高一数学必修四平面向量知识与题型归类

1、高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(实数人与向量a的积是一个向量，记作aa,它的长度和方向规定如下:一.向量有关概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量,2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,注意零向量的方向不确定；3、单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；当人0时，九a的方向与a的方向相同，当儿0时，九a的方向与a的方向相反，当九=0时，£a=0,a的单位向量：与a同方向且长度等于1的向量，记作a0并且a03、向量的坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:与a共线的单位向量：与a方向相同或相反且长度等于1的向量，可表示为±4a向量

2、的加减法运算：a±b=(x1±x2,y1土y2)。4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量;5、平行向量(也叫共线向量)：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：a/b;即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行实数与向量的积：-a=?"x1,y1)=(九x1,九y1)。若A(x1,),B(x2,y2),则B=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一ao二.向量的表小方法：向量的模：|a卜Jx2十四.平面向量的数量

3、积：1.1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后;两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作dA=a,OB=b,/AOB=8(0M6Mn)称为向量2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等;b的夹角，记作(a,b),当e=0时，a,b同向，当e=n时，a,b反向，当8=时,3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ib垂直。基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标,2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为9,我们把数量|a|b|co#叫(x,y)叫做向量

4、a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。向量的运算：做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：ab,即a,b=一向量的数量积是0,注意数量积是个实数，不再是一个向量cos日0规定：零向量与任1 .几何运算：(1)向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.(2)向量的减法：三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量2、向量的数乘运算：3.a在b方向上的正射影的数量为|a|cosa,b=,它是一个实数，但不一定大4.向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为日，则:a_Lbua,b=0；Ti-241彳2，肿2一1一1当a,b同向时，

5、ab=a"b,特别地，a=a*a=1a","a1=va；当a与b反向时，ab*|a*b|a|b|e为锐角uab>0,且3、b不同向，；0为钝角aab<0,且3、b不反向;高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(2)5、平面向量数量积的坐标运算：设两个非零向量a=(xi,y)，b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.若a=(x,y),则Ar=x2+y2,或&=Vx2+y2.设a=(x1，yi),b=(x2,y2),则?_Lbux1x2+y1y2=0.I.d设a、b都是非零向量，a=(K,yi),b=(x2,y2),8是4与b的夹角，则五

6、.向量的运算律：1,交换律：a+b=b+a,九(Na)=(7卅)a,a,b=b,a；2 .结合律：a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),a),b=八(a,b)=a(7b);3 .分配律：(九+艮)a=Ka+艮a,K(a+b)=a+九b,(a+b)+c=a,c+bc。提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律,即a(b,c)。(a*b)c六、向量共线与垂直的条件平行向量

7、基本定理：若a=2、b=a/b,反之，若a/b(b=0)=a=b(其中九是唯一的实数)向量共线的坐标表示：设两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a/b=xy2-yx2=0三点共线：不重合的三点A、B、C共线uAB=?.ACTTu存在实数a、P使得PA=aPB+PPC且口+P=1.向量垂直的条件：a_Lbua，b=0u刈发+丫1丫2=0.TT七、平面向量的基本定理：如果G和B是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的WTTT任一向量a,有且只有一对实数3、九2,使a=K1e+九2e2。其中不共线向量5会叫做一组基底，记作二。八、向量中一些常用的结论：(1)一个封闭图形首尾连接而成

8、的向量和为零向量，要注意运用；(2)iiai-ibiii±biii+ibi,特别地，前面等号成立的条件是、*同向或有1；后面等号成立的条件是3b反向或有"0(3)在AABC中，重心：中线的交点且重心将中线分成2:1两段；外心：中垂线的交点；垂心：高线的交点；内心：角平分线的交点。TTT*PA+PB+PC=0uP为AABC的重心；PAPB=PBPC=7C7AuP为AABC的垂心；2-22PA=PB=PCuP为ABC的外心;若向量AP=晶+C-)(九20),则点P的轨迹一定过ABC的内心；|AB|AC|高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(3)经典题型：基本概念判断正误：(

