《概率论与数理统计》课件之12

1、Ch3-13.5 3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布已知r.v.( X ,Y )的概率分布 g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为( X ,Y )的事件问题方法求 Z = g( X ,Y )的概率分布Ch3-2当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2 , 1k当( X ,Y )为连续r.v.时，)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz其中Ch3-3-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1

2、-0.500.51-1-0.500.51),(|),(:zyxgyxDz的几何意义：DzCh3-4例例1 1 设二维设二维 r.v. ( X,Y )的概率分布为的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求求XYXYYXYX,的概率分布的概率分布离散型二维离散型二维 r.v.的函数的函数Ch3-5解解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1

3、 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0Ch3-6故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181Ch3-7PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0h3-8q 设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，具有可加性的两个离散分布q 设 X P (1), Y P (2), 且独立，则 X + Y B ( n1+n2, p)则 X + Y P(1+ 2) Ch3-9X P(1), Y P(2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2

4、, , , ),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21!)(2121kek, 2 , 1 , 0k关于关于Poisson分布可加性的证明分布可加性的证明Ch3-10问题 已知随机变量( X ,Y )的 d.f. g(x,y)为已知的二元函数，求求 Z= g( X ,Y ) 的 d.f.方法q 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件q 建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的 d.f.二维连续二维连续r.v.的分布的分布Ch3-11(1) 和的分布：和的分布：

5、Z = X + Y 设( X ,Y )的联合密度函数为 f (x,y), 则 zzx +y= z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(zCh3-12特别地，若X ,Y 相互独立，则dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX记作)()(zfzfYX记作) 1 (z) 2 (z) 4 (z称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 Ch3-13例例2 2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为其他

6、, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一（图形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY显然X ,Y 相互独立,且Ch3-14dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10)(dxxzfY, 20, 0zz或, 10,10zdxz, 21,111zdxzz-1 = xx21Ch3-1521,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z当z 0 时，0)(zFZ1

7、yx1Ch3-16当0 z 1 时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzzCh3-17x+y = z当1 z 2 时，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ 2)(z-11yx1zz) 1()( zzFZCh3-181yx1x+y = z22当2 z 时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或Ch3-19例例3 3 已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解解:dxxzxfzfZ),()(由公式（

8、1）Ch3-20zxz = xz = 2xx = 112当 z 2 , zzzz当 0 z 1, 22/893)(zxdxzfzzZ当 1 z 2, )41 (233)(212/zxdxzfzZf Z (z) = 0其他, 02, 10,3),(xzxxxxzxfCh3-21其他, 021),41 (2310,89)(22zzzzzfZ这比用分布函数做简便Ch3-22 正态随机变量的结论q 若X ,Y 相互独立,),(),(222211NYNX则),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2 若nXXX,21相互独立则),(1211niiniiniiNX推广推广Ch3-23(2)

9、 极值分布：即极大值，极小值的分布极值分布：即极大值，极小值的分布对于离散型随机变量的极值分布可直接计算只讨论相互独立的随机变量的极值分布Ch3-24maxX ,Y P1 00.75 0.25 例例6 6 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的0-1分布. 求 M = maxX ,Y 的概率分布解解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25Ch3-25设连续随机变量X ,Y 相互独立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函数.),(max)(uYXPuFM),(uYuXP)()(uYPuX

10、P)()(uFuFYXCh3-26),(min)(vYXPvFN),(min1vYXP),(1vYvXP)()(1vYPvXP.)(1)(1 1vFvFYXCh3-27推广推广nXXX,21相互独立，且相互独立，且nixFXiii, 2 , 1),(设设,min,max2121nnXXXNXXXM则则niiNniiMvFvFuFuF11)(1 (1)()()(Ch3-28例例7 7 系统 L 由相互独立的 n 个元件组成，其连接方式为 串联; 并联；若 n 个元件寿命分别为nXXX,21niEXi, 2 , 1),(且求在以上 2 种组成方式下, 系统 L 的寿命 X 的密度函数.Ch3-29解解其它, 00,)(ixiXxexfii其它, 00,1)(i