第7讲联立方程模型初步

1、1第七讲第七讲 联立方程模型初步联立方程模型初步一一 什么是联立方程模型什么是联立方程模型二二 联立性偏误联立性偏误三三 联立方程模型的识别联立方程模型的识别四四 联立方程模型的估计联立方程模型的估计2研究对象研究对象经济系统，而不是单个经济活动经济系统，而不是单个经济活动;相互依存、互为因果，而不是单向因果关相互依存、互为因果，而不是单向因果关系系; ;必须用一组方程才能描述清楚必须用一组方程才能描述清楚. . 3什么是联立方程模型什么是联立方程模型例题：需求与供给模型例题：需求与供给模型（恒等式）SDtttStttDttttQQvTPQuYPQ2102104内生变量内生变量 （Endoge

2、nous Variables）内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。内生变量与随机项相关。在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。5外生变量外生变量 (Exogenous Variables)外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。一般情况下，外生变量与随机项不相关。6先决变量（先决变量（Predetermined Variables，亦称前定变量）亦称前定变量） 外生变量与滞后内

3、生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为先决变量。滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。先决变量只能作为解释变量。 7什么是联立方程模型什么是联立方程模型例题：例题：IS模型模型GrITYYCGICYTYYwYTvrIuYCdttttttdttttttttdtt外外生生变变量量：、内内生生变变量量：（恒恒等等式式）（恒恒等等式式）（结结构构方方程程）（结结构构方方程程）（结结构构方方程程） 101010 8tttttttttttGICYYYIYC21210110什么是联立方程模型什么是联立方程模型例题：

4、简单的宏观经济系统模型例题：简单的宏观经济系统模型由国内生产总值Y、居民消费总额C、投资总额I和政府消费额G等变量构成简单的宏观经济系统。9什么是联立方程模型什么是联立方程模型例题：犯罪率与警察部门规模例题：犯罪率与警察部门规模EduPoliceCrimevCrimePoliceuEduPoliceCrimettttttt外生变量：外生变量：、内生变量：内生变量：（结构方程）（结构方程）（结构方程）（结构方程） 10210 10什么是联立方程模型什么是联立方程模型几个概念几个概念联立方程模型（联立方程模型（simultaneous equation model, SEM）内生变量（内生变量（e

5、ndogenous variable）外生变量（外生变量（exogenous variable）结构方程结构方程/行为方程（行为方程（structural/behavioral equation）恒等式（恒等式（identity）结构系数（结构系数（structural coefficient）前定变量（前定变量（predetermined variable）外生变量外生变量滞后内生变量滞后内生变量11结构式模型结构式模型 Structural ModelStructural Model12根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。 将一个内生

6、变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。 什么是结构式模型什么是结构式模型13 行 为 方 程 技 术 方 程 随 机 方 程 制 度 方 程 统 计 方 程 定 义 方 程 恒 等 方 程 平 衡 方 程 经 验 方 程 结构式模型的方程类型结构式模型的方程类型14具有g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程的模型被称为完备的结构式模型。在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等于内生变量的数目，每个内生变量都分别由一个方程来描述。 完备的结构式模型完备的结构式模型15习惯上用Y表示内生变量，X表示先决变量，表示随机项，表示内生变量的结构参数，表示

7、先决变量的结构参数，如果模型中有常数项，可以看成为一个外生的虚变量，它的观测值始终取1。 YX()YX 结构式模型的矩阵表示结构式模型的矩阵表示16Y YYYyyyyyyyyygnngggn12111212122212XXXXxxxxxxxxxknnkkkn121112121222121712111212122212gnngggn111212122212gggggg 111212122212kkkkkk18tttttttttttGICYYYIYC21210110YCIYC CCIIIY YYtttnnn121212X1111101112YGYYYG GGttnn例：简单的宏观经济系统模型例：简

8、单的宏观经济系统模型191211121212220000nn() 100001011100110102tttttttttttGICYYYIYC2121011020简化式模型简化式模型 Reduced-Form ModelReduced-Form Model21用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成的模型称为简化式模型。简化式模型中每个方程称为简化式方程(Reduced-Form Equations)(Reduced-Form Equations)，方程的参数称为简化式参数(Reduced-Form Coefficients)(Reduced-Form Coefficients) 。

9、简化式模型简化式模型22YX111212122212kkgggk12111212122212gnngggn简化式模型的矩阵形式简化式模型的矩阵形式23CYGIYGYYGtttttttttttt101111220211223031132例：简单的宏观经济模型的简化式模型例：简单的宏观经济模型的简化式模型24参数关系体系参数关系体系25该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。系，称为参数关系体系。 1YX YXYX 11YX参数关系体系参数关系体系26联立性偏误联立性偏误联立性偏误联立性偏误如果忽略解释变量的内生性而使用如果忽略解释变量

