数字电路理论基础

1、第一讲 分析数字电路所需的理论基础 模拟量和数字量 数制与码制 逻辑函数 逻辑代数（布尔代数）的基本定律 逻辑函数的化简方法 逻辑函数与逻辑图1-1 模拟量和数字量 模拟量（analog）： 是指连续取值的物理量； 自然环境下，大多数物理量都是模拟量； 数字量（digital）： 是指离散取值的物理量； 尽管自然界中大多数物理量是模拟量，但仍可以用数字形式来表示；1-2 数制与码制一、数制：表示数量多少的记忆制度； 1、 常见的数制有： 十进制；二进制；八进制；十六进制； 一般的表记形式：iiixaKN)(其中：x=D时表示是十进制；x=B时表示二进制；x=O表示八进制；x=H表示十六进制；N

2、为一串字数符号；a为基数；十进制的a=10；二进制的a=2；八进制的a=8；十六进制的a=16；Ki为基数a的第i次幂的系数；ai称为第i位的权例如例如（ 在此以四位正整数为例）：在此以四位正整数为例）：01233001233001233001233016016101691615)16()09(818086878)7601(212120212)1011(10510310610910)9635(iiiHiiiOiiiBiiiDkAFkkk2、数制的特征：、数制的特征：1、不同进制所需的表示符号个数与形态不同； 十进制符号有：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9； 二进制符号有：0、1； 八进制

3、符号有：0、1、2、3、4、5、6、7； 十六进制符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F；2、对正整数而言，i=0位的权均为1。故将i=0位称为：个位；3、高位与相邻的低位的比值等于进位数值；4、当将数制表示的位数增加一位0时有： 最低位增加：相当将原数值乘以基数a； 最高位增加：相当将原数值除以基数a；注意：对于二进制有下述的特殊称呼； 将最高的一位的权称为：MSB（most significant bit） 将最低的一位的权成为：LSB （least significant bit）3、不同进制数制间的等值转换：、不同进制数制间的等值转换： *、由于十进制是人

4、类使用最熟练的进制，因此通常是将不同进制数制转换为十进制。其最基本的方法如前所述，即用定义展开获得。 *、将十进制数制转换为其他进制数制的方法为： 整数采用除以基数a，其余数即为转换位的数值；（低位在先） 小数采用乘以基数a，其积的整数即为转换位的数值；（高位在先） *、转换数制的精度：整数无误差；小数有误差；2106543210201234561010111118711021001221122511521111112221122243114328787故所求：余数为余数为余数为余数为余数为余数为余数为）（）（DDDDDDDDDDDDDD例：72106543212654321010201101

5、1187. 01168. 1284. 01184. 1292. 01192. 1296. 00096. 0248. 01148. 1274. 01174. 1287. 0)()87. 0(误差故所求：整数为整数为整数为整数为整数为整数为DDDDDDDDDDDDD例：*、二进制与十六进制、八进制间的转换 4位二进制码对应一位十六进制码； 3位二进制码对应一位八进制码；注意： 数字电路采用0、1表示信息，其形式与二进制码相似。通常在人为记忆时往往采用十六进制纪录。如信息：10011101，01000111，00001011人在纪录与表述时采用：9DH，47H，0BH。二、码制： 即采用若干位二进制

6、信息表示具体信息（数码信息、代码信息）的编码形式； 数字系统中常用的编码（码制）有两类：二进制编码、二-十进制编码1、二进制编码： 常用的有两种：自然二进制码；循环二进制码十进制数十进制数自然二进制码自然二进制码循环二进制码循环二进制码十进制数十进制数自然二进制码自然二进制码循环二进制码循环二进制码000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000