9、1)共线向量就是在同一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)若a与b不共线，则a与b都不是零向量。TT(5)若A、B、C、D四点构成平行四边形，则AB=CD。(6)若AB万，则A、BC、D四点构成平行四边形8、已知1与1为互相垂直的单位向量，3=1-2j,1=1+4且3与"b的夹角为锐角，则实数九(9)若 ab,bC,贝"/上4 T m - =b C,贝Ua = b;(12)若 ma = na ,贝ij m = n。(14)若 | a+b |=| a-b |,则 a _L b。(ii)若ma=mb,

10、则a=b。(13)若ab=。，则a=o或b=o2/42(15)(ab)=ab二、向量的运算1、化简：AB+BC+cD=;®Ab-AD-DC=;(AB-CD)-(AC-7d)=的取值范围是9、如图，等边ABC中，AB=2AD=AC=4AE=4,求E_jCD.10、如图，在矩形ABCD中，AB=/2，BC=2,点e为BC的中点，TT-TT点F在边CD上，若AB.AF=J2,求AE.BF的化高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(4)四、向量共线与垂直1、若向量a=(x,1),b=(4,x),当*=时1与1共线且方向相同2、已知a,b不共线，c=ka+b,d=a-b,如果c/d,那么k=

11、2、若O是MBC所在平面内一点，且满足OB-OC=|OB+OC_2OA,贝UAABC的形状为3、若D为AABC的边BC的中点，MBC所在平面内有一点P,满足PA+BP+CP=0,设的方向关系是一一一_-一,耳43、a=(1,2),b=(2,3),若向量c满足于(c+a)/b,c1(a+b),则c=4、设PA=(k,12),TB=(4,5),TC=(10,k),则k=0寸，A,B,C共线5、以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB /B=90口，则点B的坐标是埋1=九，则人的值为|PD|4、若点。是4ABC的外心，且OA+OB+CO=0,贝U4ABC的内角C为6、平面直角坐标系中，

12、O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足OC=5、若 M (-3,-2), N (6,三、向量的夹角与数量积一一-1-1,且MP=MN、则点P的坐标为31、ZXABC中，|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,贝UABBC=T1T1-t,-T，:2、已知a=(1,2),b=(0,5),c=a+kb,d=a-b,c与d的夹角为一，则k等于3、已知平面向量a,b满足(a-b+1_(22+6)=且2=2,b=4且，则a与b的夹角为4、已知a,b是两个非零向量，且ab=a-b,则a与a+b的夹角为九1OA十%OB,其中八1，九2wR且九1十%=1,则点C的轨迹方程是7、若3=(

13、12,5),求ia的单位向量；与3共线的单位向量；与a垂直的单位向量。8、已知=(1,2),b=(-3,2),若ka+2b与2a-4b共线，求实数k的值；若ka+2b与3a+5b的值为5、设非零向量a、b、c满足|a|)b|=|c|,a+b=c,则2由=6、已知|a=5,b=4,a与b的夹角2=,则向量b在向量a上的正射影的数量为3TTTTTT7、已知|a|=3,|b|=5,且a,b=12,则向量a在向量b上的正射影的数量为2a-4b垂直，求实数k的值五、向量的模1、设向量a,b满足2、设向量a,b满足a=i,b=2,a_L(a_2b),贝U2a+b的值为3、已知向量a、LC两两之间的夹角为6

14、0°,其模长都为1,则1b+2d=4、已知向量a=(1,sin6),b=(1,cos6),则ab的最大值为5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外,2BC=16,1AB+Ac*l=|Ab*-AC*1JfJ'AM(I)若|AC|=|BC|,求角1的值；rX42sin2工二sin(2：)(II)当ACBC=1时，求的值。1tan：2、已知AABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c,平面向量1=(1,sin(B-A),平面向量n=(sinC-sin(2A),1).若三，n,请判断AABC的形状.六、平面向量基本定理的应用问题1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是TTWTA.e1=(0,0),%=(1,-2)B.e1=(-1,2),殳=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.-T13S=(2,-3)©=(,-二)24444Q2、a=(11),b=(-1,1),c=(4,2),则c=()(A)3ab(B)3a-b(C)-a3b(D)a3b3、已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线，且AD=a,BE=b，则BC可用向量a,b表示为ff3if4、已知AABC中，点D在BC边上，且CD=2DB,C