第三课函数的单调性与奇偶性

1、第三课 函数的单调性与奇偶性编制 范云芬 审核 储六春一、知识点回顾：（一）、函数的单调性：函数单调性的定义： 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时, 都有f (x1)f (x2),那么就说f (x)在这个区间上是增函数.这个区间叫增区间. 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时, 都有f (x1)f (x2),那么就说f (x)在这个区间上是减函数.这个区间叫减区间.注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间.函数单调性的判别方法：（1）图象法.若函数f (x)的图象

2、在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f (x)在区间D上是增(减)函数；（2）定义法.其一般步骤是： 取值.在所给区间上任取x1x2；作差f (x1)f (x2)；变形.分解因式或配方等；定号.看 f (x1)f (x2)的符号；下结论. （3）利用复合函数的单调性性质（4） 利用复合函数的单调性性质可直接证出.函数f (x)与f (x)+c(c为常数)具有相同的单调性； 当c0时,函数f (x)与cf (x)具有相同的单调性；当c0时,函数f (x)与cf (x)具有相反的单调性；若f (x)0,则函数f (x)与具有相反的单调性；若f (x)0,则函数f (x)与具有相同的单调性；若函数

3、f (x), g(x)都是增函数,则f (x)+g(x)也是增函数； (增+增=增)若函数f (x), g(x)都是减函数,则f (x)+g(x)也是减函数； (减+减=减)若函数f (x)是增函数, g(x)是减函数,则f (x)g(x)也是增函数；(增减=增)若函数f (x)是减函数, g(x)是增函数,则f (x)g(x)也是减函数；(减增=减)一些特殊函数的单调性：一次函数y=kx+b,当k0时,在R上是 ；当k0时,在R上是 .二次函数y=ax2+bx+c, 当a0时,在(,上为,在,+)上为； 当a0时,在(,上为,在,+)上为.反比例函数y=,当k0时,在(,0),(0,+)上都

4、是 ； 当k0时,在(,0),(0,+)上都是 .指数函数y=ax,当a1时,在R上是 , 当0a1时,在R上是 .对数函数y=logax,当a1时,在(0,+)是, 当0a1时,在(0,+)是.*记住重要函数y=x+的单调性,并会证明：当x0时，函数在(0,)上单调递减,在,+上单调递增；当x0时，函数在上单调递减,在上单调递增.（二）、函数的奇偶性：函数奇偶性的定义： 如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f (x)=f (x),那么函数f (x)叫做偶函数.如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f (x)=f (x),那么函数f (x)叫做奇函数.注意：由定义可知,函

5、数具有奇偶性的必要条件是定义域关于_对称.函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性). 注意：设函数f (x)的定义域关于原点对称,那么函数f (x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x)恒等于0. 例：f (x)=0,x(1,1)；f (x)=0,x2,2；f (x)=等具有奇偶性函数的图象特征：奇函数Û图象关于对称；偶函数Û图象关于_对称.判断函数奇偶性的方法：图象法；定义法.其一般步骤是：求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有

6、奇偶性；若对称,再进行第二步；判断f (x)与f (x)的关系,并下结论. 若f (x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为奇函数； 若f (x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为偶函数； 若f (x)=f (x)且f (x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数； 若f (x)f (x)且f (x)f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数.（4）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；（5）若f (x)是奇函数，且f (0)有意义，则必有f (0)=.（三）、函数图象的变换：平移变换：y=f (x)的图象沿

7、x轴向右平移a (a0)个单位得到y=f (xa)的图象；y=f (x)的图象沿x轴向左平移a (a0)个单位得到y= f (x+a)的图象；y=f (x)的图象沿y轴向上平移a (a0)个单位得到y= f (x)+a的图象；y=f (x)的图象沿y轴向下平移a (a0)个单位得到y= f (x)a的图象.2.对称变换：两个函数图象的对称关系：y=f (x)与y=f (x)的图象关于x轴对称；y=f (x)与y=f (x)的图象关于y轴对称；y=f (x)与y= f (x)的图象关于原点轴对称；y=f (x)与y= f1(x)的图象关于直线y=x轴对称；y=f (|x|)的图象是保留y=f (

8、x)的图象中y轴右边部分,并作其关于y轴对称的图象, 再擦掉y=f (x) 的图象中y轴左边部分而得到；y=|f (x)|的图象是保留y=f (x)的图象中x轴上方的图象及x轴上的点,并将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去；*函数y=f (a+mx)与函数y=f (bmx)(a、b：mR,m0)的图象关于直线x=对称. 二、典型例题【例1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)·；(2)f(x)；(3)f(x) 解答 (1)由得x±1，f(x)0，又它的定义域关于原点对称，f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由 得x>0，函数f(x)的