7、表：两种4位二进制编码说明：说明：#、自然二进制编码，是一种有权码。即这种编码中的每位代码都有固定的全值。 每一位的权为：2i （i是码元位序，i=0，1，2，n-1）； 自然二进制码是最简单的一种二进制编码。其结构形式与二进制数完全相同。#、循环二进制编码，是一种无权码。其特征是任何相邻的两个码字中，仅有一 位代码不同，其他位代码则相同。该码又称：单位距离码。编码方法不是唯一 的。2、二、二-十进制编码（十进制编码（BCD码）码） 将十进制数的各个数码用二进制的形式表示出来，这便是用二进制代码对十进将十进制数的各个数码用二进制的形式表示出来，这便是用二进制代码对十进制数进行编码，简称制数进行

8、编码，简称BCD码。码。十进制数8421码2421码5211码余3码格雷码000000000000000110000100010001010001000001200100010001101010011300110011010101100010401000100011101110110501011011100010001110601101100101010011010701111101110010101000810001110111010111100910011111111111000100表：常用表：常用BCD码码几种几种BCD码的特点：码的特点：#、8421码：译码电路较简单，容易理解；加法

9、运算规则复杂；码：译码电路较简单，容易理解；加法运算规则复杂；#、2421码与码与5211码与码与8421码一样属于有权码。码一样属于有权码。 但有其特殊的特点：任意两个但有其特殊的特点：任意两个2421或或5211码相加均等于码相加均等于11112（或（或910）#、余三码是在、余三码是在8421码的基础上，把每个代码都加上码的基础上，把每个代码都加上0011码而形成的。码而形成的。 主要优点是执行十进制数相加时，能正确地产生进位信号，而且还给减法主要优点是执行十进制数相加时，能正确地产生进位信号，而且还给减法运算带来了方便。运算带来了方便。#、格雷码的编码规则，是使任何两个相邻的代码只有一

10、个二进制位的状态不、格雷码的编码规则，是使任何两个相邻的代码只有一个二进制位的状态不同，其余三个二进制位必须有相同状态。同，其余三个二进制位必须有相同状态。 好处是，从某一编码变到下一个相邻编码时，只有一位的状态发生变化，好处是，从某一编码变到下一个相邻编码时，只有一位的状态发生变化，有利于得到更好的译码波形。格雷码属于一种循环码。有利于得到更好的译码波形。格雷码属于一种循环码。1-3 逻辑函数1、逻辑函数的定义： 在一个函数中若变量的取值仅有两种选择（常用1和0表示），则将这类函数称为逻辑函数。 逻辑函数中的变量一般用大写字母表示，其函数一般用F表示。 即：F=f（A，B，C）2、逻辑函数的

11、表示（描述）方法：、逻辑函数的表示（描述）方法： #、通用函数式表示法；又称布尔代数表述法。 #、真值表表示法；即图表表示法。 #、逻辑图表示法；即用基本逻辑电路图形表示法。 #、卡若图表示法；即用一种几何图形表示法。 #、波形图表示法；既用电平的高低变化来表示。 #、硬件设计语言法；是采用一种计算机高级语言来描述逻辑函数并进行设计的方法。目前应用最广的两种计算机高级语言是：ABLE-HDL；VHDL。3、基本的逻辑函数、基本的逻辑函数 任何复杂的逻辑函数都是由基本逻辑函数的组合构成的。 表示方法逻辑关系逻辑图符逻辑函数式 真值表 A B F 与函数F=ABF=A&B 0 0 0 1

12、1 0 1 10001或函数F=A+BF=A#B 0 0 0 1 1 0 1 10111非函数 0 110与非函数 0 0 0 1 1 0 1 1111 0123&ABF312=1ABF211AF123&ABF)#( !BAFBAFAFAF! 表示方法逻辑关系逻辑图符逻辑函数式 真值表 A B F 或非函数 0 0 0 1 1 0 1 11000异或函数F=ABF=A$B 0 0 0 1 1 0 1 10110与或非函数ABCD F0000 10001 10010 1 0011 0 0100 10101 10110 10111 0ABCD F1000 11001 11010 1

