无穷小无穷大极限运算法则PPT通用课件

1、 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 (P39). 若0 xx 时 , 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例1 (P39) :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明说明 (P39): 2、 0是可以作为无穷小的唯一常数0 xx 时 , 函数,0)(xf(

2、或 )x则称函数)(xf为0 xx 定义定义1. 若(或 )x则时的无穷小无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、无穷小不是很小的数定理1其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理 1 (P39) . ( 无穷小与函数极限的关系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大Mxf)(二、二、 无穷大无穷大定义定义2 (P40) . 若任给任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx

3、时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意注意(P40):1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例例(P42题题6), 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2例例 2 (P40). 证明11li

4、m1xx证证: 任给正数 M , 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .渐近线1说明说明(P41):xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小无穷大关系三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2 (P41). 在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页

5、返回 结束 定理2证明,)(lim0 xfxx, 0, 0, 01M|00 xx证 设取当时，有,1| )(| Mxf,)(1xf)(1xf0 xx 即所以为当时的无穷小.0)(lim0 xfxx, 0)(xf, 0M, 0,1M|00 xx反之，设且 取当 时，有,1| )(|Mxf, 0)(xf,|)(1|Mxf)(1xf0 xx 由得所以为当时的无穷大.内容小结内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系3. 无穷小与无穷大的关系思考与练习思考与练习P42 题1 , 3P42 题3 提示:21xy,21x210140 x第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第一

6、章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1 (P43). 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明说明: 无限个无限个无穷

7、小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( P56 , 题 4 (2) )机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2定理定理2 (P43) . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 (P44) . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 (P44) . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上

8、页 下页 返回 结束 例1oyx例例1 (P48例例8). 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 (P43) 可知.0sinlimxxxxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限四则运算法则二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则)()(lim)2(xgxf)(lim)(limxgxfBA,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(lim) 1 (xgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3 (P44). 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(lim)3(xgxf)(lim)(limxgxfBA说明说明(P45): 定理 3 可

9、推广到有限个有限个函数相加、减、 乘的情形 .推论推论推论 1 (P45) .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 (P45).nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2 (P46). 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理4定理定理4 (P45) . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnn

10、nlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 (P44) 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3 (P46). 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明 (P47): 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例如例如.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xx

11、xxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4例例4 (P47) . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 由P41定理2有例5例例5 . 求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理分式极限一般结果一般有如下结果一般有如下结果(P48)：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如P47

12、 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当复合函数极限运算定理定理6 (P48). 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明(P49): 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则例例7. 求求解解: 令.93l

13、im23xxx932xxu已知ux3lim61( 见见 P47 例例3 ) 原式 =uu61lim6166( 见见 P34 例例5 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(