可微的几何意义

1、10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义 用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离, 由于由于 图图 1 sin, hdQSP因因此此当当沿沿趋趋于于时时, ,0.hd0 PRSdhQT0d 等等同同于于当当时时，PTSP是是曲曲线线 在在点点 的的切切线线0lim0.dhd 三、可微的几何意义10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义定义定义 3 设曲面设曲面 S 上一上一一个一个平面平面, S 上的动点上的动点 仿照这个想法仿照这个想法, 我们引我们引进曲面进曲面 S 在点在点 M 的切平

2、的切平 面的定义面的定义(参见图参见图2). MQhdxyzOS 图图 2 当当 Q 在在 S 上以任上以任意方式趋近于意方式趋近于 M 时时, 有有0lim0,dhd点点 M, 为通过点为通过点 M 的的 Q 到定点到定点 M 和到平面和到平面 的距离分别记为的距离分别记为 d 和和 h. 若若 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义定理定理 3 00( , )(,)zf x yP xy 函函数数在在点点可可微微0000000(,)()(,)()( ),xyzzfxyxxfxyyyo 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy000000( , )(,)(

3、)zf x yM xy zzf xy 在在点点, ,存存在在 切切平平面面 ：证证：“”00( , )(,)zf x yP xy 函函数数在在点点可可微微2200000(,),.()()zf xyxxyy 其中其中 则称则称 为曲为曲面面 S 在点在点 M的的切平面切平面, 称称 M 为为切点切点. 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义讨论过点讨论过点000(,)M xyz 的的平平面面 ：0000000(,)()(,)(),xyzzfxyxxfxyxy ( , , )Q x y z 平平面面由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 0000000220000|(,)(

4、)(,)()|1(,)(,)xyxyzzfxyxxfxyyyhfxyfxy220000| ( )|,1(,)(,)xyofxyfxy 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义000222()()(),dxxyyzz 00hd 因此,由，并当时有因此,由，并当时有220000| ( )|10,1(,)(,)xyhhodfxyfxy M 到到 Q 的距离为的距离为 ( , )zf x y 在在点点根据定义根据定义 便知便知平面平面 即为曲面即为曲面P 的切平面的切平面10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义000( , )(,)zf x yM xyz 若若曲曲面面在在点点存

5、存在在切切平平面面第一步第一步 设设 Q(x, y, z) 是曲面上任意一点是曲面上任意一点, 由由 Q 到这到这 个平面的距离为个平面的距离为 00022|()()|.1zzA xxB yyhAB“”0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy00022222,()()()()() .xxxyyyzzzxydxyz ，令令 00(,)xAfxy 00(,)yBfxy 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义QM 0.hd由切平面的定义知道由切平面的定义知道, 当当时时, 有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 M 与与 Q, 有有 22|1hzA xB y

6、ddAB由此则得由此则得 221|() .22dzAxByz 221,2 1AB10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义由由于于2222|11zA xB ydABdAB 221,hdABd |zA xB y 因此因此, 想要证得当想要证得当 d 充充分分小小时时，为为一一有有界界量量. .f000(,)P xy第二步第二步 分析分析: 要证明要证明 在点在点可微可微, 事实事实 上就是需证上就是需证 ()( ).zAxByo 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义|:z 是有界量是有界量|abab 由由第三步第三步 先证先证 可推得可推得 2211|(|),22zAx

7、Byzz 故有故有 11|,22zAxBy |2 |12(|)1.zxyABAB 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义第四步第四步 :d 再证是有界量再证是有界量由上式进一步可得由上式进一步可得 2221|12( | 1 ).zdzzAB 00(,)P xy根据第二步的分析，这就证得根据第二步的分析，这就证得在点在点 可微可微. . 10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义000( , )(,)zf x yM xy z 在在点点处的切平面方程为处的切平面方程为0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy过切点过切点 M 与切平面垂直的直线称为曲面

8、在点与切平面垂直的直线称为曲面在点 M 的的 由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 0000(,),(,),1),xynfxyfxy于是过切点于是过切点 M 的法线方程为的法线方程为 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy法线法线.10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义xyz设设 ， ， 分分别别是是法法线线与与 轴轴、 轴轴、 轴轴正正向向的的夹夹角角，0000(,),(,),1)xynfxyfxy则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦是是00(,)cosxfxy 00(,)cosyfxy 1cos 220000= 1+(,)(,)xyfxyfxy其其中中10.3 多元函数微分法多元函数微分法可微的几何意义所以切平面方程为所以切平面方程为 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy 2241(2,1,4)zxy例例 、求求曲曲面面在在点点的的切切平平面面方方程程和和.法法线线方方程程以以及及法法向向量量的的方方向向余余弦弦2xzx 解解：2yzy (2,1)4xz (2,1)2yz 44(2)2(1).zxy