13、 1011 0 1100 01101 01110 01111 0123=1ABF)#( !BAFBAF312=1ABF)&#&( !DCBAFDCBAF123&456&123=1ABCDF说明：说明：#、上表中仅以两个或一个逻辑变量为例。其实逻辑变量可多个。、上表中仅以两个或一个逻辑变量为例。其实逻辑变量可多个。#、逻辑表达式中上面的为逻辑函数的一般代数表达形式；下面的则是在计算机、逻辑表达式中上面的为逻辑函数的一般代数表达形式；下面的则是在计算机硬件设计语言硬件设计语言ABLE-HDL中的表达形式。中的表达形式。#、逻辑图符有好多种形式，表中采用的是欧洲标准零

14、件图符、逻辑图符有好多种形式，表中采用的是欧洲标准零件图符(DIN)。#、与运算又称逻辑乘；或运算又称逻辑加；异或运算又称模、与运算又称逻辑乘；或运算又称逻辑加；异或运算又称模2加运算（不考虑加运算（不考虑进位时的加法运算，进位时的加法运算，0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0）。）。4、正逻辑、负逻辑的概念：、正逻辑、负逻辑的概念：正逻辑：正逻辑： 把高电平看成逻辑把高电平看成逻辑1，低电平看成逻辑，低电平看成逻辑0的逻辑称为正逻辑；的逻辑称为正逻辑；负逻辑：负逻辑： 把高电平看成逻辑把高电平看成逻辑0，低电平看成逻辑，低电平看成逻辑1的逻辑称为负逻辑；的逻辑称为负逻辑；正逻辑正逻

15、辑负逻辑负逻辑或门与门与门或门与非门或非门或非门与非门异或门同或门同或门异或门表表:正负逻辑对应的门电路正负逻辑对应的门电路1-4逻辑代数（布尔代数）的基本定律 布尔代数又称逻辑代数。是逻辑函数的运算规则，即逻辑函数在其表述形式转化过程中应遵守的基本定律和基本规则。1110AAAAAAAA1、布尔代数的定律、布尔代数的定律基本定律基本定律结合律结合律交换律交换律分配律分配律摩根定律摩根定律吸收律吸收律0100AAAAAAAAAA )()()()(CBACBACBACBAABBAABBA)()(CABACBACABACBACBACBACBACBAABAAABAA)(CBACABABABAA)(2

16、 2、布尔代数运算的基本规则、布尔代数运算的基本规则# #、代入规则：、代入规则： 任何一个含有逻辑变量任何一个含有逻辑变量A的等式，如果将所有出现的等式，如果将所有出现A的位置都代之以一个的位置都代之以一个逻辑函数，则等式仍成立。逻辑函数，则等式仍成立。#、反演规则：、反演规则： 求一个逻辑函数求一个逻辑函数F的非函数的非函数 时，可将时，可将F中的中的与与换成换成或或，或或换成换成与与；再将原变量换成非变量，非变量换成；再将原变量换成非变量，非变量换成原变量原变量；并将；并将1换成换成0，0换成换成1。那么所得的逻辑函数式就是。那么所得的逻辑函数式就是 。FF#、对偶规则：、对偶规则： F

17、是一个逻辑函数表达式，如果把是一个逻辑函数表达式，如果把F中的中的与与换成换成或或，或或换成换成与与；1换成换成0，0换成换成1。那么得到一个新的逻辑函数式，叫做。那么得到一个新的逻辑函数式，叫做F的的对偶对偶1-5 逻辑函数的化简方法1、逻辑函数的最小项及其性质、逻辑函数的最小项及其性质 最小项的定义：最小项的定义： 对对n个逻辑变量来说，最小项共个逻辑变量来说，最小项共有有2n个。个。 其每个最小项具有的特征有：其每个最小项具有的特征有： #、每项都只有、每项都只有n个因子；个因子； #、每个变量都是它的一个因子；、每个变量都是它的一个因子； #、每一变量或以原变量的形式、每一变量或以原变

