复变函数与积分变换：2-2 函数解析的充要条件

1、第二节 函数解析的充要条件 一、主要定理二、典型例题三、小结与思考2一、主要定理一、主要定理定理一定理一. , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf 点满足柯西黎曼方程点满足柯西黎曼方程并且在该并且在该可微可微在点在点与与件是件是可导的充要条可导的充要条内一点内一点在在则则内内定义在区域定义在区域设函数设函数柯西介绍柯西介绍黎曼介绍黎曼介绍3 : ),(),()( ,处的导数公式处的导数公式点点在在可得函数可得函数根据定理一根据定理一yixzyxivyxuzf .1)(yvyuixvixuzf 内解析的充

2、要条件内解析的充要条件函数在区域函数在区域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且满足柯西黎曼方并且满足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf 4解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(内

3、解析内解析在在的充要条件可以断定的充要条件可以断定那么根据解析函数那么根据解析函数方程方程并满足并满足可微可微因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在内内在在中中如果复变函数如果复变函数DzfyxvuDvuivuzf 5二、典型例题二、典型例题例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故

4、故zw 6)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导数均连续均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数7)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 z

5、zzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析8例例2. )( , )( 内内为为一一常常数数区区域域在在则则内内处处处处为为零零在在区区域域如如果果DzfDzf 证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常数常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf9三、小结与思考三、小结与思考 在本课中我们得到了一个重要结论在本课中我们得到了一个重要结论函数函数解析的充要条件解析的充要条件:黎曼方程黎曼方程并且满足柯西并且满足柯西内可微内可微在在与与 , ),( ),(Dyxvyxu. , xvyuyvxu 掌握并能灵活应用柯西掌握并能灵活应用柯西黎曼方程黎曼方程.10思考题思考题? ),(),()( 解析时应注意什么解析时应注意什么用柯西黎曼条件判断用柯西黎曼条件判断yxivyxuzf 11; , :R-Cxvyuyvxu 条件条件其次再看是否满足其次再看是否满足 ; ),( ),( 内是