9、定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x>0时，x<0，f(x)x2x1，f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)；当x<0时，x>0，f(x)x2x1，f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)函数f(x)为偶函数【例2】判断函数f(x)(a0)在区间(1,1)上的单调性 解答 任取x1、x2(1,1)，且x1<x2，则f(x1)f(x2).由1<x1<x2<1得>0，a>0时，f(x1)f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)在(1,1)上单调递

10、减同理可得：a<0时，f(x)在(1,1)上单调递增【例3】已知函数f(x)对任意的实数m，n有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，有f(x)0.(1)求证：f(x)在(，)上为增函数；(2)若f(1)1，解不等式：f(log2(x2x2)2.解答 证明：(1)任取定义域(，)内x1、x2且x1x2，则x2x10，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(，)上单调递增(2)f(1)1，2f(1)f(1)f(2)，由已知得flog2(x2x2)f(2)又f(x)在R上递增，log2(x2x2)

11、2，2x1或2x3.原不等式的解集为x|2x1或2x3【例4】定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)f(x2k)(kZ)，且当x(0,1)时，f(x).(1)求f(x)在1,1上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数；(3)当m取何值时，方程f(x)m在(0,1)上有解？解答 (1)设1<x<0，则0<x<1，f(x)=f(x)，f(x) ，x(1,0)又f(x)为奇函数，f(0)f(0)，从而f(0)0；又f(x)f(x2k)，kZ，f(1)f(1)，而f(1)f(1)，从而f(1)0，且f(1)0，综上所述，f(x)(2)证明：设0<x

12、1<x2<1，则f(x1)f(x2)，0<x1<x2<1，f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，从而f(x)在(0,1)上是减函数(3)由(2)可知f(x)在(0,1)上单调递减，要使方程f(x)m在(0,1)上有解，只需<m<，故m.三、课堂练习1函数f(x)log2(x24x5)的单调增区间为_答案：(5，)解析 由题意知x24x5>0，解得x<1或x>5，即函数f(x)log2(x24x5)的定义域为(，1)(5，)，根据外层函数为单调增函数，而内层函数ux24x5(x2)29在(5，)上单调递增，所以

13、所求函数的单调增区间为(5，). 2若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案：4<a4解析 令g(x)x2ax3a，由题知g(x)在2，)上是增函数，且g(2)>0.4<a4.3若函数f(x)x22(1a)x8在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围为_答案：a3解析 由题意知：函数f(x)x22(1a)x8的单调减区间为(，(1a)，又函数在(，4上为减函数，所以有41a，解得a3.4已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有<0成立，则a的取值范围是_答案：0<a解析 由题意知，f(x)为减函数，所以解得0<

14、;a.5设f(x)是定义在(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)_.答案：0.5解析 由题意得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(7.5)f(7.58)f(0.5)f(0.5)0.5.6若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案：2x24解析f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称， 2aab0b2或a0(舍)，f(x)2x22a2，且值域为(，4，2a24，f(x)2x24.7已知f(x)为奇函

15、数，当x(0,1)时，f(x)lg，那么当x(1,0)时，函数f(x)的表达式是_答案：lg(1x)解析x(1,0)时，x(0,1)，f(x)lglg(1x)1lg(1x)，而由f(x)为奇函数，得f(x)f(x)，f(x)lg(1x)，故f(x)lg(1x). 8已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且以2为周期，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)的值是_答案：0解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，又以2为周期，f(2)f(4)f(6)f(0)0，又f(1)f(1)f(1)，f(1)0，于是f(3)f(5)f(7)0，因此f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f

16、(6)f(7)0.9.已知函数（1）若 ，求的值；（2）求证：不论为何实数，f(x)总为增函数10.设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解答f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)，又f(1m)<f(m)，f(|1m|)<f(|m|)当x0,2时，f(x)是减函数，由|1m|>|m|，整理得(1m)2>m2，解得m<.由21m2，解得1m3.又2m2，1m<.11.已知函数f(x)，当x，yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果xR，f(x)<0，并

17、且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值解答 (1)证明：函数f(x)的定义域为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，f(0)f(x)f(x)令xy0，f(0)f(0)f(0)，得f(0)0.f(x)f(x)0，得f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)法一：设x，yR，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)xR，f(x)<0，f(xy)f(x)<0，f(xy)<f(x)xy>x，f(x)在(0，)上是减函数又f(x)为奇函数，f(0)0，f(x)在(，)上是减函数f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3.法二：设x1<x2，且x1，x2R.则f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)x2x1>0，f(x2x1)<0.f(x2)f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6