数学物理方法

1、 数学物理方法格林函数法格林函数法n格林函数的一般概念n稳定问题的基本解n稳定问题的格林函数n演化问题的基本解n演化问题的格林函数n本章小结格林函数的一般概念n概念n定义：纯点源产生的场 （不计初始条件和边界条件的影响）。n例子： G = (r-r)，G|=0 (t a2) G = (r-r)(t-t)， G|= G|t=0=0n一般形式 L G(xi) = (xi-xi) G|边界= G|初始=0格林函数的一般概念n分类：n按泛定方程可以分为： 稳定问题的格林函数 L = 热传导问题的格林函数 L = (t a2) 波动问题的格林函数 L = (tt a2)n按边界条件可以分为 无界空间的格

2、林函数，又称为基本解； 齐次边界条件的格林函数。格林函数的一般概念格林函数稳定问题G = (r-r)输运问题(t a2) G = (r-r)(t-t)G|t=0=0波动问题(tt a2) G=(r-r)(t-t) G|t=0=0Gt|t=0=0无界空间泊松方程的基本解热传导方程的基本解波动方程的基本解齐次边界G|= 0泊松方程的格林函数热传导方程的格林函数波动方程的格林函数格林函数的一般概念n性质：n设数学物理方程为 L u(x) = f (x)n而格林函数方程为 L G(x) =(x-x)n在相同的齐次定解条件下n因为： f(x) =f (x)(x-x) dxn所以： u(x) =f (x)

3、 G(x-x) dxn应用（求解数学物理方程的格林函数法）n范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件n程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数稳定问题的基本解原问题点源问题点电荷电场方程解)(rfu) (rrG0/ ) (rrqV| |40rrqV| |41rrG| |4) (rrdrfu稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到稳定问题的格林函数原问题0|)(urfu点源问题0|) (GrrG关系) ,() ()() () ()(drrGrfrudrrrfrfn基本思路稳定问题的格林函数n求解方法 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r 处有一个电

4、量为 - 0 的点电荷。 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电荷的电像。 这种方法称为电像法稳定问题的格林函数n例题在半空间内求解稳定问题的格林函数0|0),() () (0zGzzzyyxxG解：根据题目，定解问题为 这相当于在接地导体平面上方点 M(x,y,z) 处放置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。 设想在M的对称点 N (x,y,-z)处放置一个电量为 + 0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零，这表明在N点的点电荷就是电像。稳定问题的格林函数|141| |141) ,

5、(NrrrrrrG根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数222222) () () (141) () () (141zzyyxxzzyyxx演化问题的基本解问题等价问题基本解输运波动0|)()(02ttGtxGaG)(2exp)(4)(22taGtax| ,| , 021taxtaxGa演化问题的基本解可以利用冲量定理法得到)(|002xGGaGtt0|0|)()(002tttttGGtxGaG)(|0|0002xGGGaGttttt演化问题的基本解0|)()(02ttGtxGaG)(2exp),()(4)(022tafddutaxt无界输运问题的求解0|),(02txxtutxfuau)

6、(2exp)(4)(22taGtax)()(),(),(0 txfddtxft),;,(),(),(0txGfddtxut 演化问题的基本解0|0|)()(002tttttGGtxGaGafddutaxtaxt21),()()(0无界波动问题的求解0|0|),(002tttxxttuutxfuau| ,| ,021taxtaxGa)()(),(),(0 txfddtxft),;,(),(),(0txGfddtxut 演化问题的格林函数问题等价问题基本解输运波动0|0|)()(002tLxxtGGGtxGaG)(expsinsin2221taxGnLnnn演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到)(|0|0002xGGGGaGtLxxt0|0|0|)()(0002tttLxxttGGGGtxGaG)(|0|0|00002xGGGGGaGtttLxxtt)(sinsinsin21taxGnLannnn本章小结n格林函数问题有两个要素n泛定方