10、的内生性而使用OLS估计，会得估计，会得到系数的有偏非一致估计量，称为到系数的有偏非一致估计量，称为联立性偏误联立性偏误（simultaneity bias）出现偏误的根本原因是解释变量是随机变量，并且出现偏误的根本原因是解释变量是随机变量，并且与误差项是相关的与误差项是相关的27联立性偏误联立性偏误联立性偏误：内生变量与误差项相关联立性偏误：内生变量与误差项相关010101122111()()11( )()()11( )1cov( ,)( )( )11()011tttttttttttttttttttttCYuYCIYIuE YIYE YuY uE YE YuE uE u28联立性偏误联立性偏

11、误联立性偏误：联立性偏误：OLS估计量的有偏性估计量的有偏性112211211()()()()()()()()()()()cov( ,)01()tttttttttttttCC YYYY uYYYYYY uuEEYYYY uuY unE证明参见有关序列相关估计偏误的证明样本协方差29联立性偏误联立性偏误联立性偏误：联立性偏误：OLS估计量的非一致性估计量的非一致性112121111 )Yvar()u,Ycov()n/()YY()n/()uu)(YY(limp)YY(u)YY(limp)lim(p)lim(pttttttttt30联立方程模型的识别联立方程模型的识别定义定义不可识别（不可识别（un

12、identified/ under-identified ）的方程：联的方程：联立方程模型中无法估计出结构系数的结构方程立方程模型中无法估计出结构系数的结构方程恰可识别（恰可识别（exactly identified）的方程）的方程：联立方程模型中：联立方程模型中能够唯一地估计出结构系数的结构方程能够唯一地估计出结构系数的结构方程过度识别（过度识别（over-identified ）的方程）的方程：联立方程模型中可：联立方程模型中可以估计出一组结构系数的结构方程以估计出一组结构系数的结构方程可识别的联立方程模型可识别的联立方程模型：每一个结构方程都可识别的联立：每一个结构方程都可识别的联立方程

13、模型方程模型不可识别的联立方程模型不可识别的联立方程模型：至少有一个结构方程不可识别：至少有一个结构方程不可识别的联立方程模型的联立方程模型31联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题：恰可识别例题：恰可识别1222212122212222111222231223122213222212222112112221122223131222131212222111112232221113121122322211131211 uuv,uuv,vTYQvTYPQQuTPQuYPQSDtttStttDtttt32联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题：恰可识别例题：恰可识别个结构系数。可以唯一地确定个简

14、化系数再计算结构系数。而且出简化系数，在本例中，可以先估计6622322211131211vTYQvTYP33联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题：过度识别例题：过度识别1222212122212222111222231224122222142312221322221222211211222112222314122214131222131212222111112242322211141312112232221114131211 uuv,uuv,vTWYQvTWYPQQuTPQuWYPQSDtttSttttDtttt34联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题：过度识别的模型例题：过度识别的

15、模型在本例中，有在本例中，有7个待估结构系数，却有个待估结构系数，却有8个简化系数，个简化系数，无法确定唯一的结构系数无法确定唯一的结构系数35联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题：不可识别例题：不可识别个个简简化化方方程程只只有有个个待待估估的的结结构构系系数数，但但有有241222212122212222111222211211222112222111112211112222111211 uuv,uuv,vQvPQQQuPQuPQSDttSttDtttt36联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题：不可识别例题：不可识别122221212221222211122213222212222

16、1121122211222131212222111112222111211222211131211 uuv,uuv,vYQvYPQQuPQuYPQSDttStttDtttt37联立方程模型的识别联立方程模型的识别例题：不可识别例题：不可识别别别的，而需求方程不可识的，而需求方程不可识因此供给方程是可识别因此供给方程是可识别，。但是，可以证明：。但是，可以证明：因而模型是不可识别的因而模型是不可识别的个简化方程。个简化方程。有有个待估结构系数，但只个待估结构系数，但只在本例中，有在本例中，有1122212112222245 38联立方程模型的识别联立方程模型的识别结构方程识别的结构式条件结构方程

17、识别的结构式条件P201例例6.3.1ii000000iiiigikiBig-1RBiRBik1k1gkkgkg：模型中内生变量的个数：模型中先决变量的个数(含常数项)：第 个方程中内生变量的个数：第 个方程中先决变量的个数(含常数项)：第 个方程中未包含的变量在其他个方程中对应系数所组成的矩阵若 （） g-1，则第 个结构方程不可识别若 （） g-1，则第 个结构方程可识别，并且若，方程恰可识别若，方程过度识别39联立方程模型的识别联立方程模型的识别结构方程识别的阶条件结构方程识别的阶条件gg111iiiiiiiikKKkKkgKkg：该方程中内生变量的个数：该方程中前定变量的个数：模型中前

