路分析：（1）过点B作BG OE于G,可得四边形BGEF矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BG BF=GE根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB / AOB=90 ,再根据同角的余角相等求出/ AOE= OBG然后利用“角角边”证明 AO讶口OBGi:等，根据全等 三角形对应边相等可得 OG=AE OE=BG再本据AF-EF=AE,整理即可得证；（2）选择图2,过点B作BGL。或 OE的延长线于 G,可得四边形 BGEF是矩形，根据矩形 的对边相等可得 EF=B

11、G BF=GE根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB /AOB=90 ,再根据同角的余角相等求出/AOEW OBG然后利用“角角边”证明 AOEAOBGir等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE OE=BG再本据AF-EF=AE,整理即可得证；选择图3同理可证.解：（1）证明：如图，过点 B作BGLOE于G 则四边形BGEF矩形， ，EF=BG BF=GE在正方形 ABC邛,OA=OB / AOB=90 , BG± OE / OBG廿 BOE=90 ,即国群又 / AOE廿 BOE=90 , / AOEh OBG在 AO臣口 OBG4AOE OBGAEO OGB 90

12、 , OA OB. AO监 OBG( AAS , .OG=AE OE=BG. . AF-EF=AE EF=BG=OE AE=OG=OE-GE=OE-BF .AF-OE=OE-BF，AF+BF=2OE（2）图 2结论:AF-BF=2OE图 3 结论：AF-BF=2OE对图2证明：过点 B作BGL OE交OE的延长线于 G, 则四边形BGEF矩形， .EF=BG BF=GE在正方形 ABC邛,OA=OB / AOB=90 , BG± OE / OBG廿 BOE=9O ,又 / AOE廿 BOE=90 , / AOEh OBG在 AO臣口 OBG, AOE OBG AEO OGB 90 ,

13、OA OB.AO监 OBG（ AAS ,.OG=AE OE=BG. AF-EF=AE, EF=BG=OE AE=OG=OE+GE=OE+BF .AF-OE=OE+B F .AF-BF=2OE若选图3,其证明方法同上.点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点.四、解答题（共5小题，满分55分）1 （本小题10分）阅读理解：如图1,在四边形ABCM边AB上任取一点E （点E不与点A、点B重合），分别连接ED EC, 可以把四边形 ABC防成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E

14、叫做四边形ABCM边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCM边AB上的强相似点.解决问题：（1）如图1, / A=/ B=Z DEC=55，试判断点 E是否是四边形 ABCD勺边AB上的相似点， 并说明理由；（2）如图2,在矩形ABCD, AB=5, BC=2且A, B, C, D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点 E;拓展探究：(3)如图3,将矢I形ABCW CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM勺边AB上的一个强相似点，试探究 AB

15、和BC的数量关系.【答案】详见解析，【解析】试题分析.乜)判断点百是否为四边形上网。的或j51笆相限点，只要能证明图中有两个相似三 角相呵由乙4 = 55、可知，/收斗邮=12兀由皿C = 55,可知：加十/皿C二125所以= 所庐山(公 塞在儿S边上找一个强相似点H,则连接。及 C5的线段应把矩形分成的三个三龟形相似. 而必4日尾 A5CE均为直条三角形，则43EC也仍然为直第三角形，而NEQC. /EC。不可能 为直角，所以/。豆° = 90:由直径所对的圆周角是直角可知；点石在以8的中点为圆心、以 IdC为半径的圆上.画出该国与AB的交点即为所求点总.2(3)利用折叠找出图中相

16、等的线段和相等的角；由相似找出图中相等的角；可知BCE 30 ,由直角三角形的性质可得 BE1 _匹世可得BC 3AB 2.3BC 3 EC,而 EC CD AB,所以 2_1BE AB ,由 tan BCE 2试题解析:解士点E是四边形3D的边心上的相片原.理由：I上后55中，ZAI>E+ZDEi=125° .*.'2DEC=550 ,.ZEDC+ZDEA=125o .'/ZA=ZEi，&Es目 K.，点E是匹近形ASCH困AB边_的相似点.(2)作图如下：（3）'.息E是四边形MCM的边胎上的T3虽相似息,'.aemsAbcesAec