18、量的形式出现，或以反变量的形式出现，出现，或以反变量的形式出现，各出现一次。各出现一次。例：n=2时的所有最小项： n=3时的所有最小项：CBACBACBABCACBACBACABABCBABABAAB,最小项具有的性质：最小项具有的性质：#、对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量，而在变量取其它各组值时，这个最小项的值都是取其它各组值时，这个最小项的值都是0；#、不同的最小项，使它的值为、不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同；的那一组变量取值也不同；#、对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为、对于变量的任

19、一组取值，任意两个最小项的乘积为0；#、对于变量的任一组取值，全体最小项之和为、对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1；A B C0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001CBACBACBABCACBACBACABABC例：由三变量最小项真值表看最小项的性质例：由三变量最小项真值表看最小项的性质最小项的编号表示：最小项的编号表示： 为了叙述方便，人为的把最小项加以编号。通常以使其为为了叙述方便，人为的把最小项加以编号。通常以使其为1的变量取值的十进的变量取值的

20、十进制数作为制数作为m的下标来标记。的下标来标记。变量的一组取值ABC对应的十进制数k对应的最小项代表符号mk00000011010201131004101511061117例：三变量最小项编号例：三变量最小项编号0mCBA1mCBA2mCBA3mBCA4mCBA5mCBA6mCAB7mABC 2、逻辑函数的代数化简法（布尔代数化简法）、逻辑函数的代数化简法（布尔代数化简法）#、化简目标：逻辑函数表达式要求化为最简的与化简目标：逻辑函数表达式要求化为最简的与-或表达形式或表达形式(SOP)。 最简的与最简的与-或表达形式特征：首先应是乘积项（与项）的数目是最少的；或表达形式特征：首先应是乘积项

21、（与项）的数目是最少的； 其次在满足乘积项最少的条件下，要求每其次在满足乘积项最少的条件下，要求每 个乘积项中变量的个数也最少；个乘积项中变量的个数也最少；#、化简方法：利用布尔代数的基本定律和恒等式进行化简。、化简方法：利用布尔代数的基本定律和恒等式进行化简。例：（配项法）（）（）（消去法）（吸收法）（并项法）CAABCBACACABABCBACABCAABCBAACAABCBCAABFCABCABABCBAABCBCAABFBAFEBCDABAFBACCBACBACBAF4321(注意:逻辑表达式有两种常用标准形式.SOP(积项和)sum-of-products;POS(和项积)produ

22、ct-of-sums;3、卡诺图及卡诺图化简法、卡诺图及卡诺图化简法#、卡诺图（、卡诺图（Karnaugh map）是一种化简布尔表达式的图形工具。）是一种化简布尔表达式的图形工具。 它适用于对变量数少于它适用于对变量数少于4个的布尔表达式进行化简，对于多于个的布尔表达式进行化简，对于多于4个个变量的情况，卡诺图方法将变的十分麻烦，通常不予使用。变量的情况，卡诺图方法将变的十分麻烦，通常不予使用。 它分为许多单元，每个单元表示变量的某种特定组合。对于给定它分为许多单元，每个单元表示变量的某种特定组合。对于给定的卡诺图，单元总数等于逻辑表达式中变量所有可能的组合数。如的卡诺图，单元总数等于逻辑表

23、达式中变量所有可能的组合数。如3变量变量SOP表达式，其卡诺图有表达式，其卡诺图有23=8个单元；如个单元；如4变量变量SOP表达式，其卡表达式，其卡诺图有诺图有24=16个单元。个单元。m0m1m2m3m6m7m4m5CBACBACBABCACBACBACABABCABC00011110013变量卡诺图记法m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m12BABAABBADCDCCDDC4变量卡诺图记法#、用卡诺图化简逻辑函数的步骤：、用卡诺图化简逻辑函数的步骤：第一步：将待化简的逻辑函数利用布尔代数变换为最小项表达式；第一步：将待化简的逻辑函数利用布尔代数变换为最小项表达式；第二步：在对应的卡诺图中将最小项表达式中的最小项添入对应的单元中（添第二步：在对应的