105 偏导数在几何上的应用

1、E-mail: 设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 5 5 偏导数在几何上的应用偏导数在几何上的应用E-mail: 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx E-mail: ,0,时时即即当

2、当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面法平面：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt E-mail: 例例1 1 求曲线求曲线x=t,y=t5,z=t3在点在点(1,1,1)(1,1,1)处的切线及法平处的切线及法平 面方程面方程. .42 153, (1,1,1)1 tttxy tztt： ，点对应的解参数 1,5,3111 153Txyz故则切线方程为 (1)5

3、(1)3(1)0 539xyzxyz法平面方程为即E-mail: 1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切切线线方方程程为为【讨论】【讨论】001,(),() Tfxg xE-mail: 2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为000000()()()0yzxyzxyzxyzxFFFFFFx

4、xyyzzGGGGGG(1, , )(1,)xyzxxyzxFFFFdydzGGGGdxdx TE-mail: 由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zxE-mail: 设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线( ):( ),( )xtytzt二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTME-mail: ),(),(),(000000000zyxF

5、zyxFzyxFnzyx 令令则则,Tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxE-mail: 法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量.E-mail: 解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()

6、0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyxE-mail: 特殊地特殊地：空间曲面方程形为：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令E-mail: 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1

7、,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyxE-mail: 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx E-mail: 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2

8、(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)E-mail: 23xtytzt 【练习】曲线【练习】曲线的所有切线中，与平面的所有切线中，与平面： x+2y+z=4平行的切线有（平行的切线有（ ） （A）不存在）不存在 （B）只有一条）只有一条 （C） 只有二条只有二条 （D） 三条三条解答切向量解答切向量T ( (t0), (t0), (t0) 221, 2 ,3 tt/TTn21 2( 2 )3011/3tttt 或所以满足条件的为二条。所以满足条件的为二条。E-mail: 思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .E-mail: 思考题解答思考题解答,2,2