17、m,ZQCE=ZeCN=ZAEJ!,由折叠可知；ECHtZsDCFb,'.ZECM=Zi CE二如，.,.ZBCE=lzBCr=30o J3 .BE=izE=lAB.22在 RtziECE 中？ tan£eE=tanJO" , BC-BE V3 *=sBC 3. A& 23 " - K 3考点：1、相似三角形的判定.2、利用直径所对的圆周角是直角找符合条件的点.3、三角函2. （7分）如图，O O是4ACD的外接圆，AB是直径，过点BE/ AD,两直线交于点 E,如果/ ACD=45 , O。的半径是D作直线DEE/ AB,过点B作直线4cm（1）

18、请判断DE与。的位置关系，并说明理由;（2）求图中阴影部分的面积（结果用兀表示）【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 24 4试题分析：（1）连接0D,根据扇周角定理得/ADB=，（T，可判断ZiADB为 等瞋直角三角胭，所以。D_LAB,而DE4 AB,则有OD_LDE,耀后根据切缱的判定定理得到DE 为® 0的切线/门）由BE/AD, DF 逐 得到四辿形总BED为平行西边形，则DE>4BMcm,然 后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S 3受兰产 BODE - S台号0BD求得图中阴影部分的 面积, 试题解析：m de与口相切.理由如下：如图，摩接。口，则上AB&g

19、t;.2ACU:弟是直径，J2ADB=gi，/C口为等腰交弟三角形.二点。为AE的中点.一DDL AB.'/DE# AB, .,.OD±DF .DE 为色。的切绕.C2） ;BE/7AD, DE*AB,，四边形ABED为平行四边形.DE-AB-8ctn. *己照席介s«kboce-SflwcbD = 74?)x4 = 24-4汜 cm31考点：1.圆周角定理；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.切线的判定;5.平行四边形的判定和性质；6.扇形面积的计算；7.转换思想的应用考点：1.动点问题；2.切线的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理;5

20、.垂径定理；6.三角形的面积；7.分类思想的应用3.(本小题满分9分)已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为 1的e B经过点O ,且与x, y轴分交于点A, C ,点A的坐标为Q , AC的延长线与e B的切线OD交于点D .(1)求OC的长和 CAO的度数；(2)求过D点的反比例函数的表达式.rA B CdE x3.解：（1） Q/AOC 900, AC是e B的直径，AC 2 1分又Q点A的坐标为（J3,0） , OA J3oc Jac2 oa2 J22（拘2 1 2 分OC 1,osin / CAO -, / CAO 30 3 分AC 2（2）如图，连接OB,过点D作DE x轴于

21、点E 4分QOD为e B的切线，OB OD , / BOD 900 5 分Q AB OB ,/ AOB / OAB 300,Z AOD Z AOB / BOD 300 90° 120°,在 AAOD 中，/ ODA 180° 120° 30° 30° / OADOD OA 73 6分60°在 RtDOE 中，Z DOE 180° 120°OE ODgc°s60° ：OD -y , EDODgsin 60° 3 3 3 点D的坐标为 ，一 2 2k 设过D点的反比例函数的表达式

22、为 y kX,、3 3 3.3 k 2 243,3 y 4x4.(本小题满分9分)已知：如图，在平面直角坐标系中，4ABC是直角三角形，ACB 90°,点A, C的坐3标分另为 A( 3,0), C(1,0), tan BAC 3.4(1)求过点A, B的直线的函数表达式；(2)在x轴上找一点D ,连接DB ,使得ZXADB与4ABC相似(不包括全等)，并求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，如P, Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ ,设AP DQ m,问是否存在这样的 m使得 APQ与4ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由.4.解：(1) Q 点 A( 3,0

23、) , C(1Q)AC 4, BC tan / BAC AC3 4 3, B点坐标为(1,3)4设过点A, B的直线的函数表达式为y kx b , 2 分 3分APO yQCD xQ0 k ( 3) b /曰3由得k , b3 k b4 39直线AB的函数表达式为y x 44(2)如图1,过点B作BD AB ,交x轴于点D , 在 RtAABC 和 RtzXADB 中，Q / BAC / DABD点为所求 RtzXABCs rd ADB,又 tan / ADBtan / ABCCD BCtan Z ADB434 933 4OD OCf 13CD 一,4c 13cD ,04（3）这样的m存在在RtABC中，由勾股定理得 AB 5如图1,当PQ / BD时, APQsz ABDc 133 m一4,解得38425 m -9如图2,PQ A