18、定变量的个数若，方程不可识别若，方程恰可识别若，方程过度识别40联立方程模型的识别联立方程模型的识别阶条件的另一种描述阶条件的另一种描述见见P202例例6.3.2111gkkgkgkg：模型中内生变量的个数：不包括在该方程中的变量个数（包括内生和前定变量）若，方程不可识别若，方程恰可识别若，方程过度识别41联立方程模型的估计联立方程模型的估计估计方法估计方法1.单方程估计法：对模型中每一个可识别的方程逐一单独进单方程估计法：对模型中每一个可识别的方程逐一单独进行估计，最后获得整个模型的结构系数，也将单方程估计行估计，最后获得整个模型的结构系数，也将单方程估计方法称为有限信息估计方法。方法称为有

19、限信息估计方法。 a.间接最小二乘法（间接最小二乘法（ILS）b.两阶段最小二乘法（两阶段最小二乘法（2SLS）c.有限信息最大似然法（有限信息最大似然法（LIML）2.系统估计法：对整个模型的所有结构方程同时进行估计系统估计法：对整个模型的所有结构方程同时进行估计，也将系统估计方法称为完全信息估计方法。也将系统估计方法称为完全信息估计方法。 a.三阶段最小二乘法（三阶段最小二乘法（3SLS）b.完全信息最大似然法（完全信息最大似然法（FIML）42联立方程模型的估计联立方程模型的估计恰可识别方程的估计恰可识别方程的估计间接最小二乘法间接最小二乘法(ILS, (ILS, Indirect Le

20、ast Squares)Indirect Least Squares)对于恰可识别的方程，可先将结构方程转化为简化方程，对于恰可识别的方程，可先将结构方程转化为简化方程，用用OLS估计出简化系数，再解出结构系数。称为估计出简化系数，再解出结构系数。称为间接最小间接最小二乘法（二乘法（indirect least square, ILS）利用利用ILS，可以得到结构系数的有偏一致估计量，可以得到结构系数的有偏一致估计量43Y1001 (,)YX00Y100001YX1010010YXY4400000001YX YX000000000000XX 0000000000XXX* 45000010020

21、00010000020 用OLS估计简化式模型，得到简化式参数估计量，代入该参数关系体系，先由第2组方程计算得到内生解释变量的参数，然后再代入第1组方程计算得到先决解释变量的参数。于是得到了结构方程的所有结构参数估计量。 46间接最小二乘法也是一种工具变量方法间接最小二乘法也是一种工具变量方法 ILS等价于一种工具变量方法：依次选择X作为（Y0,X0）的工具变量。估计结果为：估计结果为：000011ILSYXYXX47联立方程模型的估计联立方程模型的估计过度识别方程的估计过度识别方程的估计两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法由于使用由于使用OLS方法估计结构系数产生偏误的原因是内生解方法估计结构系

22、数产生偏误的原因是内生解释变量与误差项相关，因此，可以考虑找到一个与该内生释变量与误差项相关，因此，可以考虑找到一个与该内生变量高度相关但与误差项不相关的变量高度相关但与误差项不相关的工具变量（工具变量（instrument variable），然后再用这个工具变量作为解释变量来求解，然后再用这个工具变量作为解释变量来求解结构系数。这种方法需要进行两次结构系数。这种方法需要进行两次OLS估计，称为估计，称为两阶段两阶段最小二乘法（最小二乘法（two-stage least square, 2SLS）I.阶段阶段1：以过度识别方程中的内生解释变量为因变量，模：以过度识别方程中的内生解释变量为因变

23、量，模型中所有的前定变量为自变量，进行型中所有的前定变量为自变量，进行OLS估计，得到该内估计，得到该内生解释变量的估计值，作为工具变量生解释变量的估计值，作为工具变量II.阶段阶段2：以工具变量替代过度识别方程中的内生解释变量，：以工具变量替代过度识别方程中的内生解释变量，进行进行OLS估计，得到该方程结构系数的估计估计，得到该方程结构系数的估计48联立方程模型的估计联立方程模型的估计过度识别方程的估计过度识别方程的估计两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法(2SLS, Two Stage Least Squares)两点说明两点说明利用利用2SLS，可以得到结构系数的有偏一致估计量，可以得到结构

24、系数的有偏一致估计量对于恰可识别的方程，对于恰可识别的方程，ILS和和2SLS的估计量完全相同的估计量完全相同492SLS2SLS是应用最多的单方程估计方法是应用最多的单方程估计方法IV和ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识别的结构方程的估计。在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。 502SLS2SLS的方法步骤的方法步骤第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用OLSOLS。得到：得到：()YXXX XX Y0010 用估计量代替结构方程中的内生解释变量，用估计量代替结构方程中的内生解释变量，得到新的模型：得到新的模型：Y1001 (,)Y X0051